栾峰^1,2, 杨帆^1,2, 蔡睿智^1,2, 杨晨^1,2
1. 东北大学 计算机科学与工程学院, 辽宁 沈阳 110169;
2. 东北大学 医学影像智能计算教育部重点实验室，辽宁 沈阳 110169
收稿日期：2021-11-02
作者简介：栾峰(1979-)，男，辽宁营口人，东北大学副教授。

摘要：在医疗诊断中，稀疏采样能减少CT扫描过程中辐射对患者的伤害.但直接对稀疏采样后的投影数据进行重建，会使CT重建后的图像出现失真、伪影等问题.为保证低采样率下重建图像的质量，提出了双字典自适应学习算法，参照Sparse-Land模型的双字典学习框架，将K-SVD算法与双字典学习算法框架相结合得到补全投影数据，利用FBP算法进行重建得到高质量的重建图像.实验结果表明，在低采样率下使用所提方法进行CT重建的图像质量优于COMP双字典学习算法和MOD双字典学习算法，并且此方法有效提高了CT图像重建在低采样率时的性能.
关键词：CT图像重建K-SVD算法双字典学习算法自适应学习算法FBP算法
Low Sampling Rate CT Reconstruction Based on Dual Dictionary Adaptive Learning Algorithm
LUAN Feng^1,2, YANG Fan^1,2, CAI Rui-zhi^1,2, YANG Chen^1,2
1. School of Computer Science & Engineering, Northeastern University, Shenyang 110169, China;
2. Key Laboratory of Intelligent Computing in Medical Image of Ministry of Education, Northeastern University, Shenyang 110169, China
Corresponding author: LUAN Feng, E-mail: luanfeng@mail.neu.edu.cn.

Abstract: In medical diagnosis, sparse sampling can reduce radiation damage to patients during CT scanning. However, direct reconstruction of sparse sampling projection data will cause distortion and artifacts in the reconstructed CT images. In order to ensure the quality of reconstructed images at low sampling rate, a dual dictionary adaptive learning algorithm is proposed, referring to the dual dictionary learning framework under the Sparse-Land model. K-SVD algorithm is combined with the dual dictionary learning algorithm framework to obtain patched projection data and FBP (filter back projection) algorithm is used to reconstruct high-quality reconstructed images. Experimental results show that the proposed method is superior to COMP double dictionary learning algorithm and MOD double dictionary learning algorithm in CT reconstruction at low sampling rate, and this method effectively improves the performance of CT image reconstruction at low sampling rate.
Key words: CT image reconstructionK-SVD algorithmdual dictionary learning algorithmadaptive learning algorithmFBP (filter back projection) algorithm
计算机断层成像(computed tomography，CT)技术，是通过对物体进行不同角度下的射线投影测量进而获取物体截面信息的成像技术.随着CT技术在医学领域长达几十年的应用和发展，近年来，人们开始意识到用于CT扫描的X射线辐射对人体和周边环境的危害.研究表明，受到X射线辐射过多的病人患癌概率会增加^[1]，因此降低CT扫描过程中所受到的辐射是当前的研究热点.投影数据稀疏采样是降低扫描辐射的重要途径之一，即在采样阶段进行不满180或360个角度的有限角扫描，得到不完全投影数据，然后利用此投影数据进行重建，这是一个不完备的数据重建问题.Donoho^[2]提出的压缩感知为信号处理技术带来了革命性突破.Engan等^[3]提出最优方向方法(method of optimal directions，MOD)的算法，MOD算法相对简单且运行速度更快，但原子信号之间会互相干扰，算法的收敛性不符合得到全局最优解的条件.Aharon等^[4]提出了K奇异值分解(K-singular value decomposition，K-SVD)算法，K-SVD算法有训练时间较长的缺点，但其计算复杂度较MOD算法更低.杜沈园^[5]对CT图像的梯度域图像进行字典训练，即Grad DL-CT算法，此算法得到的稀疏表示更加稳定、重建质量更好，同时稀疏性也更加明显.Li等^[6]提出了基于边缘导向的MRI-CT图像重建算法，改善了MRI-CT重建后图像边缘不清晰的情况.Geng等^[7]和Mukherjee等^[8]提出基于L₁范数的字典学习算法，有效解决了过度平滑的图像边缘和纹理问题.
虽然国内外****对低采样率CT投影图像重建及字典学习算法开展大量研究工作，然而针对字典学习算法仍存在高度稀疏采样后重建效果不理想的问题.为了解决此问题，本文提出了基于低采样率下的双字典学习算法，利用高、低精度字典的替换和保持稀疏度固定不变的字典更新方式相结合的方法，快速提高投影图像重建精度进而提高CT图像的重建质量.通过实验证明本文方法在峰值信噪比、图像结构相似性等方面有了显著的提升，得到的重建图像质量有显著改善，是一种有效的CT图像重建方法.
1 基于K-SVD字典学习算法的CT图像重建1.1 滤波反投影重建算法CT图像重建主要有解析重建算法和迭代重建算法.解析重建算法，以滤波反投影(filter back projection, FBP)重建算法为代表.FBP重建算法具有计算量小、运行速度快、在硬件上易于实现等优点，因此得到了广泛的应用.但是由于FBP重建算法在完备投影数据下重建质量高，因此需要的扫描范围广、采集的投影数据量较大.而FBP重建算法在不完备投影数据下的重建结果存在较多伪影，使其在低采样率下的应用受到一定限制.本文针对不完备投影数据直接使用FBP重建算法重建会产生伪影的情况，结合双字典自适应学习算法，补全缺失的投影数据，以提升FBP重建算法在低采样率下重建图像的质量.
滤波反投影重建算法的实现可以分为两个过程，首先对投影数据进行滤波，然后对滤波后的投影数据进行反投影.滤波就是对投影数据进行修正以去除星状伪迹，反投影就是将滤波后得到的修正投影数据进行反投影和累加等处理^[9].滤波反投影算法的本质是逆Radon变换.其实现流程如图 1所示.经滤波反投影重建后，将重建图像在点(x, y)处解析后表达为

