武汉大学 土木建筑工程学院, 湖北 武汉 430072
收稿日期：2021-01-25
基金项目：国家自然科学基金资助项目(41772308)。
作者简介：彭志雄(1992-)，男，湖北武汉人，武汉大学博士研究生;
曾亚武(1964-)，男，湖北武汉人，武汉大学教授，博士生导师。
摘要：在分析裂纹起裂与扩展规律基础上，考虑翼裂纹间的相互作用，提出了一种新的翼裂纹尖端I型应力强度因子计算模型.基于修正的翼裂纹扩展模型，考虑损伤演化对被激活微裂纹数目的影响，并结合宏-细观损伤定义之间的关系，建立了基于微裂纹扩展作用下的岩石损伤本构模型.最后，将理论模型曲线与试验曲线进行了比较分析.结果表明：修正的翼裂纹扩展模型不仅能够准确地预测翼裂纹的起裂角，而且能够准确地模拟从极短到很长的翼裂纹整个变化范围.基于裂纹扩展作用下的损伤模型能够连续地模拟不同围压下的应力-应变全过程曲线，而且能够较好地预测峰值强度.
关键词：岩石力学翼裂纹宏-细观损伤应力-应变曲线应力强度因子
Microcrack Propagation-Based Damage Mechanics Model of Rock
PENG Zhi-xiong, ZENG Ya-wu
School of Civil Engineering, Wuhan University, Wuhan 430072, China
Corresponding author: ZENG Ya-wu, E-mail: zengyw@whu.edu.cn.
Abstract: Through studying the cracking and propagation law of compressive-shear cracks in rock under remote stress field, a new calculation model for the mode-I stress intensity factor at wing crack tip was proposed by considering the interaction of wing cracks. Based on the modified wing crack propagation model, considering the damage evolution on the number of the activated microcracks, a microcrack propagation-based damage model for rock was established by combining the relationship between macro-micro definition of rock damage. Finally, the theoretical curves of proposed damage model were compared with the experimental curves. The results showed that the modified wing crack propagation model can not only accurately predict the cracking angle of wing crack, but also simulate the whole range of variation of wing crack length from being extremely short to very long. The microcrack propagation-based damage model can not only continuously describe the stress-strain curves under different confining pressures, but also predict the peak strength well.
Key words: rock mechanicswing crackmacro-micro damagestress-strain curvesstress intensity factor
众所周知，岩石是由不同种类的矿物颗粒在胶结物的胶结作用下形成的一种地质材料，且其内部包含各种不同大小和形状的孔隙和裂隙.已有研究表明，当没有围压或围压较小时，岩石类材料一般呈轴向劈裂破坏，破坏模式为脆性失效；随着围压的增大，岩石逐渐呈现延性破坏.当岩石受到外部作用力时，其内部的微裂隙将会发生扩展、聚合，最后贯通形成宏观裂隙，致使岩石产生破坏.因此，在对岩石破坏机理和过程的理解及认识基础上，一些滑移型裂纹扩展模型被用来研究岩石材料受到外部荷载作用时的力学和变形行为.Horri等[1-2]和Ashby等[3]建立的裂纹扩展模型能够很好地模拟岩石材料内部裂纹的扩展过程.当岩石受到外部压缩荷载作用时，上述模型认为其内部的裂纹间有着剪应力和正应力的作用.当裂纹面承受的剪应力超过由正应力导致的摩擦力时，上下裂纹面会发生位错滑移，将致使其尖端翼裂纹的萌发和扩展.建立一个准确且物理意义明确的翼裂纹扩展模型对研究岩石类材料在压缩荷载作用下的变形和失效机理显得尤为重要.
一直以来，岩石力学工作者对岩石材料的力学行为和本构关系的研究从未间断过.通过试验和理论方法，许多****提出了各种不同形式的岩石材料本构关系，并分析了破坏过程中不同阶段的损伤和变形特征[4].随着断裂力学的发展，断裂力学在工程应用方面尤其是岩石渐进失效等方面取得了丰硕的成果.目前为止，许多****利用滑移型裂纹扩展模型研究了岩石类材料的变形破坏机制和力学特性.Zhou[5]基于应变能密度因子法和滑移裂纹扩展模型，建立了基于细观力学的损伤模型，研究了脆性岩石在三轴压缩荷载作用下的变形和破坏行为.虽然上述模型一定程度上可以准确地预测岩石的应力-应变曲线，但是其通常把曲线划分为多个阶段，分别研究其力学和变形行为，不能够简单而统一地描述荷载-变形全过程.此外，上述模型含有复杂的隐式方程和众多的参数，求解过程较为复杂.基于断裂力学准则，结合损伤力学理论，Huang等[6]通过建立断裂损伤耦合模型研究了岩石材料内部微裂纹的损伤演化规律.虽然上述模型能够较好地描述峰前阶段的荷载-位移曲线，但是不能描述峰后曲线的变化规律.主要原因为上述基于翼裂纹扩展模型所建的损伤本构模型，没有考虑多翼裂纹之间的相互作用对应力强度因子的影响.基于翼裂纹扩展模型，采用翼裂纹扩展长度和裂纹密度定义了细观损伤变量，Bhat等[7]基于能量的方法探讨了裂纹扩展对弹性模量的劣化机理，建立了岩石材料损伤本构模型.但是该模型同样未能很好地考虑材料损伤演化对微裂纹扩展数目的影响.Kemeny等[8]在Horri等[2]提出的模型的基础上，考虑多翼裂纹的相互作用，提出了修正的翼裂纹扩展模型，基于此建立了应力-应变曲线关系式.但是该翼裂纹扩展模型不能准确预测翼裂纹的起裂角，使得模型细观参数难以确定.
