王勤 教授
数学科学学院??????


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教育经历

工作经历

个人简介

社会兼职
Mathematics is a performance art; watching an expert mathematician perform mathematics, like watching an expert climber perform climbing, is not at all the same as doing it yourself. (by John Roe)


研究方向
泛函分析（算子代数）、粗几何、非交换几何

二十世纪的数学（节选）
by Michael Atiyah


维数的增加
线性代数总是涉及多个变量，但它的维数的增加更具有戏剧性，它的增加是从有限维到无穷维，从线性空间到有无穷个变量的Hilbert空间。当然这就涉及到了分析，在多个变量的函数之后，我们就有函数的函数，即泛函。它们是函数空间上的函数。
几何与代数
几何和代数是数学的两个形式支柱，并且都有悠久的历史。几何学可以追溯到古希腊甚至更早的时期；代数学则源于古阿拉伯人和古印度人。所以，它们都已经成为数学的基础，但它们之间有一种令人感到不太自然的关系。
让我首先由这个问题的历史开始。Euclid几何是数学理论中最早的一个例子，直到Descartes在我们现在称为的笛卡儿平面中引入代数坐标之前，它一直是纯几何的。Descartes的做法是一种将几何思考化为代数运算的尝试。从代数学家们的角度来讲，这当然是对几何学的一个重大突破或者说一次重大的冲击，如果我们来比较Newton和Leibniz在分析方面的工作，我们会发现他们属于不同的传统，Newton基本上是一个几何学家，而Leibniz基本上是一个代数学家，这其中有着很深刻的道理。对于Newton而言，几何学，或者是由他发展起来的微积分学，都是用来描述自然规律的数学尝试。他关心的是在很广泛意义下的物理，以及几何世界中的物理。在他看来，如果有人想了解事物，他就得用物理世界的观点来思考它，用几何图象的观点来看待它。当他发展微积分的时候，他想要发展的是微积分的一种能尽可能贴近隐藏在其后的物理内蕴的表现形式。所以他用的是几何论证，因为这样可以与实际意义保持密切关系，另一方面，Leibniz有一个目标，一个雄心勃勃的目标，那就是形式化整个数学，将之变成一个庞大的代数机器。这与Newton的途径截然不同，并且二者有很多不同的记号。正如我们所知道的，在Newton和Leibniz之间的这场大争论中，Leibniz的记号最后得胜。我们现在还沿用他的记号来写偏导数。Newton的精神尚在，但被人们埋葬了很长时间。
在十九世纪末期，也就是一百年前，Poincare和Hilbert是两个主要人物。我在前面已经提到过他们了，并且可以粗略地讲，他们分别是Newton和Leibniz的传人。Poincare的思想更多的是几何和拓扑的精神，他用这些思想作为他的基本洞察工具。Hilbert更多的是一个形式主义者，他要的是公理化，形式化，并且要给出严格的，形式的描述。虽然任何一个伟大的数学家都不能轻易地被归到哪一类中去，但是，很清楚地，他们属于不同的传统。
当准备这个报告的时候，我想我应该写下我们目前这一代中能够继承这些传统的具有代表性的人的名字。谈论还健在的人是十分困难的——谁该放在这张名单上呢？接着我又暗自思忖：有谁会介意被放在这么一张著名的名单的哪一边呢？于是我选择了两个名字Arnold和Bourbaki，前者是Poincare-Newton传统的继承人，而后者，我认为，是Hilbert最著名的接班人。Arnold毫不含糊地认为：他的力学和物理的观点基本上是几何的，是源自于Newton的；以为存在处于二者之间的东西，除了象Riemann（他确实跟两者都有偏离）等少数人之外，都是一种误解。Bourbaki努力继续Hilbert的形式化的研究，将数学公理化和形式化推向了一个令人瞩目的范围并取得了一些成功。每一种观点都有它的优点，但是它们之间很难调和。
