题号： 864

《高等代数》考试大纲

一、考试内容

( 一 ) 行列式

1 ． n 阶行列式的概念和基本性质。

2 ． 行列式按一行 ( 列 ) 展开定理， Laplace 定理，行列式乘积法则。

( 二 ) 矩 阵

1 ．矩阵的加法、乘积、方幂、转置等运算及性质。

2 ．矩阵的秩的概念及性质。

3 ．矩阵的初等变换，等价矩阵，等价标准形。

4 ．初等矩阵的概念和性质。

5 ．逆矩阵的概念和性质，矩阵可逆的充分必要条件，用伴随矩阵及初等变换求逆矩阵。

6 ．分块初等矩阵及应用。

( 三 ) 向 量

1 ． 向量的概念、运算，向量的内积。

2 ．向量组的线性相关与线性无关。

3 ．向量组的极大线性无关组，向量组的秩。

4 ． 等价向量组的概念和性质。

5 ．向量空间的概念，基与正交基、规范正交基。

( 四 ) 线性方程组

1 ． Cramer 法则。

2 ．求解线性方程组的消元法。

3 ．线性方程组有解的判定，齐次线性方程组有非零解的充分必要条件。

4 ．齐次线性方程组的基础解系和通解，解空间 。

5 ． 非齐次 线性方程组的解向量的性质和通解。

( 五 ) 相似矩阵

1 ．矩阵的特征值与特征向量 的概念、性质 。

2 ． 相似变换、相似矩阵的概念及性质。

3 ． 矩阵可相似对角化的充分必要条件及相似对角矩阵 。

4 ．正交矩阵、实对称阵及其性质，实对称阵正交相似于对角阵的计算。

5 ． l ‐矩阵及其标准形，行列式因子，不变因子，初等因子。

6 ． Jordan 标准形及相似变换阵的计算。

7 ． Hamlton-Cayley 定理，最小多项式。

( 六 ) 二次型

1 ．二次型的矩阵表示及秩。

2 ．用可逆线性变换化二次型为标准形 ( 配方法，初等变换法 ) 。

3 ．合同矩阵、对称阵在合同变换下的标准形。

4 ．用正交变换化二次型为标准型。

5 ．一般数域、复数域、实数域上二次型的标准形和规范形，惯性定理。

6 ．正、负定二次型 ( 或正、负定矩阵 ) 的判定。

( 七 ) 线性空间

1 ．线性空间、基底、维数及坐标等概念。

2 ．线性子空间及其交与和的基与维数。

3 ．线性空间的基变换和过渡矩阵。

4 ．线性子空间的直和。

5 ．线性空间的同构。

( 八 ) 线性变换

1 ．线性变换的概念及矩阵表示。

2 ．象子空间与核子空间的基与维数。

3 ．线性变换的运算及在给定基下的矩阵。

4 ．线性变换的特征值与特征向量。

5 ．不同基下线性变换的矩阵间关系及其化简。

6 ．不变子空间。

( 九 ) 欧氏空间

1 ．元素的内积、范数、夹角。

2 ． Gram-Schmidt 正交化过程，规范正交基。

3 ．正交子空间和正交补。

4 ．正交变换和对称变换的概念和性质。

二、参考书目

1 ．西北工业大学高等代数编写组编，《高等代数》，科学出版社， 2008

2 ．徐仲等编，《高等代数导教、导学、导考 ( 第 3 版 ) 》，西北工业大学出版社， 2006

3 ．徐仲等编，《高等代数考研教案》，西北工业大学出版社， 2006