(1)

图 1(Fig. 1)

图 1 滤波反投影算法的流程Fig.1 FBP algorithm flowchart

式中，h(t)*p(t, θ)，表示经过滤波修正后的投影函数，其中，h(t)是传递函数H(w)=|w|的傅里叶逆变换，p(t, θ)是传递函数P(ω, θ)的傅里叶逆变换，

(2)

式中：f(x, y)是图像中某一点(x, y)的像素灰度值；δ是狄拉克分布函数.
1.2 K-SVD字典学习算法K-SVD字典学习算法是通过训练样本集得到一个合适的字典，使训练集合中的每个图像块由该字典中的原子来稀疏表示.用数学语言可描述为

(3)

式中：Y∈R^n×N为原始样本；D∈R^n×M为字典矩阵；X为稀疏矩阵；‖x_i‖₀≤T₀为限制条件，表示X尽可能稀疏.利用拉格朗日乘子法将式(3)转化为一个无约束的优化问题，即

(4)

式中：λ为正则化参数；x_i为第i个样本对应的稀疏系数.
为解决这个优化问题，则需要优化式(4)中的两个变量X和D，由此可知字典学习算法核心的两个阶段分别为稀疏编码和字典更新.
1.2.1 稀疏编码本文的K-SVD算法利用贪婪算法中的正交匹配追踪(orthogonal matching pursuit, OMP)算法来进行稀疏编码.OMP算法是围绕信号y和残差r∈R^N展开的.从字典D∈R^N×M中选择一个与信号y最匹配的原子^[10]，即

(5)

当这个原子被选中后，就构建了一个稀疏逼近，然后计算出此信号的残差，问题可以表述为

(6)

(7)

不断循环迭代式(4)~式(6)，直到残差满足收敛条件.
1.2.2 字典更新应用K-SVD字典学习算法实现字典更新时考虑单个字典原子，即字典中的某一列对数据拟合的贡献并逐列更新字典^[4].假设X已知并定义更新字典的第k列，记d_k为字典D的第k列，x_T^k为稀疏矩阵X的第k行的稀疏系数，则d_k的更新可以利用乘以稀疏系数实现，即

(8)

其中，残差，此时优化问题可表示为

(9)