让我来解释一下我自己是如何看待几何和代数之间的不同。几何学当然讲的是空间，这是毫无疑问的。如果我面对这间房间里的听众，我可以在一秒中内或者是一微秒内看到很多，接收到大量的信息，当然这不是一件偶然的事件。我们大脑的构造与视觉有着极其重要的关系。我从一些从事神经生理学的朋友那里了解到，视觉占用了大脑皮层的百分之八十或九十。在大脑中大约有十七个中枢，每一个中枢专门用来负责视觉活动的不同部分：有些部分涉及的是垂直方向的，有些部分与水平方向有关，有些部分是关于色彩和透视的，最后有些部分涉及的是所见事物的具体含义和解说。理解并感知我们所看到的这个世界是我们人类发展进化的一个非常重要的部分。因此，空间直觉(spatial intuition)或者空间知觉(spatial perception)是一种非常强有力的工具，也是几何学在数学上占有如此重要位置的原因，它不仅仅对那些明显具有几何性质的事物可以使用，甚至对那些没有明显几何性质的事物也可以使用。我们努力将它们归结为几何形式，因为这样可以让我们使用我们的直觉。我们的直觉是我们最有力的武器。特别是在向学生或是同事讲解一种数学时可以看得很清楚。当你讲解一个很长而且很有难度的论证，最后使学生明白了。学生这时会说些什么呢？他会说“我看到了（I see! 我懂了）！”在这里看见与理解是同义词，而且我们还可以用“知觉”这个词来同时形容它们，至少这在英语里是对的，把这个现象与其他语言作对比同样有趣。我认为有一点是很基本的：人类通过这种巨大的能力和视觉的瞬间活动获取大量的信息，从而得以发展，而教学参与其中并使之完善。
在另一方面（也许有些人不这样认为），代数本质上涉及的是时间。无论现在做的是哪一类代数，都是一连串的运算被一个接着一个罗列出来，这里“一个接着一个”的意思是我们必须有时间的概念。在一个静态的宇宙中，我们无法想象代数，但几何的本质是静态的：我可以坐在这里观察，没有什么变化，但我仍可以继续观察。然而,代数与时间有关，这是因为我们有一连串的运算，这里当我谈到“代数”时，我并不单单指现代代数。任何算法，任何计算过程，都是一个接着一个地给出一连串步骤,现代计算机的发展使这一切看得很清楚。现代计算机用一系列0和1来反映其信息并由此给出问题的答案。
代数涉及的是时间的操作，而几何涉及的是空间。它们是世界互相垂直的两个方面，并且它们代表数学中两种不同的观念。因此在过去数学家们之间关于代数和几何相对重要性的争论或者对话代表了某些非常非常基本的事情。
当然只是为了论证是哪一边输了，哪一边胜利了，这并不值得。当我考虑这个问题时，有一个形象的类比：“你愿意成为一个代数学家还是一个几何学家？”这个问题就象问：“你愿意是聋子还是瞎子？”一样．如果人的眼睛盲了，就看不见空间；如果人的耳朵聋了，就无法听见，听觉是发生在时间之中的，总的来说，我们还是宁愿二者都要。
在物理学，也有一个类似的、大致平行的关于物理概念和物理实验之间的划分。物理学有两个部分：理论——概念，想法，单词，定律——和实验仪器。我认为概念在某种广义的意义下是几何的，这是因为它们涉及的是发生在真实世界的事物。另一方面，实验更象一个代数计算。人们做事情总要花时间，测定一些数，将它们代入到公式中去。但是在实验背后的基本概念却是几何传统的一部分。
将上述二分叉现象用更哲学或者更文学的语言来说，那就是对几何学家而言，代数就是所谓的“浮士德的奉献”。正如大家所知道的，在歌德的故事里，浮士德通过魔鬼可以得到他所想要的（就是一个漂亮女人的爱），其代价是出卖他的灵魂，代数就是由魔鬼提供给数学家的供品。魔鬼会说：“我将给你这个有力的机器，它可以回答你的任何问题。你需要做的就是把你的灵魂给我：放弃几何，你就会拥有这个威力无穷的机器”(现在可以把它想象成为一台计算机!)。当然我们希望同时拥有它们，我们也许可以欺骗魔鬼，假装我们出卖灵魂，但不真地给它。不过对我们灵魂的威胁依然存在，这是因为当我们转入代数计算时，本质上我们会停止思考，停止用几何的观念来考虑问题，不再思考其含义。
