姜世杰, 史银芳, SIYAJEU Yannick, 闻邦椿
东北大学 机械工程与自动化学院, 辽宁 沈阳 110819
收稿日期：2018-02-12
基金项目：中央高校基本科研业务费专项资金资助项目(N150303003)；辽宁省博士科研启动基金资助项目(201601005)。
作者简介：姜世杰(1985-)，男，辽宁营口人，东北大学讲师，博士;
闻邦椿(1930-)，男，浙江温岭人，东北大学教授，博士生导师，中国科学院院士。

摘要：熔融沉积成型(FDM)是一种能够直接打印出具有复杂几何形状零件的快速成型技术.然而, FDM在振动性能方面很难与传统加工方式相媲美, 需要对其进行更为实际的振动特性分析, 为此首次提出FDM 3D打印薄板的振动特性理论建模方法.以悬臂边界条件下FDM薄板为研究对象, 基于经典层合板理论, 采用双向梁函数组合法表示振型函数, 并通过Ritz法求解获得了复合薄板的固有特性; 搭建了FDM 3D打印薄板的固有特性测试实验台, 以获得薄板的模态振型和固有频率; 计算与实验结果验证了理论计算方法的正确性和可靠性.
关键词：熔融沉积成型振动特性3D打印薄板理论建模测试系统
Theoretical and Experimental Study on Vibration Characteristics of FDM Thin Plates
JIANG Shi-jie, SHI Yin-fang, SIYAJEU Yannick, WEN Bang-chun
School of Mechanical Engineering & Automation, Northeastern University, Shenyang 110819, China
Corresponding author: JIANG Shi-jie, E-mail: jiangsj@me.neu.edu.cn
Abstract: Fused deposition modeling(FDM) is a rapid prototyping technology that can directly print parts with complex geometrical shapes. However, it is hard to compare with the traditional processing methods in terms of vibration property, and a more practical analysis of vibration characteristics is needed. Therefore, a theoretical modeling method of vibration characteristics of the FDM 3D printed was proposed for the first time. The FDM sheet under the cantilever boundary conditions was taken as the research object. Based on the classical laminated plate theory, the vibration mode function was represented by the bidirectional beam function combination method, and the inherent characteristics of the composite thin plate were obtained by the Ritz method.The inherent characteristic test system of the FDM 3D printed plate was built, and the natural frequency and mode shape of the thin plate sample were obtained. The calculation and experimental results verify the correctness and reliability of the theoretical calculation method.
Key words: fused deposition modelingvibration property3D printing platetheoretical modelingtesting system
缩短产品的生产周期是工业领域提升市场竞争力的主要考虑因素之一, 而且关注的焦点已经从传统加工技术转变为快速生产制造技术, 如3D打印技术^[1].3D打印技术是一种新兴发展的通过将材料层层累加堆积成型的制造技术.其中, 熔融沉积成型(fused deposition modeling, FDM)技术具有成本低廉、原材料范围广、环境污染小及后处理简单等优势, 是目前应用最为广泛的3D打印技术之一.FDM成型原理简单, 利用热熔喷头将材料丝加热至熔融状态, 喷头按照计算机辅助设计(CAD)的模型轮廓和填充轨迹进行运动, 与此同时将熔融材料挤出, 以与之前挤出的材料相粘结并凝固, 最终逐层累加从而堆积成实体的模型或零件^[2].
由于材料逐层累加的制造工艺所导致的气孔、夹杂、无层间压力等缺陷, 致使FDM 3D打印零件的机械性能很难与传统加工工件相媲美, 严重阻碍了FDM技术的发展.近几年, 学者们的研究重点集中在FDM产品的材料力学性能方面^[3-7], 但是随着3D打印技术的发展, 其产品越来越多地应用于机械加工、交通运输等实际工况中, 仅仅进行材料力学特性分析已难以准确判定零件的可靠性, 因此需要对制品进行更为实际的振动特性分析, 然而目前却很少有学者进行此方面的研究.Arivazhagan^[2]利用DMA 2980设备对FDM 3D打印样件进行了0~100 Hz动力学特性参数的扫频试验, 进而分析了温度与储能模量和黏度值的关系.Mohamed等^[8-9]采用同样的方法实验研究了不同过程参数对样件动态弹性模量的影响规律, 并指出动态弹性模量随着打印间隙、光栅角、打印方向和路径宽度的增加而减小.此外, 通过过程参数的优化, 确定了最大动态模量和玻璃过渡温度的数值.然而, 上述研究都是基于实验测试开展的, 缺乏理论基础，并且只考虑了动态载荷下的弹性模量等参数的变化情况, 仍属于材料力学性能的研究范畴, 而并非振动特性方面的研究.
本文首次针对不同打印方向的FDM 3D打印薄板的振动特性进行了理论建模和实验研究，通过将固有特性的理论结果与实验结果相对比, 验证了FDM 3D打印薄板固有特性理论模型的正确性.
1 FDM薄板固有特性理论分析1.1 理论建模本文由六层PLA纤维材料组合而成的3D打印薄板具有正交各向异性特点，因此在研究3D打印薄板的理论模型时, 首先作了如下假设:①层与层之间粘结牢固, 无滑移, 无相对位移, 不考虑层间耦合效应; ②薄层之间粘结良好, 可作为一个整体结构板, 并且粘结层很薄, 其本身不发生变形, 即各单层板之间变形连续; ③薄板虽由多层单层板叠合而成, 但其总厚度仍符合薄板假定.
采用双向梁函数组合法^[10]对3D打印薄板进行动力学建模与分析, 薄板的振动解析是运用梁函数与另一方向满足边界条件的乘积型振型函数对建立的振动基本微分方程进行求解, 在满足边界条件情况下, 列出振型方程, 获得固有频率, 从而得到振型.
3D打印薄板的动力学建模可根据薄板理论假设(即Kirchhoff假设), 采用薄板小挠度理论研究.以板变形前的中面为xoy平面, 建立空间固定的直角坐标系o-xyz, 长度方向为x, 宽度方向为y, 厚度方向为z.矩形薄板的几何模型如图 1所示, 其中, 长度a为130 mm, 宽度b为50 mm, 厚度h为2.4 mm(每层厚度均为0.4 mm).
图 1(Fig. 1)