利用奇异值分解(singular value decomposition, SVD)求解最优的d_k，x_T^k.但值得注意的是，如果直接利用E_k来求解会造成新求出的x_T^k不稀疏，此时需要将E_k对应的x_T^k中的非零项提取出来，形成新的E_k，记为E′_k.此过程如图 2所示.
图 2(Fig. 2)

图 2 提取部分残差Fig.2 Extract partial residuals

此时，式(9)的优化问题可表示为

(10)

因此需要求出最优的d_k，x_T^′k，对E′_k进行奇异值分解，即

(11)

其中，U，V均为单位正交矩阵，且U，V分别为左奇异和右奇异矩阵.奇异值分解过程如图 3所示.
图 3(Fig. 3)

图 3 奇异值分解Fig.3 Singular value decomposition

奇异值分解完成后，取左奇异矩阵U的第一个列向量作为d_k；取右奇异矩阵V的第一个行向量与第一个奇异值的乘积作为x_T^′k，即

(12)

得到x_T^′k后，将其相应地更新到原始x_T^k.
1.2.3 CT图像重建K-SVD算法在实现过程中，稀疏编码与字典更新一般是固定其中一个，实现另一个，如此交替进行^[4].本文利用K-SVD算法对稀疏采样后缺失的投影图像信息进行估计与补全，从而得到完整且相对准确的投影图像，最后利用FBP重建算法对补全的投影图像进行重建，得到高质量的CT重建图像.基于K-SVD自适应学习算法的CT图像重建流程如图 4所示.
图 4(Fig. 4)

图 4 基于K-SVD自适应学习算法的CT图像重建流程Fig.4 Flow chart of CT reconstruction based on K-SVD adaptive learning algorithm

2 基于双字典自适应学习算法的CT图像重建为解决低采样率下CT重建图像不清晰的情况，双字典学习算法被广泛地应用于医学影像的重建中.对比K-SVD单字典学习算法，双字典学习算法的优势在于，其可以将待处理图像中的某些边缘细节和纹理结构等图像特征赋值给双字典，通过高精度与低精度字典的交替，得到缺失投影的补全数据，然后利用FBP算法对补全投影进行重建，以实现低采样率下的高质量CT图像重建.
2.1 自适应字典形态非自适应字典是利用众多自然图像作为训练样本集进行训练获得的字典；自适应字典是从系统低采样率下采集到的CT投影图像中获取图像块作为训练样本集进行训练获得的字典.
图 5是不同训练样本集下获得的字典形态.比较图 5a和图 5b可以看出，两种字典在结构上差异很大.K-SVD自适应字典中的原子具有更多的图像信息，这说明自适应字典会根据训练集得到相应的字典，使其更具适应性.自适应字典也能更稀疏地表示待重建图像，以更快获取精确的重建结果.
图 5(Fig. 5)

图 5 不同训练样本集下获得的字典Fig.5 Dictionaries obtained under different training sets (a)—非自适应字典；(b)—自适应字典.

2.2 双字典学习算法双字典学习算法框架来源于稀疏表示模型，其表示描述对象相同但精度不同的目标图像或目标信号Y^high和Y^low在某些特定条件下稀疏表示是一致的.双字典学习算法^[11]的主要思想是：首先收集多幅高采样率和低采样率图像作为训练样本集，对收集的样本图像进行取块定义两个初始字典，即高精度字典和低精度字典.利用K-SVD字典学习算法对两个初始字典进行训练，获得两个稀疏字典.然后对低采样率图像进行稀疏编码，最后利用低采样率的稀疏表示和高精度字典来还原出高质量图像.
利用此算法进行投影图像补全时，希望高质量的投影图像是由低采样率下的投影正弦图像重建获得的.对完整角度下得到投影图像y进行稀疏采样获取低采样率下的投影正弦图像为z_l，即

(13)

式中：M是欠采样矩阵；v是加性高斯白噪声，是均值为0的向量.由于采样方式会对算法产生消极影响，为降低这个影响，需要对低采样率下的投影图像进行插值运算，以得到低质量的投影正弦图像，即

(14)

式中：Q为一个算子，表示利用内插值进行采样运算，之后对插值处理后的图像y_l进行处理，得到尽可能接近高质量投影图像y的预估结果.此处，利用双字典学习算法对局部区域图像块进行处理，记为p_k∈Rⁿ，即

