计算数学硕士点研究方向(部分)简介

1. 符号计算及其应用

    偏微分方程(组)的数值解与解析(精确与近似解析)解的计算机产生算法与理论的研究是在计算数学中具有挑战性的领域。我们在该方向进行了系统而深入的工作,取得了很好的成果.该方向的主要目的是研究和设计构造化算法,计算机产生(符号计算)偏微分方程(组)(PDEs)的对称及各种解析和数值解，通过解PDEs对称群再求解PDEs的解析解，进而可机器产生Backlund变换在内的诸多PDEs的变换，守恒律，Hamilton结构等重要的数学关系或用差分方程的对称，设计和实现新的、稳定的数值解算法。对数学物理等学科有重要理论和实际意义。

符号计算的基础——机器证明原理与PDEs对称问题紧密结合，理论上有新意，算法有效可靠、系统化、机械化，达到新水平。(1)思路新颖:机器证明学科与PDEs对称理论有机地结合,把各类对称计算问题代数化、系统化及机械化是我们首次提出的,是一个全新的思路,据我们所知国内外尚无类似的工作.(2)与工科紧密结合:该方向主要研究以工程问题为背景的偏微分方程及优化问题,使原工程问题转化为微分方程问题,研究上取得了较满意的成果.对我校其它工科专业提供强大的数学基础,发展前景良好.(3)辐射面广、多学科交叉:因本方向的研究涉及到微分代数几何、计算机代数、机器证明等新发展起来的学科及偏微方程和群论及解析解等理论,所以通过本方向的研究不仅使对称理论和算法得到完善,而且能够促进相关学科间的相互交叉发展.微分与代数总是在理论和算法上的相互转换和借鉴是数学机械化在微分情形中推进的必经之路,所以本方向的研究很可能成为对机器证明原理和方法在微分情形中深入应用具有借鉴和参考意义的基础工作;(4)理论系统、结论普适,应用广泛:本方向采用和建立的数学工具理论系统、算法构造具有一般性,可操作性强,不仅可应用于对称问题,也可应用于机械化产生PDEs间各类变换等广泛的领域.具有开展广泛而深入研究的价值.

2. 随机模型中的分析与计算及其应用

（1）细观力学系统中的实验数据，本质上是对一随机过程的观测数据. 通过实验数据(样本)对力学行为的推断, 其数学模型可转化为或涉及到过程统计的问题. 从机理上, 细观力学由微细观到宏观层次演化及突变机理, 其数学描述往往是随机微分动力系统. 方法上, 主要是概率统计以及小波基表示的非平稳过程所适用的方法. 算法上, 非数值并行算法, 例如模拟退火算法、遗传算法等。另外，力学研究中经常涉及到各种概率分布, 如Weibull分布、Gamma分布，为了更准确地揭示力学行为，需要选择更优的参数估计。这些问题本身在数学领域都是没有完全定性的. 解决这些问题不仅是力学研究的需要, 而且更重要也完善和补充了数学学科相应领域的理论.

(2) 抽样调查现在已被广泛的使用. 它省时省力,能获得较为准确的结果. 这一方面是由于方法本身的科学性;但另一方面很重要的一个前提是被调查者的回答必须是真实的.在当今社会经济等各种统计调查中,经常会遇到各种各样的敏感性问题.在抽样调查中，如果关心的变量(或特征)涉及个人隐私或不被社会赞赏的这类敏感性问题，调查采用直接问答的方式, 被调查者为了保护自己的隐私或出于其它目的会导致猜疑,从而产生一定程度的不合作甚至拒绝回答.这样就破坏了数据的真实性,而且破坏程度的大小无法度量，调查的结果就没有可靠性 .因此，对于敏感性问题,若采用直接调查的方法,调查者将难以控制样本信息得不到可靠的样本数据.为了得到敏感性问题可靠的样本数据,有必要采用科学可行的调查技术.一种鼓励参与者更好地合作的方法(称为随机化技术)首先被Warner(1965)引进.之后的工作主要是 Warner开创性工作的延续和改良. 综观这一领域国内外(主要是国外)近三十多年的发展，虽然提出了不少的理论和方法，但仍存在着大量的亟待解决的问题，而且理论研究结果很少在实际中应用。这方面的研究不论从发展抽样调查理论还是指导实际敏感问题调查都具有重要意义.

3. 微分算子谱分析及特征值的计算

微分算子谱理论是当代量子力学的数学支柱，应用广泛。该方向的核心问题是微分算子的谱的理论分析和特征值问题的数值计算。完成的科研工作包括自伴微分算子谱理论的研究及其谱的定量定性分析；广义微分算子、J-对称微分算子亏指数理论的研究；向量值J-对称微分算子的J-自伴边条件的完全描述；J-自伴微分算子谱理论的研究及其定量定性分析；非自伴微分算子的特征问题；不定的Sturm-Liouville问题的研究；Volterra—Stieltjes积微分算子理论等。

4. 流体力学方程

对流体力学方程的理论研究及数值解的收敛性问题展开了研究，并取得了一定的成果。

流体力学方程，无论理论还是数值解的研究都是较难的课题，其研究目前仍然是非常活跃，发展前景是十分乐观的。同时该方向的研究对我校的工程力学、动力工程等专业提供强有力的数学支撑。并与工结合形成了自己的特色。

5. 最优化理论及其应用 (待补充)

6. 图论 (待补充)