为了更好地研究岩石材料内部的细观裂纹扩展对宏观力学行为的影响，在分析了翼裂纹起裂和扩展规律的基础上，本文建立了一个新的翼裂纹扩展模型.在此基础上，考虑岩石内部裂纹的相互作用和损伤演化对微裂纹扩展数目的影响，并结合宏-细观损伤之间的关系，建立了一种能够连续描述岩石材料应力-应变关系曲线且实用的宏-细观损伤模型.最后，利用红砂岩三轴试验结果验证该损伤模型.
1 翼裂纹模型图 1为在压缩荷载作用下的滑动裂纹模型示意图.岩石受到压缩荷载作用时，若主裂纹面上的剪应力值大于摩擦阻力值时，其内部的裂纹面将发生相互滑移，致使主裂纹尖端的翼裂纹萌生和扩展，且逐渐弯曲向与最大主压应力方向一致.然而由于翼裂纹并非一条简单的直线，在求解裂纹尖端应力强度因子的精确解时，需要进行极其繁琐的数值运算，不便于实际应用.因此，为研究方便，将直线主裂纹尖端和翼裂纹尖端连接起来近似直翼裂纹来代表实际的曲翼裂纹，许多****提出了几种常见的近似解[9-11].限于篇幅原因，本文仅列举了在岩石材料压剪断裂损伤分析中广泛应用的三种翼裂纹计算模型.
图 1(Fig. 1)
 | 图 1 滑动裂纹模型Fig.1 Sliding crack model |
Horri等[1]利用复变函数解析法，求解了应力强度因子的数值解，并分析了其扩展过程，但求解过程费时和繁琐，应用很不方便.之后Horri等[2]便提出了一种简化的近似计算公式(HN模型)：
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 | (3) |
实践表明，当翼裂纹长度l很小时(l→0)，式(1)中KIwing极值对应的起裂角度θc与起裂角理论值不符.尽管如此，式(1)对绝大多数的情况能够取得满意的结果，也被多位作者用于分析岩石的力学和变形特性[5-6].
Steif[10]将主裂纹两侧的翼裂纹简化为一条长度为2l的直线型裂纹，且翼裂纹的中间受到主裂纹的相对滑移作用，建立了KIwing的近似计算公式(S模型)：
 | (4) |
 | (5) |
 | (6) |
 | 图 2 KIwing的叠加示意图Fig.2 Superposition diagram of KIwing (a)—KIwing; (b)—KIisol; (c)—KIinfl. |
式中：KIwing为翼裂纹尖端的应力强度因子；KIisol为长度等于l的单个翼裂纹在外荷载作用下的应力强度因子；KIinfl为长度等于2a的主裂纹在外荷载作用下对翼裂纹尖端应力强度因子的影响.
由图 2b可知，长度l的翼裂纹在双向受压荷载作用下，引起的应力强度因子KIisol为
 | (7) |
图 3(Fig. 3)
 | 图 3 翼形裂纹主裂纹面受τeff作用的简化Fig.3 Simplification of the wing crack with τeff acting on the main crack (a)—翼裂纹尖端的应力强度因子；(b)—等效裂纹应力强度因子. |
由图 3b可知，应力强度因子KIinfl[10]为
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 | (9) |
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 | (13) |
 | (14) |
 | (15) |
这里取翼裂纹等效扩展长度l/a=0.000 1，即翼裂纹的长度相对很小时，由图 4可知，S模型和本文模型预测结果几乎一样，HN模型预测结果虽有偏差，但是偏差不大.此外，除HN模型，当翼裂纹方位角θ在70.5°左右时，S模型和本文模型预测的应力强度因子都达到最大值.上述结果明显符合翼裂纹的理论起裂角θc(θc=70.5°)[3]，而HN模型预测的翼裂纹起裂角为90°.