(15)

式中：p_k是尺寸为像素的高精度图像块；R_k是从高质量投影图像y的k位置处获得的矩阵.由Sparse-Land模型可知，p_k可以由字典D∈R^n×M和稀疏向量x∈R^M共同表示，即p_k=Dx，其中，‖x‖₀?n.从低质量投影正弦图像y_l中相同位置k处提取到相应的低精度图像块p_k^l=R_ky_l，尺寸为像素.由式(14)可知，L^all=Q(M)，则L^all可以将高质量投影正弦图像变为低质量的投影正弦图像y_l，因此，

(16)

式中：L是L^all的一部分；是加性高斯白噪声.
可以推断出局部区域高低精度图像块的关系式为

(17)

式(17)可转换为

(18)

其中，ε，都与噪声有关.式(18)说明低精度图像块可以由高精度字典和其稀疏向量进行稀疏表示，即能够通过高精度字典D与其稀疏向量的运算恢复出p_k^l.
双字典学习算法实现过程为
1) 构建图像块：由高质量和低质量投影正弦图像获得集合{y_h^j, y_l^j}，然后构建相应的高精度和低精度图像块{P_k, p_k^l}作为字典训练的样本集.
2) 训练字典：将低精度图像块作为样本集，利用K-SVD学习算法来迭代训练字典与稀疏编码，得到低精度字典D_l和相应的稀疏表示α.同样利用高精度图像块训练字典，得到高精度字典D_h.
3) 重建图像：由于高低精度图像块可以使用同一稀疏表示来还原，则可以利用高精度字典D_h与稀疏表示得到补全的投影图像.
2.3 双字典构建首先进行图像采集，即收集多幅高质量投影正弦图像y_h^j，对每幅高精度图像进行稀疏采样，并加入高斯白噪声得到低质量投影正弦图像z_l^j.之后利用插值法对缺失角度处的图像信息进行简单修复，得到完整角度下的低质量投影正弦图像y_l^j.
为了在训练过程中将关注重点放在图像的纹理特征和边缘信息上，需要对高低质量图像进行预处理后再进行分块处理.利用差值图像去除高质量图像中的低频分量；利用K个高通滤波器f_k对y_l进行滤波得到K个滤波图像，即f_k?y_l，以提取出低质量图像中与高频对应的局部特征.
在双字典中构建了两个字典，即高精度字典D_h和低精度字典D_l，组成它们的原子p_i^h和p_i^l具有对应关系，且表示的信号是相同的，只是表示精度不同^[12].从经过预处理的高质量图像中提取尺寸为像素的高精度图像块；从经过滤波处理的低质量图像中提取尺寸为像素的低精度图像块.由于后续字典学习的迭代速率较慢，为提高其效率，使用PCA算法降维，以降低计算量.
将提取到的局部区域图像块作为训练样本集P={p_k^h, p_k^l}，利用OMP算法进行稀疏编码，K-SVD学习算法更新字典，两个阶段迭代得到低精度字典D_l∈R^n×M和低精度图像块的稀疏表示x_k.获取D_l后，开始构建高精度字典D_h.由于高精度图像块p_k^h可以利用p_k^h≈D_hx_k近似得到，则有

(19)

式中：P_h为高精度图像块集合{p_k^h}作为列向量的矩阵；X为各个稀疏向量作为列向量的矩阵.将式(19)中的D_h提取出来，即

(20)

2.4 图像重建通过上述得到的字典对稀疏采样后的投影图像进行补全，过程如下：
1) 将低采样率下的投影正弦图像进行插值运算得到低质量的投影正弦图像y_l.
2) 利用高通滤波器对y_l进行滤波，即f_k?y_l.
3) 在滤波后的K幅图像中k位置上提取尺寸为像素的图像块.将相同位置上的K个图像块连成向量，即可得到图像块的向量集.
4) 为解决后续的字典学习迭代速率较慢的问题，利用PCA算法对进行降维得到新向量集.利用OMP算法对降维后的向量集进行稀疏编码和字典更新，以获取此向量集的稀疏表示x_k和低精度字典D_l.
5) 利用双字典构建中的所述方法得到的高精度字典和步骤4)中的稀疏向量来尽可能恢复高精度图像块集合D_hx_k≈p_k^h.
6) 将重建后的高精度图像块集合D_hx_k中的数据归位，对重叠的部分进行处理，即求平均值y_l.
3 仿真结果及分析3.1 重建图像质量评价为验证本文算法及评估重建图像的质量，利用峰值信噪比(PSNR)、结构相似性(SSIM)^[13]对算法收敛性和图像重建质量进行评价.
PSNR是结果图与原始图的峰值信噪比：