图 1 3D打印薄板三维模型Fig.1 3D model of the 3D printed sheet

薄板自由振动的基本微分方程为

(1)

式中:ρ是密度, kg/m³; D是板的弯曲刚度, N·m, , 其中E为弹性模量, Pa，μ为泊松比; t为时间.
本文的FDM 3D打印薄板边界条件为固定与自由组合情况下的矩形板, 采用双向梁函数组合法对其进行振动特性分析, 从而描述薄板样件振动的真实振型.将3D打印薄板的振型设为

(2)

式中:a_ij是待定系数, 其作用是调整不同阶次梁函数的组合以实现振型函数表达式逼近FDM 3D打印薄板的真实振型的目的；X_i(x)是满足x方向边界条件的第i阶振型函数表达式; Y_j(y)是满足y方向边界条件的第j阶振型函数表达式.
梁振型函数的一般表达式为

(3)

沿x轴方向为自由边界条件, X_i(x)可取自由-自由单向板第n阶振型函数, 需要满足的边界条件:
当x=0和x=a时，

(4)

将式(3)代入边界条件(4)中, 可得边界条件为自由-自由梁的振型函数如下:

(5)

式中:k_i是与梁频率有关的系数, k_i⁴=ω²(ρA/EJ)；α_i为梁频率系数, α_i=(chk_ia-cosk_ia)/(shk_ia-sink_ia)(i=3, 4, 5, …)；第一阶振型X₁和第二阶振型X₂分别表示刚体的移动和扭转, 第三阶振型X_i(i≥3)才是由梁变形引起的振型.
梁在Y方向的边界条件为固定-自由, 其表达式为
当y=0时，