图 4(Fig. 4)
 | 图 4 各模型应力强度因子对比Fig.4 Comparison of stress intensity factors computed by different models (a)—λ=0, l/a=0.000 1；(b)—λ=0.2, l/a=0.000 1. |
当外部荷载持续增加时，若KIwing超过断裂韧度KIC，翼裂纹将继续扩展，并且逐渐弯曲向与最大压应力方向一致.由于翼裂纹初始弯曲较短，为了便于计算和实际应用，假定翼裂纹的扩展方向始终为最大压应力方向，即θ=π/2-β.从工程应用的角度来看，上述假设已被许多****所接受，用于研究微裂纹扩展对岩石渐进损伤破坏的影响，能够取得较好的结果[6].基于此可以得到应力强度因子与翼裂纹等效扩展长度之间的关系曲线，如图 5所示.从图 5可知，随着翼裂纹等效扩展长度的不断增大，所有模型预测结果呈现不断减小的变化趋势.当外部荷载保持不变时，翼裂纹将不在扩展.相同主裂纹倾角时，随着围压的增大，应力强度因子逐渐减小.由图 5a和5b可知，当没有侧压时，HN模型和本文模型预测曲线基本重合.然而当翼裂纹长度较小时，即l/a < 1，LK模型结果明显偏大，随着翼裂纹长度的增大，LK模型结果逐渐趋于HN模型和本文模型.由图 5c和5d可知，当有侧压时，HN模型、LK模型和本文模型预测曲线高度吻合，S模型的预测结果始终偏大.随着等效翼裂纹扩展长度的不断增大，应力强度因子的数值逐渐减小甚至小于零，此时张开型的翼裂纹处于闭合阶段，不会继续扩展.
图 5(Fig. 5)
 | 图 5 应力强度因子与裂纹扩展长度之间的关系Fig.5 Relationship between stress intensity factor and crack propagation length (a)—λ=0, β=0.2π; (b)—λ=0, β=0.4π; (c)—λ=0.2, β=0.2π; (d)—λ=0.2, β=0.4π. |
综合以上分析可以得到：本文提出的修正翼裂纹扩展模型的预测结果与Horii等[2]提出的经典模型(式(1))的预测结果在总体上非常接近，此外，本文模型能够准确预测翼裂纹的起裂角.与S模型和LK模型相比，本文模型具有更高的预测精度，且物理意义明确.因此，从工程意义而言，本文建立的修正翼裂纹扩展模型可为岩石的渐进损伤破坏研究提供理论参考.
2 裂纹扩展-应变-应力本构关系2.1 多裂纹间相互作用许多****已经开展了包含多裂纹岩石的相关研究，但往往忽略了裂纹间的相互作用对岩石力学性质的影响.对于含有多裂纹的岩石材料，假设翼裂纹始终沿着最大主应力方向进行扩展，在外部荷载作用的初期阶段，应力强度因子可以用式(15)进行计算.但随着翼裂纹的不断扩展，裂隙间岩桥会出现损伤，相邻裂隙发生彼此贯通，致使岩石出现整体失稳破坏.图 6为含有多裂纹岩石单元受到压缩荷载作用时裂隙扩展作用下岩桥损伤模型示意图.σ′3为岩桥上作用的法向内应力，该参数的引入对于评估岩石应力-应变曲线峰值强度和峰后段有着重要的意义.岩桥间的内应力σ′3[9]为
 | (16) |
由于σ′3的存在，此时会导致一个附加的应力强度因子K′I，即
 | (17) |
 | 图 6 多裂纹相互作用示意图Fig.6 Sketch of interaction of multiple cracks |
将式(15)和式(17)进行相加可得考虑翼裂纹相互作用的应力强度因子表达式：
 | (18) |
基于断裂力学准则，结合式(18)，可以推导出在压缩荷载作用下，岩石所受应力和裂纹扩展长度之间的关系式为
 | (19) |
 | (20) |
 | (21) |
 | (22) |
 | (23) |
 | (24) |
从细观的角度来讲，岩石损伤可以用其内部微裂纹的密度和长度来进行表示，岩石的细观损伤变量定义如下[14]：
 | (25) |
考虑已有损伤的影响，在时间t时实际被激活的微裂隙数量Nt可表示为
 | (26) |
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 | (28) |
假设基于式(24)和式(27)得到的损伤值相等，联立式(24)和式(27)可以得到宏观轴向应变与细观裂纹扩展长度之间的表达式为
 | (29) |
 | (30) |
 | (31) |
 | (32) |
 | (33) |
 | (34) |
3 结果与讨论3.1 三轴试验和参数确定本文采用红砂岩的三轴试验数据对上述模型进行验证.本研究使用的岩石来自中国湖南省某矿区的红砂岩.采用X射线衍射仪对砂岩样品进行检测，发现砂岩试样主要由石英、钙长石、钙沸石、黏土胶结物等组成.砂岩试样常温下的平均干密度为2.31 g/cm3.为了保证砂岩试样的均匀性，首先剔除有明显缺陷的砂岩样品.砂岩样品外观均匀性好，无明显的地层结构，无肉眼可见的薄弱层.用切割机将红砂岩块切割成高度为100 mm，直径为50 mm的圆柱体试样.常规三轴压缩试验在武汉大学RMT-301材料试验系统上进行开展.如图 7所示，红砂岩试样的破坏模式主要为劈裂破坏(单轴压缩)和压剪破坏(三轴压缩).
