杨周¹, 姜红猛¹, 张义民², 姜超¹
1. 东北大学 机械工程与自动化学院, 辽宁 沈阳 110819;
2. 沈阳化工大学 机械工程学院, 辽宁 沈阳 110142
收稿日期：2019-02-25
基金项目：国家自然科学基金资助项目(U1710119)。
作者简介：杨周(1979-)，女，辽宁鞍山人，东北大学副教授;
张义民(1958-)，男，吉林长春人, 沈阳化工大学教授，****特聘教授, 博士生导师。

摘要：考虑不同工况下载荷变化和强度退化对机械零件可靠性的影响, 采用雨流计数法对工况载荷进行统计处理, 运用Goodman直线修正法与线性积累损伤法则估计出零件的疲劳寿命.在此基础上, 利用等时间段内最大载荷替代载荷变化，Gamma过程模拟强度随机退化的方法来建立渐变可靠性数学模型, 最后由随机摄动理论和四阶矩法相结合推导出可靠性灵敏度的表达式.以采煤机扭矩轴为例, 估算出扭矩轴在实际载荷下的疲劳寿命, 给出各参数变量在疲劳寿命内动态可靠性灵敏度变化规律, 分析了参数变量改变对扭矩轴可靠性的影响, 并用Monte Carlo仿真进行了验证, 结果表明所采用的动态可靠性分析过程符合实际工况, 能够为实况下机械零件的动态可靠性分析提供一种方法.
关键词：机械零件疲劳寿命Gamma过程四阶矩可靠性灵敏度
Dynamic Reliability Analysis of Mechanical Parts Under Actual Operation Conditions
YANG Zhou¹, JIANG Hong-meng¹, ZHANG Yi-min², JIANG Chao¹
1. School of Mechanical Engineering & Automation, Northeastern University, Shenyang 110819, China;

Corresponding author: JIANG Hong-meng, E-mail: 17640152471@163.com
Abstract: The fatigue life of the parts were estimated by using the Goodman linear correction method and the linear cumulative damage rule, and the working load was statistically analyzed by the rain flow count method, considering the impact of the load change and the strength degradation on the reliability of mechanical parts. Then, the gradient reliability mathematical model was set up with maximum load in equal time to replace the variable load by using Gamma random process simulating strength degradation. Finally, the expression of reliability sensitivity was derived by stochastic perturbation theory and four rank moment method. The torque shaft of coal mining machine was taken as an example, the fatigue life of the shaft under actual load was estimated and the each parameter variables′ variation rule of dynamic reliability sensitivity during the fatigue life was given. Furthermore, the influence of the parameter variables′ variation on torque shaft reliability was analyzed, and the Monte Carlo simulation method was used to verify the results. All analysis results show that the dynamic reliability analysis process adopted conforms actual working conditions, and can provide a method for dynamic reliability analysis of mechanical parts in real situations.
Key words: mechanical partsfatigue lifeGamma processfourth-order momentreliability sensitivity
机械零件在实际工况下, 其材料性能是随时间变化的, 所受载荷是变幅随机的, 但在以往的机械零件可靠性设计中^[1-4], 忽略了强度和载荷的变化, 分析的是静态的可靠性问题, 无法展现出零件在整个疲劳寿命内动态可靠性过程, 因此考虑载荷和强度的变化是目前可靠性研究的一个方向.Andrieu-Renaud等^[5]对可靠性技术理论提出了一种基于PHI2方法计算动态可靠度的模型; Wang等^[6]运用顺序统计和概率方程建立随机载荷作用下的零件动态可靠性模型; Fang等^[7]利用应力-强度干涉理论与概率密度变换法建立了在多次随机荷载作用下结构随时间变化的可靠度预测模型; Huang等^[8]根据变量的随机性建立了广义动态的干涉模型; Wang等^[9]运用等效随机过程变换方法, 提出了一种与时间无关的可靠性模型.
本文采用雨流计数法、Miner理论、顺序统计理论、Gamma强度退化理论等建立了动态可靠性模型, 利用四阶矩法给出灵敏度求解公式, 以采煤机扭矩轴为例, 根据载荷估算出了扭矩轴的疲劳寿命, 得出了扭矩轴动态可靠性变化曲线, 分析了各参数变量对扭矩轴可靠度的影响, 最后通过Monte Carlo方法验证了该方法的严谨性.
1 疲劳寿命估算雨流计数法^[10]又名塔顶法, 是目前在疲劳分析中应用最普遍的一种循环计数法.雨流计数法认为由载荷时间历程得到的应力应变迟滞回线与造成的疲劳损伤是等效的, 能够展现出材料应力和应变的行为, 但由于雨流计数法对载荷统计处理得到的是应力均值不为零的应力范围, 所以在采用疲劳累计损伤方法估计疲劳寿命时, 考虑到应力均值的影响, 必须对雨流计数法的结果进行应力均值修正.本文采用Goodman^[11]直线法将一系列变幅的应力修正为应力比r=-1的应力谱, 其Goodman直线法表达为

(1)

式中:S_i为第i级应力循环修正后得到的对称循环应力; S_ai和S_mi分别为第i级应力的幅值和应力的均值; S_u为材料的极限强度.
由Miner^[11]理论和零件材料的S-N曲线(S^mN=C)可以得到疲劳寿命的表达式为

(2)

