日前，北京理工大学数学与统计学院温海瑞老师与合作者在国际顶级学术期刊《Math.Comp.》及《Arch. Ration. Mech. Anal.》上发表题为 “Error estimates for the AEDG method to one-dimensional linear convection-diffusion equations”及题为 “Global structure and regularity of solutions to Eikonal equation”的研究论文。
Hamilton-Jacobi（HJ）方程首先在经典力学中提出，其在动态规划、变分计算及最优控制等方面都有广泛而深刻的应用。该类方程的数值模拟和理论分析工作一直是研究热点。数值计算方面，设计守恒、相容和高精度的数值方法是人们关注的焦点。理论分析方面，对于具有超线性、严格凸Hamiltonian的方程的粘性解的性质研究相对完善，但对于有几何Hamiltonian的HJ方程的理论分析几乎没有。
AEDG方法由Iowa State Univ. Prof. Liu Hailiang及博士后M. Pollack首次提出。该方法无需数值流通量，并且是相容和守恒的。对线性对流扩散方程，AEDG的稳定性在CFL型条件下被证明。
在此基础上,温海瑞老师和Prof.Liu Hailiang创造性的引进了两个逼近空间、相应的双线性算子和耦合的全局投影，克服了交替发展系统中的多项式重合带来的困难，并重新设计了经典有限元误差估计中经常用到的对偶方法，从而成功的从半离散AEDG格式的能量误差提升到最优的平方误差。对于空间离散，利用任意高阶多项式，设计了利用二阶Crank-Nicolson及三阶Runge-Kutta时间离散的全离散格式，同时，在CFL型稳定性条件下，得到了相应的最优平方误差阶。
除HJ方程之外，AEDG方法在守恒律，对流扩散方程计算中都取得了很好逼近效果。其无需数值流通量的特性，克服了一般DG方法中设计稳定的流通量的困难，文章的结果和新证明方法奠定了AEDG方法收敛性的理论基础，具有重要意义。
在HJ方程正则性理论方面，对 Eikonal方程
，由于对奇异点限制更弱，在奇异点之外并不一定和初值具有相同的正则性等特性导致情况极其复杂。 同时，其非光滑、非严格凸的Hamiltonian为理论分析也带来了巨大的挑战。温海瑞老师及合作者利用次微分定义了不可微点处的特征线，同时，创造性的引入了有效特征及特征终止时间，对于C1和C2初值，给出了奇异点集合的定义、连通分支的可数性，给出了奇异点集合之外解的正则性及全局结构。 审稿人评价该结果弥补了这类特殊HJ方程解的性质分析的理论空白。
论文链接：
https://www.ams.org/journals/mcom/2018-87-309/S0025-5718-2017-03226-9/home.html
https://www.esaim-m2an.org/articles/m2an/abs/2018/05/m2an170163/m2an170163.html
https://link.springer.com/article/10.1007/s00205-018-01339-4
附个人简介：
温海瑞，讲师， 中国科学院数学与系统科学研究院获得博士学位，清华大学周培源应用数学中心博士后。从事Hamilton-Jacobi方程正则性，守恒律大时间步长方法，DG及保结构DG方法理论分析及数值模拟研究工作， 已在 Arch. Ration. Mech. Anal. , Math.Comp. 等本领域权威国际期刊上发表论文九篇。
