东北大学 机械工程与自动化学院，辽宁 沈阳 110819
收稿日期：2022-05-30
基金项目：国家自然科学基金资助项目(52075084)。
作者简介：朱清东(1996-)，男，吉林长春人，东北大学硕士研究生;
姚红良(1979-)，男，河北保定人，东北大学教授，博士生导师。
摘要：针对目前超材料结构在低频抑振时质量和体积过大的问题，提出了惯容超材料扭振隔振器.首先设计了惯容超材料隔振器的具体结构，并分析了其相对于传统超材料隔振器的优点.其次分析了中介轮传动机制，在建立惯容超材料隔振器动力学方程的基础上，得出了惯容超材料隔振器能带结构图与超材料隔振系统传输曲线，并进一步探究从动金属盘直径及单胞数对惯容超材料隔振器抑振效果的影响，通过试验对所设计惯容超材料隔振器进行了扭振抑制的效果验证.结果表明，所设计惯容超材料隔振器最大振动衰减可达-60 dB，能够有效地抑制转子系统的低频扭转振动，从而满足实际工程需要.
关键词：转子系统超材料结构扭振抑制惯容技术隔振器
Theoretical and Test Study of Inertial Capacitance Metamaterial Torsional Vibration Isolators
ZHU Qing-dong, CHEN Ya-qiang, WU Chao, YAO Hong-liang
School of Mechanical Engineering & Automation, Northeastern University, Shenyang 110819, China
Corresponding author: YAO Hong-liang, E-mail: hlyao@mail.neu.edu.cn.
Abstract: The inertial capacitance metamaterial torsional vibration isolator is proposed to address the problem of excessive mass and volume of the current metamaterial structure in low frequency vibration suppression. Firstly, the specific structure of the inertial capacitance metamaterial vibration isolator is designed and its advantages over the conventional metamaterial vibration isolator are analyzed. Secondly, the intermediate wheel transmission mechanism is analyzed, and on the basis of the kinetic equations of the inertial capacitance metamaterial isolator, the energy band structure of the inertial capacitance metamaterial isolator and the transmission curve of the metamaterial isolation system are derived, and the influence of the diameter of the driven metal disk and the number of single cells on the vibration suppression effect of the inertial capacitance metamaterial isolator is further investigated. The effect of torsional vibration suppression of the designed inertial metamaterial isolator is verified through experiments. The results show that the maximum vibration attenuation of the designed inertial metamaterial vibration isolator can reach -60 dB, which can effectively suppress the low frequency torsional vibration of the rotor system and thus meet the practical engineering requirement.
Key words: rotor systemmetamaterial structuretorsional vibration suppressioninertial capacity technologyisolator
扭转振动是车辆传动系统等转子系统最常见的问题.在转子系统上附加吸振器是抑制扭振的常用方法.传统的被动吸振器具有结构简单的优点，但是抑振频带窄也是其难以避免的缺点[1-2].而主动或半主动吸振器可以增大抑振频带，但是也有结构复杂、可靠性下降等缺点[3-4].由此可见，传统的被动、主动抑振方法均存在一定的不足，迫切地需要新的扭振抑制方法.
声学超材料结构是人工复合的含有多种材料的新型结构，这种新型结构最明显的特性为带隙特性，即声学超材料可以在带隙频率范围内阻止弹性波在介质中进行传播[5].例如对于车辆，可以针对传动系统的运行频率范围来设计超材料结构，从而保证车辆传动系统在正常行驶范围内保持低振动.近年来，声学超材料结构在扭振抑制领域的研究日益广泛.如文献[6-11]都进行了超材料轴类结构的扭振抑制研究.
各种装备的运行频率范围一般都在结构的低阶频率范围，因此扭振抑制超材料结构研究的一个重要内容是降低带隙频率.由于超材料的带隙范围由弹性层的刚度与质量层的质量共同决定.因此一般采取降低弹性层刚度的方法来降低带隙频率，如文献[7, 9, 11]均采用多层软材料及均布小块软材料等来降低刚度.但是，过多地降低弹性层刚度可能导致结构的强度和稳定性降低.