在这里我谈论代数学家的话重了一些，但是基本土，代数的目标总是想建立一个公式，把它放到一个机器中去，转动一下把手就可以得到答案。也就是拿来一个有意义的东西，把它化成一个公式，然后得到答案。在这样的一个过程中，人们不再需要思考代数的这些不同阶段对应的几何是什么。就这样，洞察力丢掉了，而这在那些不同的阶段都是非常重要的。我们绝不能放弃这些洞察力！最终我们还是要回到这上面来的，这就是我所谈到的浮士德的奉献。我肯定这种讲法尖锐了一点。
几何和代数的这种选择导致能融合二者的一些交叉课题的产生，并且代数和几何之间的区别也不象我讲的那样直截了当和朴实无华．例如，代数学家们经常使用图式(diagram)。而除了几何直觉，图式又能是什么呢？
通用的技术
现在我不想再谈论太多就内容来划分的主题，而想谈谈那些依照已经使用的技术和常见方法所确定的主题，也就是我想描述一些已经广泛应用于众多领域的常见方法。第一个就是：
同调论
历史上同调论是作为拓扑学的一个分支而发展起来的。它涉及到以下情形。现有一个复杂的拓扑空间，我们想从中得到它的一些简单信息如计算它的洞或者类似事物的个数，得到某些与之联系的可加的线性不变量等。这是一种在非线性条件下关干线性不变量的构造。从几何的角度来看，闭链可加可减，这样就得到了所谓的一个空间的同调群。同调论，作为一种从拓扑空间获取某些信息的基本代数工具，是在本世纪上半叶发现的。这是一种从几何中获益匪浅的代数。
同调概念也出现在其他一些方面。其另一个源头可以追溯到Hilbert及其关于多项式的研究中，多项式是非线性的函数，它们相乘可以得到更高次数的多项式。正是Hilbert那伟大的洞察力促使他来讨论“理想”，具有公共零点的多项式的线性组合。他要寻找这些理想的生成元。生成元可能有很多。他审视它们之间的关系以及关系之间的关系。于是他得到这些关系的一个分层谱系，这就是所谓的“Hilbert合系”。Hilbert的这个理论是一种非常复杂的方法，他试图将一个非线性的情形（多项式的研究）化为线性情形。本质上来讲，Hilbert构造了一个线性关系的复杂体系。能够把象多项式这样的非线性事物的某些信息纳入其中。这个代数理论实际上是与上述拓扑理论平行的，而且现在它们已融合在一起构成了所谓的“同调代数”。在代数几何学中，本世纪五十年代最伟大的成就之一是层的上同调理论的发展及在解析几何学中的扩展，这是由Leray，Cartan，Serre和Grothendieck等人组成的法国学派取得的。从中我们可以感受到一种既有Riemann-Poincaré的拓扑思想，又有Hilbert的代数思想，再加上某些分析手段的融合。这表明同调论在代数的其它分支也有着广泛的应用。我们可以引入同调群的概念，它通常是与非线性事物相关的线性事物。我们可以将之应用于群论，例如，有限群，以及李代数：它们都有相应的同调群。在数论方面，同调群通过Galois群产生了非常重要的应用。因此在相当广泛的情形下同调论都是强有力的工具之一，它也是二十世纪数学的一个典型的特征。
K-理论
我要谈的另外一个技术就是所谓的“K-理论”。它在很多方面都与同调论相似，它的历史并不很长（直到二十世纪中叶才出现，尽管其起源的某些方面也许可以追溯到更早一些），但它却有着很广泛的应用，已经渗透进了数学的许多部分。K-理论实际上与表示理论紧密相联，有限群的表示理论，可以讲，起源于十九世纪。但是其现代形式——K-理论却只有一个相对较短的历史。K-理论可以用下面的方式来理解：它可以被想成是应用矩阵论的一种尝试。我们知道矩阵的乘法是不可交换的，于是我们想构造矩阵可换的或是线性的不变量。迹，维数和行列式都是矩阵论中可换的不变量，而K-理论即是试图处理它们的一种系统的方法，它有时也被称为“稳定线性代数”。其思想就是，如果我们有很多矩阵，那么把两个不可换的矩阵A和矩阵B放在不同块的正交位置上，它们就可换了，因为在一个大的空间里，我们可以随意移动物体。于是在某些近似情况下，这样做是很有好处的，足以让我们得到一些信息，这就是作为一个技术的K-理论的基石。这完全类似于同调论，二者都是从复杂的非线性情形获取线性的信息。
在代数几何中，K-理论是由Grothendieck首先引入的，并且取得了巨大的成功，这些与我们刚刚谈到的层理论密切相关，而且也和他在Riemann-Roch定理方面的工作有紧密联系。