图 7(Fig. 7)
 | 图 7 红砂岩试件破坏模式Fig.7 Failure modes of the red sandstone samples (a)—单轴压缩；(b)—三轴压缩. |
由于当前损伤模型中的一些细观参数难以通过试验直接测量，需要将试验曲线和模型预测曲线逐渐逼近拟合，以此来得到细观参数的具体值.重复上述的工作，直至理论结果与试验结果达到一致.模型参数选择的具体方法如下.
当外部荷载较小时，若τeff=τ-μσn < 0，岩石内部的初始微裂纹不会发生相互滑移.当作用在岩体单元上的应力大于起裂应力σ1c时，尖端翼裂纹将会萌发和扩展.将翼裂纹起裂角θc=0.392π=70.5°和τeff(式2)代入式(9)，最危险的裂纹位于主裂纹倾角β使KIinfl达到最大值的位置.将式(9)对主裂纹倾角β求偏导可以得到tan(2β)=-l/μ.因此，在外部荷载作用下，初始微裂纹将要发生扩展对应的起裂应力理论表达式为
 | (35) |
3.2 模型验证及分析由图 8可知本文模型预测的应力-应变曲线与试验曲线变化规律基本吻合.随着轴向应变的不断增大，轴向应力先增大到峰值，然后逐渐减小.由此可知，本文提出的损伤模型可以连续地描述岩样破坏过程中的应力-应变响应.特别是在峰前应力阶段，模拟结果与试验结果非常吻合，能够客观地描述峰值应力以前岩样的应力-应变曲线.对于较低压力情况，峰后阶段的应力-应变理论和试验曲线呈现一定程度的差异.偏差的原因可能如下：首先，本文通过考虑相邻翼裂纹的相互作用来实现岩石的整体破坏，不能够完全模拟岩石的局部剪切失效.其次，模型参数m为定值，用于确定不同围压下的应力-应变曲线.随着三轴试验围压的增大，砂岩试样的理论曲线与试验曲线逐渐趋于一致.随着围压的增大，应力-应变曲线的峰值强度和峰值应变也在不断增大.由图 9可知，模型预测的起裂应力、峰值应力与试验结果吻合较好，两者都随围压的增加而增大，而且峰值应力和起裂应力之间的差值也在不断增大.
图 8(Fig. 8)
 | 图 8 砂岩理论和试验应力-应变曲线对比图Fig.8 Theoretical and experimental stress-strain curves of sandstone |
图 9(Fig. 9)
 | 图 9 裂纹起裂应力、峰值应力与围压之间的关系Fig.9 Relationship among crack initiation stress, peak stress and confining pressures |
4 结论1) 在分析了翼裂纹起裂和扩展规律基础上，本文建立了一个新的翼裂纹扩展模型.修正的翼裂纹扩展模型不仅能够准确地预测压剪裂纹的起裂角，而且能够准确地预测翼裂纹扩展长度.相比S模型和LK模型，本文模型的精度更高.
2) 考虑损伤演化对被激活微裂纹数量的影响，用自洽的方法重新定义了细观损伤变量，使得细观损伤变量的演化数值范围为[0, 1]，基于此提出了应变与裂纹扩展长度之间的理论表达式.
3) 基于修正的翼裂纹扩展模型，考虑岩石内部裂纹的相互作用，并结合宏-细观损伤关系，建立了岩石宏-细观损伤模型.结果表明，所建立的损伤本构模型既能模拟砂岩试样破坏过程中的应力-应变响应，又能较好地识别岩石峰值强度.此外，建立了起裂应力与围压的理论关系，对比试验数据求解了试验难以测得的细观模型参数(μ，a和β).本文建立的宏细观损伤模型能够连续地描述岩石材料的应力-应变全过程曲线关系，为研究在压缩荷载作用下微裂纹扩展对岩石渐进破坏过程的影响提供了一种简单易行的方法.
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