近年来，发展了两种不降低结构强度但降低带隙频率的方法.第一种方法是采用准零刚度或正负刚度的组合来降低弹性层的刚度，如文献[12]采用负扭转刚度结构来中和正扭转刚度，实现低频超材料轴.另一种方法是利用惯容器技术来增强系统的等效质量，目前尚未在超材料轴上加以应用，但是在车身动力吸振器[13-15]、质量阻尼器等[16-17]结构上都已经成功验证.
目前尚无惯容技术与超材料扭振隔振器相结合的相关报道，因此本文将传统声学超材料结构与惯容技术相结合，设计了一种惯容超材料扭振隔振器.该隔振器相较于传统的超材料隔振器，由于存在柔性梁传动部件，驱动部分和从动部分始终保持一定的传动比，因此能够以较小的惯容金属盘质量成倍放大超材料扭振隔振器中金属盘的有效转动惯量，使得超材料谐振器的固有频率降低，当外界激励频率达到超材料谐振器的固有频率时，超材料谐振器与转子系统发生反共振，最终导致弹性波无法在带隙范围内传播，从而达到降低超材料扭振隔振器带隙下界频率的目的.正是由于惯容结构的存在，使得超材料轴在空间有限的情况下，能够对转子系统的低频扭转振动起到有效的抑制作用，在工程应用上具有可观的应用前景.
1 惯容超材料隔振器结构设计与特点1.1 惯容超材料隔振器结构设计图 1所示为所设计的惯容超材料隔振器，该结构主要由三部分组成：第一部分为由橡胶盘、金属盘与驱动惯容盘组成的驱动部件；第二部分由含有两个柔性梁的中介轮组成的传动部件；第三部分为由轴承、金属盘与从动惯容盘组成的从动部件.驱动部件与从动部件通过固定在轴上的传动部件进行传动，它们整体套在轴上构成惯容超材料隔振器结构.
图 1(Fig. 1)
 | 图 1 惯容超材料隔振器结构图Fig.1 Structure of the inertial capacitance metamaterial vibration isolator |
1.2 惯容超材料隔振器特点分析本文提出的结合惯容技术的超材料隔振器可以实现在保持系统较小尺寸的同时实现低频抑振.惯容超材料隔振器驱动部件与从动部件通过中介轮进行传动，传动方式通过中介轮中的柔性梁来实现.通过改变从动部件金属盘的直径与长度，可以改变驱动部件与从动部件在中介轮柔性梁的相对位置，从而改变传动比.两种方法来改变从动部件等效到驱动部件金属盘上的等效质量，这相当于在金属盘上继续附加一个巨大的圆盘，从而在控制超材料结构总体质量较小的同时，实现转子系统的低频抑振.
2 中介轮传动机制如图 2所示，设驱动部件与中介轮的扭转角度分别为θ1，θ2.卡点1与卡点2分别代表驱动部件和从动部件与中介轮接触点位置，它们距轴心线的距离分别为r1，r2.l1，l2分别代表中介轮顶点到卡点1、卡点2的距离.
图 2(Fig. 2)
 | 图 2 中介轮传动机制Fig.2 Intermediate wheel transmission mechanism (a)—二维示意图；(b)—几何关系；(c)—运动关系. |
在图 2中，中介轮在卡点1和卡点2的作用下有两个相对弧长，分别为
 | (1) |
 | (2) |
假设基体、驱动部件、从动部件的转动惯量分别为J1，J2，Ji.从动部件等效到驱动部件的等效转动惯量为
 | (3) |
 | (4) |
由此可见，在b比较大时，系统的等效转动惯量明显增大.等效散射体的直径为
 | (5) |
图 3(Fig. 3)
 | 图 3 超材料结构尺寸对比Fig.3 Dimensional comparison of metamaterial structures (a)—无惯容结构单胞尺寸；(b)—有惯容结构单胞尺寸. |
3 惯容超材料隔振器带隙分析3.1 动力学方程建立图 4所示为惯容超材料隔振器的一维周期局域共振质量-阻尼-弹簧系统.图中虚线框内为该周期系统的单胞，a为晶格常数，表示相邻两个单胞中心的间距.