(21)

其中：x_j^tru为原始图像的第j个像素灰度值；x_j^tru为原始图像中1~M像素平均灰度值；x_j^rec为重建图像的第j个像素灰度值.
SSIM用来衡量结果图与原始图相似程度：

(22)

其中：μ_tru，σ_tru²分别为原始图像的平均值、方差；μ_rec，σ_rec²分别为重建图像的平均值、方差；σ_tru/rec为原始图像与重建图像的协方差.c₁=(k₁L)²，c₂=(k₂L)²为维持稳定的常数，L为像素值的动态范围，k₁=0.01, k₂=0.03^[13].
3.2 结果分析本文利用双字典自适应学习算法，将K-SVD算法与双字典算法相结合，对低采样率的投影图像进行补全，利用FBP算法对补全后的投影图像进行重建，将重建结果与StOMP-K-SVD字典学习算法(StOMP算法)^[14]、MOD双字典学习算法(MOD-DDL)及COMP双字典学习算法(COMP-DDL)的重建结果作比较，研究本文算法在收敛性和图像重建质量两个方面的优势.
实验仿真平台为Matlab R2019b；硬件环境：CPU为Intel(R)Core(TM)i5-6500 CPU @ 3.20 GHz，内存8.0 GB.参数设置：实验中采用尺寸为128×128像素的标准Sheep-Logan头模型作为研究对象，在[0°, 180°]内均匀采样.训练过程中的图像尺寸为9×9像素，字典设置为256个原子.
3.2.1 算法收敛性分析在实验中对于初始化字典采用随机矩阵或原始图像数据进行初始化两种方式，针对这两种方式进行讨论，分析本文算法在收敛性上的优势.
表 1为两种方式下算法在不同采样率下PSNR和SSIM的值.算法1将随机矩阵设为初始化字典；算法2将图像数据作为初始化字典.由表 1可以看出，利用图像数据进行初始化字典得到的PSNR和SSIM更高，PSNR和SSIM值越大说明效果越好.随着采样率的升高，两种算法得到的参数值的差距越来越小.
表 1(Table 1)

表 1 不同采样率下的CT重建质量评估参数Table 1 CT reconstruction quality assessment parameters at different sampling rates 采样率/% 算法 PSNR SSIM 40 算法1 36.307 1 0.940 0 算法2 36.390 8 0.940 1 35 算法1 34.819 2 0.911 7 算法2 35.667 6 0.927 0 30 算法1 32.681 7 0.879 8 算法2 33.396 3 0.899 3 25 算法1 31.442 9 0.849 6 算法2 31.536 7 0.865 2

表 1 不同采样率下的CT重建质量评估参数 Table 1 CT reconstruction quality assessment parameters at different sampling rates

图 6为采样率为25%时，两种算法补全后的投影正弦图与原始投影正弦图的平均误差随迭代次数变化图.可以看出两种算法在10次迭代后平均误差均达到了相对平稳的状态，同时由于算法1中的初始化字典数据是随机选取的，具有一定的随机性，导致此方式在收敛过程中呈现震荡收敛且前期的平均误差较算法2更大，所以本文所提算法采用图像数据方式初始化字典，可以使收敛速度更快、收敛过程更稳定.
图 6(Fig. 6)

图 6 平均误差随迭代次数变化Fig.6 Change of average error with iterations

3.2.2 图像重建质量分析图 7为在25%采样率下得到补全投影图像及误差图像，可以看到StOMP^[15]，COMP-DLL和MOD-DDL分别存在局部重建质量低和边缘模糊的情况.对比4张误差图像，本文算法较其他三种算法的误差小，因此有效避免了低采样率下重建图像质量差的问题，重建后的投影图像误差更小、重建图像质量更高.
图 7(Fig. 7)

图 7 各算法下重建的投影图像Fig.7 Reconstructed projection image under each algorithm (a)—原始模型投影数据; (b)—StOMP算法; (c)—MOD-DDL算法; (d)—COMP-DDL算法; (e)—本文算法; (f)—StOMP算法误差; (g)—MOD-DDL算法误差; (h)—COMP-DDL算法误差; (i)—本文算法误差.