在拓扑学方面，Hirzebruch和我照搬了这些思想并且将它们应用到一个纯粹的拓扑范畴内。从某种意义下来说，如果Grothendieck的工作与Hilbert在合系方面的工作有关，那么我们的工作更接近于Riemann-Poincaré在同调方面的工作，我们用的是连续函数，而他用的是多项式。K-理论也在椭圆算子的指标理论和线性分析的研究中起了重要作用。
从另外一个不同的角度，Milnor，Quillen和其他人发展了K-理论的代数方面，这在数论的研究中有着潜力巨大的应用．沿着这个方向的发展导致了许多有趣问题的产生。
在泛函分析方面，包括象Kasparov在内的许多人的工作将连续的K-理论推广到非交换的C*-代数情形。一个空间上的连续函数在函数乘积意义下形成一个交换代数。但是在其他情形下，自然地产生了类似的关于非交换情形的讨论，这时，泛函分析也就自然而然地成为了这些问题的温床。
因此，K-理论是另外一个能够将相当广泛的数学的许多不同方面都能用这种比较简单的公式来处理的领域，尽管在每一个情形下，都有很多特定于该方面且能够连接其他部分的非常困难的，技巧性很强的问题。K-理论不是一个统一的工具，它更象是一个统一的框架，在不同部分之间具有类比和相似。这个工作的许多内容已经被Alain Connes推广到“非交换微分几何”。
非常有趣的是，也就是在最近，Witten通过他在弦理论方面（基础物理学的最新思想）的工作发现许多很有趣的方法都与K-理论有关，并且K-理论看起来为那些所谓的“守恒量”提供了一个很自然的“家”。虽然在过去同调论被认为是这些理论的自然框架，但是现在看起来K一理论能提供更好的答案。
历史的总结
我现在作一个简短的总结。让我概括地谈谈历史：数学究竟发生了什么？我相当随意地把十八世纪和十九世纪放在了一起，把它们当做我们称为古典数学的时代，这个时代是与Euler和Gauss这样的人联系在一起的，所有伟大的古典数学结果也都是在这个时代被发现和发展的。有人也许认为那几乎就是数学的终结了，但是相反地，二十世纪实际上非常富有成果，这也是我一直在谈论的。
二十世纪大致可以一分为二地分成两部分。我认为二十世纪前半叶是被我称为“专门化的时代”，这是一个Hilbert的处理办法大行其道的时代，即努力进行形式化，仔细地定义各种事物，并在每一个领域中贯彻始终。正如我说到过的，Bourbaki的名字是与这种趋势联系在一起的。在这种趋势下，人们把注意力都集中于在特定的时期从特定的代数系统或者其它系统能获得什么。二十世纪后半叶更多地被我称为“统一的时代”，在这个时代，各个领域的界限被打破了，各种技术可以从一个领域应用到另外一个领域，并且事物在很大程度上变得越来越有交叉性。我想这是一种过于简单的说法，但是我认为这简单总结了我们所看到的二十世纪数学的一些方面。
二十一世纪会是什么呢？我已经说过，二十一世纪是量子数学的时代，或者，如果大家喜欢，可称为是无穷维数学的时代。这意味着什么呢？量子数学的含义是指我们能够恰当地理解分析、几何、拓扑和各式各样的非线性函数空间的代数，在这里，“恰当地理解”，我是指能够以某种方式对那些物理学家们已经推断出来的美妙事物给出较精确的证明。
有人要说，如果用天真幼稚的方式(naive way)来研究无穷维并问一些天真幼稚的问题，通常来讲，只能得到错误的答案或者答案是无意义的，物理的应用、洞察力和动机使得物理学家能够问一些关于无穷维的明智的问题，并且可以在有合乎情理的答案时作一些非常细致的工作，因此用这种方式分析无穷维决不是一件轻而易举的事情。我们必须沿着这条正确的道路走下去。我们已经得到了许多线索，地图已经摊开了：我们的目标已经有了，只不过还有很长的路要走。
还有什么会发生在二十一世纪？我想强调一下Connes的非交换微分几何。Alain Connes拥有这个相当宏伟的统一理论。同样，它融合了一切。它融合了分析、代数、几何、拓扑、物理、数论，所有这一切都是它的一部分。这是一个框架性理论，它能够让我们在非交换分析的范畴里从事微分几何学家通常所做的工作，这当中包括与拓扑的关系。要求这样做是有很好的理由的，因为它在数论、几何、离散群等等以及在物理中都有（潜力巨大的或者特别的）应用。