图 4(Fig. 4)
 | 图 4 超材料隔振器数学模型Fig.4 Mathematical model of the metamaterial vibration isolator |
设基体和振子的刚度系数和阻尼系数分别用k1，k2和c1, c2表示.用θ1j, θ2j分别表示基体、振子的扭转角度，由式(2)可得：θij=b(θ2j－θ1j).TL和TR分别表示第j-1和第j+1个单胞对第j个单胞的扭矩.考虑谐波在简化模型中的传递情况，则第j个单胞的运动方程可写为
 | (6) |
 | (7) |
考虑周期结构的稳态简谐振动，设扭矩和扭转角的解为
 | (8) |
 | (9) |
 | (10) |
 | (11) |
 | (12) |
 | (13) |
 | (14) |
 | (15) |
 | (16) |
 | (17) |
 | (18) |
 | (19) |
 | (20) |
 | (21) |
 | (22) |
 | (23) |
通过式(23)，可以求解出ω与qa之间的表达式，即求得特征频率与波矢之间的关系，以此来揭示一维惯容超材料隔振器的带隙.
3.2 惯容超材料隔振器带隙分析对所设计惯容超材料隔振器带隙进行分析，惯容超材料隔振器参数如表 1所示.
表 1(Table 1)
 表 1 惯容超材料隔振器参数Table 1 Parameters of the inertial capacitance metamaterial vibration isolator
| 表 1 惯容超材料隔振器参数 Table 1 Parameters of the inertial capacitance metamaterial vibration isolator |
将波矢取遍整个不可约布里渊区边界上的值，从而得到特征频率与波矢之间的关系，并绘制曲线图，即为声子晶体能带结构图.其中，Γ与X分别为波矢在不可约布里渊区的边界值.从图 5中可以看出：所设计惯容超材料隔振器可以出现较宽频的完全带隙，带隙范围为28.5~411.7 Hz，带隙宽度高达383.2 Hz，该结构具有相对优异的带隙特性，故可以应用于转子系统的扭振抑制.
图 5(Fig. 5)
 | 图 5 惯容超材料隔振器能带结构Fig.5 Energy band structure of the inertial capacitance metamaterial vibration isolator |
3.3 惯容超材料隔振系统传输曲线分析将所设计的惯容超材料隔振器周期排列，周期数为5，组成惯容超材料隔振系统，惯容超材料隔振系统总长为400 mm.在对惯容超材料隔振系统进行传输特性研究时，在模型左侧施加单位扭矩作为激励，选取基体轴左右两点作为激励端与响应端，分别在激励端与响应端提取扭振位移幅值，可以得到传输响应曲线，隔振量用T表示，单位为dB，计算公式为
 | (24) |
图 6为惯容超材料隔振系统模型，图 7为惯容超材料隔振器从动金属盘直径70 mm，橡胶盘直径60 mm，基体轴直径10 mm，按照图 6所示排列而成的惯容超材料隔振系统振动传输损失曲线.由图 7可以看出，不加装惯容超材料隔振器的轴系没有扭振抑制效果，而加装惯容超材料隔振器的隔振系统具有良好的隔振效果，可以实现在40~300 Hz范围内的宽频抑振，且抑振效果维持在-50 dB及以上.在130 Hz附近，抑振效果最好，可以达到-80 dB左右，振动传输曲线中有效抑振范围与惯容超材料隔振器带隙范围一致性较好，可以证明带隙计算方法与传输曲线计算方法都是正确的.
图 6(Fig. 6)
 | 图 6 惯容超材料隔振系统模型Fig.6 Model of the inertial capacitance metamaterial vibration isolation system |
图 7(Fig. 7)
 | 图 7 惯容超材料隔振系统振动传输损失曲线Fig.7 Vibration transmission loss curves of the inertial capacitance metamaterial vibration isolation system |
4 惯容超材料隔振器参数影响分析4.1 从动金属盘直径影响带隙首先研究从动金属盘直径对带隙的影响规律，保持惯容超材料隔振器其他参数不变，只改变从动金属盘直径尺寸，本组数据选择的从动金属盘直径为40~160 mm，间隔为20 mm，从而进行带隙计算，计算结果如图 8、图 9所示.