(6)

当y=a时,

(7)

将式(3)代入边界条件(6)和(7)中, 可得边界条件为固定-自由梁的振型函数如下:

(8)

梁频率系数如表 1所示.
表 1(Table 1)

表 1 梁频率系数Table 1 Coefficient of beam frequency 边界条件 αi x=0 x=a i=1 i=2 i=3 自由 自由 0 0 4.73 固定 自由 1.875 4.694 7.855

表 1 梁频率系数 Table 1 Coefficient of beam frequency

将式(5)和(8)代入式(2)中, 便可以得到FDM悬臂板的振型函数:

(9)

1.2 Ritz法求解固有频率和振型Ritz(瑞利-里兹)法是根据能量变分原理, 将泛函极值问题转化为多元函数极值问题来近似求解工程结构或系统固有特性参数的一种方法.FDM 3D打印薄板在振动过程中会发生变形, 产生应力、应变以及随时间发生变化的板内变形能.
薄板势能为

(10)

薄板动能为

(11)

位移表达式为

(12)

将式(12)代入式(10), (11)中, 再代入由Hamilton原理得到的变分式, 对时间t进行积分得

(13)

(14)

(15)

将振型函数(9)代入式(14), (15)中, 且U_max-T_max对待定系数α_ij的偏导数为0, 即

(16)

得到关于α_ij的线性代数方程式, 令方程组的系数行列式为0, 可求出圆频率ω, 根据圆频率与固有频率换算公式, 即可得出固有频率f.
2 实验研究2.1 试件准备本文利用D-FORCE V2型桌面级3D打印机制备了外形结构如图 2所示的试件(Z, X和45°方向分别打印), 其长度为150 mm, 测试宽度为50 mm, 厚度为2.4 mm.
图 2(Fig. 2)

图 2 试件的二维示意图Fig.2 Two-dimensional drawing of the specimen

试验试件共有三种类型:①Z方向打印试件(Z01和Z02);②X方向打印试件(X01和X02);③ 45°方向打印试件(S01和S02).需要注意的是, 除了打印方向不同外, 其他如打印层厚度、喷嘴直径、打印速度、路径宽度等加工过程参数的设置都是相同的.
根据ASTM D638标准, 利用拉伸试验机完成了试件的静力拉伸实验, 进而确定FDM薄板的弹性模量和剪切模量.通过电子分析天平, 分析获取了样件的密度.样件的材料属性如表 2所示，泊松比为0.3.
表 2(Table 2)

表 2 FDM 3D打印薄板样件材料属性Table 2 Material properties of the FDM 3D printing plate 序号 样本 1 Z01 15.9 6.1 0.009 1 2 Z02 15.9 6.1 0.009 1 3 X01 15.4 5.9 0.009 2 4 X02 15.4 5.9 0.009 2 5 S01 15.7 6.0 0.009 3 6 S02 15.7 6.0 0.009 3

表 2 FDM 3D打印薄板样件材料属性 Table 2 Material properties of the FDM 3D printing plate

2.2 实验过程为获取FDM试件的固有特性参数, 搭建了如图 3所示的测试系统.测试系统主要包括模态力锤(PCB 086C01)、数据采集卡(NI USB 4431)和加速度传感器(B&K 4517)等设备.其中, 选用的B&K 4517轻质加速度传感器仅重0.6 g, 因此可忽略其对薄板振动特性的影响.
图 3(Fig. 3)