开授课程


科研项目


学术成果
(Selected)
[1] Chen, Xiaoman;Wang, Qin;Yu, GuoliangThe coarse Novikov conjecture and Banach spaces with Property (H).J. Funct. Anal.268(2015),no. 9,2754–2786.
[2] Chen, Xiaoman;Wang, Qin;Wang, XianjinTruncation approximations and spectral invariant subalgebras in uniform Roe algebras of discrete groups.J. Fourier Anal. Appl.21(2015),no. 3,555–574.
[3] Chen, Xiaoman;Wang, Qin;Wang, ZhijieFibred coarse embedding into non-positively curved manifolds and higher index problem.J. Funct. Anal.267(2014),no. 11,4029–4065.
[4] Chen, Xiaoman;Wang, Qin;Yu, GuoliangThe maximal coarse Baum-Connes conjecture for spaces which admit a fibred coarse embedding into Hilbert space.Adv. Math.249(2013),88–130.
[5] Chen, Xiaoman;Wang, Qin;Wang, XianjinCharacterization of the Haagerup property by fibred coarse embedding into Hilbert space.Bull. Lond. Math. Soc.45(2013),no. 5,1091–1099.
[6] Chen, Xiaoman;Wang, Qin;Wang, XianjinOperator norm localization property of metric spaces under finite decomposition complexity.J. Funct. Anal.257(2009),no. 9,2938–2950.
[7] Gong, Guihua;Wang, Qin;Yu, GuoliangGeometrization of the strong Novikov conjecture for residually finite groups.J. Reine Angew. Math.621(2008),159–189.
[8] Wang, QinRemarks on ghost projections and ideals in the Roe algebras of expander sequences.Arch. Math. (Basel)89(2007),no. 5,459–465.
[9] Shan, Lin;Wang, QinThe coarse geometric Novikov conjecture for subspaces of non-positively curved manifolds.J. Funct. Anal.248(2007),no. 2,448–471.
[10] Chen, Xiaoman;Wang, QinRank distributions of coarse spaces and ideal structure of Roe algebras. Bull. London Math. Soc.38(2006),no. 5,847–856.
[11] Chen, Xiaoman;Wang, QinGhost ideals in uniform Roe algebras of coarse spaces.Arch. Math. (Basel)84(2005),no. 6,519–526.
[12] Chen, Xiaoman;Wang, QinIdeal structure of uniform Roe algebras of coarse spaces. J. Funct. Anal.216(2004),no. 1,191–211.


荣誉及奖励


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