图 8(Fig. 8)
 | 图 8 不同从动金属盘直径的能带结构Fig.8 Energy band structure for different follower metal disc diameters (a)—金属盘直径40 mm; (b)—金属盘直径160 mm. |
图 9(Fig. 9)
 | 图 9 从动金属盘直径参数影响分析Fig.9 Analysis of the influence of driven metal disc diameter parameters |
如图 8所示，当惯容超材料从动金属盘直径发生变化时，惯容超材料隔振器带隙宽度相对较大.其中，当从动金属盘直径为40 mm时，带隙宽度最窄，为274.49 Hz，能带图如图 8a所示；当从动金属盘直径为160 mm时，带隙宽度最宽，为348 Hz，能带图如图 8b所示.
由图 9可以得到从动金属盘直径变化时，惯容超材料隔振器带隙范围与归一化带宽的变化规律.如图所示，当从动金属盘直径分别为40，60，80，100，120，140和160 mm时，带隙起始频率分别为93.83，50.63，36.74，28.55，23.93，20.42和17.73 Hz，带隙终止频率分别为368.32，356.99，366.50，363.36，367.84，369.25和365.73 Hz.
综上所述，随着惯容超材料隔振器从动金属盘直径逐渐增大，带隙宽度呈上升趋势，带隙低频特性愈发明显.
4.2 单胞数影响隔振效果分析惯容超材料隔振器单胞数的变化对惯容超材料隔振系统抑振效果的影响.选择惯容超材料隔振器单胞数为3~10.
图 10所示为惯容超材料隔振器不同单胞数下隔振系统振动传输损失曲线，图 11所示为惯容超材料隔振器不同单胞数下隔振系统振动衰减最大值的变化曲线.当惯容超材料隔振器单胞数分别为3，4，5，6，7，8，9，10时，对应的隔振系统振动衰减最大值为52，59，87，91，113，118, 123和138 dB.
图 10(Fig. 10)
 | 图 10 单胞数量对抑振效果影响Fig.10 Effect of number of unit cells on vibration suppression (a)—较少单胞数；(b)—较多单胞数. |
图 11(Fig. 11)
 | 图 11 不同单胞数的最大抑振效果Fig.11 Maximum vibration suppression effect with different number of cells |
综合图 10与图 11可知，当惯容超材料隔振器单胞数为5及以上时，隔振系统的振动衰减效果有了明显的提高.
5 试验验证5.1 试验台搭建图 12为转子-惯容超材料隔振系统试验装置，包括1个激振器，2个激光位移传感器，一套LMS振动信号采集装置.惯容超材料隔振器的实际结构见图 13.
图 12(Fig. 12)
 | 图 12 试验装置图Fig.12 Diagram of the test set-up |
图 13(Fig. 13)
 | 图 13 惯容超材料隔振器实际结构Fig.13 Actual structure of inertial capacitance metamaterial vibration isolator (a)—隔振器分解图；(b)—隔振器装配图. |
5.2 试验结果因单胞数影响抑振效果，搭建如图 12所示的试验装置，选择基体轴的材料为尼龙，从动部分的金属盘直径为100 mm，用激振器作为激振发生装置，在0~200 Hz范围内扫频，对试验中测得的激振点和拾取点的振动信号进行处理.
分别对惯容超材料隔振系统单胞数为3，4，5三种情况进行试验验证.
通过图 14可以看出，当惯容超材料隔振系统中超材料隔振器单胞数增加时，其对转子系统的抑振效果逐渐增加，但惯容超材料隔振器的带隙起始频率也随之升高.具体地，惯容超材料隔振器单胞数每增加1，其对转子系统的抑振效果增加10 dB左右，带隙起始频率增加15 Hz左右.所以，可以得出结论：转子系统想要实现低频抑振，需要较小的惯容超材料隔振器单胞数；转子系统想要优异的抑振效果，需要较大的惯容超材料隔振器单胞数.这与上一节的仿真结果相吻合.