图 3 测试系统示意图Fig.3 Schematics of the test system

利用夹具固定保持FDM薄板试件的悬臂状态, 其夹持区长度为20 mm, 激励点距离底边约10 mm, 加速度传感器分别固定于薄板振动响应较大的测点处(样件顶部和中部, 避开节点), 以获取准确的测试结果.
实验过程中, 首先用力锤对不同方向打印制成的试件(Z方向、X方向和45°方向)施加脉冲激励, 同时利用加速度传感器测试由脉冲激励所引起的FDM薄板的动态响应, 并利用数据采集卡对输入的激励信号和输出的响应信号进行实时采集.为获得薄板的模态振型, 采用单点拾振法完成对试件的参数识别, 即将加速度传感器固定在振动较大的测点处, 分别对其余各测点进行激励.针对每个试件, 分别完成了10组实验, 以进一步确保测试结果的准确性.
图 4为一组不同打印方向的FDM薄板试件的频率响应曲线, 通过分析辨识该曲线的峰值数据即可初步确定薄板试件的各阶固有频率, 具体如表 3所示.
图 4(Fig. 4)

图 4 FDM薄板的频率响应函数Fig.4 Frequency response function of the FDM sheet

表 3(Table 3)

表 3 FDM薄板样件的固有频率Table 3 Natural frequency of the FDM sheet samples 试件 固有频率/Hz 第一阶 第二阶 第三阶 Z01 23.94 181.1 364.5 Z02 25.04 181.8 321.7 X01 23.70 177.2 324.6 X02 26.59 179.2 319.5 S01 22.97 177.2 305.3 S02 25.39 173.2 324.7

表 3 FDM薄板样件的固有频率 Table 3 Natural frequency of the FDM sheet samples

3 结果分析为了验证本文所提出的悬臂边界下FDM 3D打印薄板固有特性计算方法的正确性, 将理论计算结果与实验结果进行对比分析, 结果如表 4所示.其中误差为|C-1|/A.
表 4(Table 4)

表 4 FDM 3D打印薄板前3阶固有特性的理论和实验结果Table 4 Theoretical and experimental results of the first three order inherent characteristics of the FDM 3D printed sheets 项目 试件打印方向 阶次 第一阶 第二阶 第三阶 测试频率A/Hz Z 24.49 181.45 343.10 X 25.15 178.20 322.05 45° 24.18 175.20 315.01 计算频率B/Hz Z 25.898 194.678 371.68 X 26.651 191.476 352.033 45° 25.802 190.512 345.503 误差/% Z 5.75 7.29 8.33 X 5.97 7.45 9.31 45° 6.71 8.74 9.68 测试振形 计算振形

表 4 FDM 3D打印薄板前3阶固有特性的理论和实验结果 Table 4 Theoretical and experimental results of the first three order inherent characteristics of the FDM 3D printed sheets

通过与实验结果进行对比验证可知, 基于梁函数组合法的3D打印薄板计算振型和测试结果一致, 且固有频率的计算结果与实验结果吻合度较好, 误差仅为5 % ~9.7 %, 验证了理论模型的正确性, 即利用本文所提出的理论计算方法可以较为准确地分析和预测出悬臂边界条件下FDM 3D打印薄板的固有特性参数(固有频率和模态振型).而误差产生的原因主要来自理论建模和实验测试两个方面, 如模型忽略了各层之间的应力应变情况、薄板纤维排列不规则、残余应力、实验过程中边界条件不一致(夹具夹紧程度不同)、测试仪器灵敏度漂移等问题.
4 结论1) 基于小挠度薄板理论对FDM 3D打印薄板在悬臂状态下进行了理论建模, 计算了3D打印薄板的固有频率及振型, 该方法同样适用于同类型多层无滑移的复合薄板的固有特性分析.
2) 给出了计算3D打印薄板固有特性的具体流程.主要包括输入薄板的几何参数和不同打印方向的薄板的输入参数、基于双向梁函数组合法来表示振型函数以及通过Ritz法对该类型薄板的固有特性进行求解等3个关键步骤.
3) 以FDM 3D打印薄板为研究对象, 将固有特性的理论分析结果与实验测试结果进行了对比, 误差范围为5 % ~9.7 %, 吻合度较好, 验证了理论计算方法的正确性.
4) 本文的研究有助于提高FDM产品的动力学性能, 并且为今后的研究提供重要的参考和技术支持.
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