从PSNR，SSIM两个评价指标对CT重建后的图像进行分析.表 2以客观评价的角度给出几种重建方法的重建图像与原始模型图像的PSNR和SSIM参数对比.由表 2可以看出，本文算法在不同采样率下重建质量均达到了最高水平；其次是COMP-DDL算法.当采样率为25%时，本文算法较效果最差的MOD-DDL算法的PSNR高出4.114 dB，SSIM值高出0.054 1.在不同采样率下各算法SSIM值虽然相差不大，但本文算法的SSIM值在各个采样率下都具有最大优势，且在采样率为40%时，本文算法的SSIM值已经接近95%，表明重建图像与原始图像已经非常相似了.因此本文算法的重建图像质量相对更高.值得注意的是，在采样率逐渐增加的情况下，其他三种算法与本文算法的重建质量差距逐渐减小，原因是随着采样率的增加，采样数据包含的信息越多，即可获得更好的重建结果.表 2的评估指标变化趋势也可以证明，本文算法在低采样率下的重建更具优势.
表 2(Table 2)

表 2 低采样率下的CT重建质量评估参数Table 2 Evaluation parameters of CT reconstruction quality under low sampling rate 采样率/% MOD-DDL StOMP COMP-DDL 本文算法 PSNR SSIM PSNR SSIM PSNR SSIM PSNR SSIM 25 27.422 7 0.811 1 28.578 4 0.837 2 29.074 6 0.858 6 31.536 7 0.865 2 30 31.169 1 0.860 6 31.518 4 0.875 5 32.490 0 0.890 1 33.396 3 0.899 3 35 31.498 1 0.900 5 32.520 3 0.903 2 32.870 3 0.906 7 35.692 7 0.927 1 40 34.655 9 0.919 9 34.945 3 0.925 3 35.972 3 0.936 3 36.709 9 0.943 4

表 2 低采样率下的CT重建质量评估参数 Table 2 Evaluation parameters of CT reconstruction quality under low sampling rate

采样率越高，各算法两个参数的差距越小，为了能够更加清晰地观察到其差异，图 8为效果最佳的两个算法重建后投影数据与原始投影数据的对比，可以看出本文算法更接近原始投影数据.图 9为采样率为25%时各算法的重建图像.由图 9可以观察到，本文算法提升了重建图像细节的同时也提高了重建质量.其原因是本文算法将待处理图像中的某些边缘细节和纹理结构等图像特征赋值给双字典，通过高精度与低精度字典的交替得到了缺失投影的补全数据，这不仅改善了细节而且提升了局部重建质量.
图 8(Fig. 8)

图 8 投影图像数据拟合度Fig.8 Fitting degree of projected image data

图 9(Fig. 9)

图 9 各算法的重建图像(采样率为25%)Fig.9 Reconstructed image of each algorithm(sampling rate 25%) (a)—原始图像; (b)—稀疏采样后重建图像; (c)—StOMP算法; (d)—MOD-DDL算法; (e)—COMP-DDL算法; (f)—本文算法.

本文算法不论是收敛特性，还是重建质量评估参数和效果图，在低采样率下都有较好的重建结果，证明了所提算法的有效性.
4 结语为了提高低采样率下CT投影图像的重建质量，本文提出了基于低采样率下的双字典自适应学习算法的CT投影图像重建方法，该方法将K-SVD算法与双字典学习算法相结合对低采样率下的投影图像进行补全与重建，利用FBP算法对处理后的投影图像进行重建得到高质量的CT重建图像.以PSNR和SSIM参数作为评价指标，实验证明了本文方法在CT图像重建方面的有效性和准确性.
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