图 14(Fig. 14)
 | 图 14 不同超材料单胞数振动传输曲线Fig.14 Vibrational transmission curves for different numbers of metamaterial cells |
不同基体轴材料的试验验证.当基体轴材料为尼龙时，选取含有5个惯容超材料隔振器的转子系统进行分析，将试验传输损耗曲线与仿真结果进行对比，如图 15所示.从图 15可以看出，从试验数据得出的传输损耗曲线与相应的仿真结果基本一致.产生偏差的原因主要有两个：一个是试验设备的材料参数与理论参数略有偏差；另一个是在搭建试验台的过程中难免会有安装误差.试验结果表明，从20 Hz以后，惯容超材料隔振器开始出现抑振效果，在135 Hz附近，抑振效果达到了最大，约为-60 dB.
图 15(Fig. 15)
 | 图 15 基体轴材料为尼龙时，振动传输曲线试验与仿真对比Fig.15 Comparison of vibration transmission curves with experimental and simulation when the base shaft material is nylon |
将基体轴材料改为钢，重复上述实验，并与仿真结果进行对比，如图 16所示.从图 16可以看出，从10 Hz开始，惯容超材料隔振器开始出现抑振效果，在65 Hz时，惯容超材料扭振隔振器振动衰减达到-35 dB，这是因为65 Hz为超材料谐振器的二阶扭转振动模态，此时谐振器与轴发生反共振，抑振效果达到峰值-35 dB，30 Hz后稳定在-12 dB以上.惯容超材料隔振器对于不同的基体轴都能表现出很好的振动抑制效果.
图 16(Fig. 16)
 | 图 16 基体轴材料为钢时，振动传输曲线试验仿真对比Fig.16 Comparison of vibration transmission curves with experimental and simulation when the base shaft material is steel |
经过上述试验发现，当轴材料为尼龙时带隙下界频率更高，这是由于尼龙材料密度小，在同等体积下相对于钢材料质量小，因此尼龙材料的超材料谐振器固有频率高，造成带隙下界频率相对于钢材料大.因此轴材料为尼龙时在频率为20Hz出现抑振效果，而钢材料在频率为10 Hz就开始出现抑振效果.
选定基体轴材料为钢，通过LMS软件对激励点与拾取点的能量图进行绘制，如图 17所示.
图 17(Fig. 17)
 | 图 17 激励点与拾取点处能量Fig.17 Energy diagram at the excitation and pick-up points (a)—激励点处能量；(b)—拾取点处能量. |
由图 17可以看出，激励点处的振动能量最大值为4，且在30~140 Hz频率范围内，激励点处出现很大的振动；由图 17可以看出，拾取点处的能量最大值为0.8，且仅在30~60 Hz频率范围内，拾取点处的振动相对较大.可以得出，惯容超材料隔振器在带隙范围内对于转子系统的振动能量有着较大程度的衰减.
6 结论1) 采用惯容技术与超材料结构相结合，通过较小的惯容金属盘质量使得超材料结构等效转动惯量大幅增加，显著地减小了超材料谐振器的固有频率，降低了超材料轴的带隙下界频率，最大振动衰减可达-60 dB，可以对转子系统的低频扭转振动进行有效的抑制.
2) 所设计的惯容超材料隔振器能够在对空间有限制的场所对转子系统扭转振动进行抑制，同时所设计的惯容器结构简单，能够根据抑振目标更换尺寸不同的惯容金属盘，从而调节超材料轴隔振器的带隙起止频率，具有结构灵活和带隙可变的优点.
3) 转子系统抑振试验研究表明，试验数据与仿真结果的整体趋势基本一致，证明所设计的惯容超材料隔振器对转子系统的低频扭转振动有着良好的抑振效果，相比于传统的超材料轴，惯容式的不仅带隙起始频率低，而且振动衰减程度更大.
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