式中:T_s为零件的疲劳寿命估计值; S_i为修正后的对称循环应力值; k为应力水平级数; t为实测载荷历程; m和C为零件材料常数, 与材料性质等有关.
2 建立动态可靠性模型2.1 载荷随时间累计由于实际工况下载荷随时间是变幅随机的, 为了处理载荷不服从某一分布性, 可对载荷模型作如下分析:
1) 将载荷作用时间T_s(疲劳寿命)平均分成q个时间段, 每个时段用τ来表示.
2) 通过统计每个时间段内的最大载荷θ_i, 确定分布函数为F_τ(x).
3) 假定在这q个时段内载荷的最大值相互独立且同分布于F_τ(x).
当随机载荷作用q次时, 等同于从载荷谱中抽取了q个载荷样本, 如果零件在这q次随机载荷中的最大载荷θ_max不发生破坏时, 则零件在当前载荷下也不会破坏, 分析随机载荷作用下零件的可靠度等同于分析最大载荷θ_max下对应的可靠度.由顺序统计量理论可知，连续q个时段最大载荷的分布函数可由最大项的极值分布理论得到, 因此连续的q个时段最大载荷分布函数为

(3)

当q值很大时计算会特别复杂, 这里假设q个载荷随机变量最大值相互独立且服从正态分布, 通过渐近分布理论可知载荷最大值分布服从极值Ⅰ型分布^[12], 其证明如下:
假设随机变量X服从一般正态分布N(μ, σ²), 概率分布函数为

(4)

由于Z_q为随机变量X最大值, 所以A=(Z_q-μ)/σ为(X-μ)/σ的最大值, 因此Z_q的分布函数表示为

(5)

由极值Ⅰ型分布定理可知, 最大值Z_q的均值和方差分别为

(6)

(7)

(8)

(9)

式(6)中常数0.577 2为欧拉常数, 这样就把载荷随时间累计过程的等效分布函数表示出来了.若取时间段τ=1, 则q值可由T_s代替, 载荷的均值和方差可根据式(6)和式(7)求出.
2.2 强度随时间变化Gamma过程是一个有独立非负增量的服从某一参数的随机过程, 常用于随时间积累有微小增量损伤的分析之中, 例如零件的腐蚀、疲劳及裂纹的增长和扩展等^[13].本文采用Gamma过程描述强度退化，能保证强度退化是单调和随机的过程, Gamma过程数学定义如下:假设X服从Gamma分布, 其密度函数为

(10)

其中:, r>0为Gamma函数; u和v分别表示尺寸参数和形状参数(u>0, v>0);当t≥0, v(t)为一个右连续的非减的实值函数, 且有v(0)≡0, 带有形状参数v(t)>0和尺寸参数u>0的Gamma过程是时间和状态都连续的随机过程{X(t), t≥0}.Gamma过程具有以下3条性质:
1) X(0)=0且概率值为1;
2) X(t)具有独立的增量;
3) X(τ)-X(t)~G_a(x|v(τ)-v(t), u), ?τ>t≥0.
现用X(t)表示机械零件强度在t时刻的退化量, 根据Gamma过程的定义可知, 此时X(t)的均值和方差可表示为

(11)

(12)

文献[13]表明在t时刻的强度退化值的期望通常与时间的指数次幂成正比, 即强度的均值可以表示为

(13)

式中:a, b和c均是大于零的实数, 可采用极大似然法、矩估计法^[13]和文献[14]等方法来选取.
2.3 动态可靠性模型建立根据应力-强度干涉模型^[15]建立动态极限状态函数为

(14)

式中:r(t)为强度随机退化过程，其初始强度为r₀; 强度退化量X(t)与r₀相互独立; t时刻零件的强度r(t)=r₀-X(t); σ(Y, t)为载荷作用的随机过程; Y为与载荷作用有关的参数矢量, 由一次二阶矩得到动态可靠性指标与可靠度表达为

(15)

(16)

式(16)表示零件在疲劳寿命内每一时刻强度都要大于载荷值时才能处于可靠状态.
3 可靠度及灵敏度分析3.1 可靠性设计摄动法由随机摄动理论可知, 随机参数向量X和状态函数g(X)可以表示为

(17)

(18)

式中:ε是一个微小的参数, 绝对值在0~1之间; d代表变量中的确定部分; p代表变量中均值为零的随机部分, 其中随机部分的值远小于确定部分.应用Kronecker代数理论与随机分析理论对状态函数g(X)取前四阶矩的表达为

(19)

(20)

(21)

(22)

式中:(·)^[k]为(·)的Kronecker幂; Var(X), C₃(X), C₄(X)分别为参数向量X的二阶、三阶和四阶矩, 其中状态函数g(X)对参数向量X求偏导数为

(23)

当各参数变量服从正态分布时, 可以直接用式(15)、式(16)求出可靠度.本文由于载荷处理为极值Ⅰ型分布, 所以采用四阶矩的方法计算可靠度指标, 其表达式为

(24)

式中: .
3.2 可靠性灵敏度利用四阶矩技术求解参数变量的均值和方差灵敏度近似表达式为

(25)

(26)

式中:

(27)

(28)

(29)

(30)

(31)

(32)

(33)

把式(27)~式(33)代入到式(25)和式(26)就能得出各参数变量的均值和方差灵敏度.
4 工程实例以某型号采煤机扭矩轴为例子, 结构示意图如图 1所示, 扭矩轴的材料为40CrNiMo钢, 在卸荷槽截面建立功能函数表达式为

(34)

图 1(Fig. 1)

图 1 扭矩轴示意图Fig.1 Schematic diagram of torque shaft

式中参数变量数据如表 1所示, 根据文献[13-14]取扭矩轴的Gamma强度退化过程的三个参数为u=2.7e+4, b=0.5, c=9.7e+4.
表 1(Table 1)

表 1 扭矩轴相关参数Table 1 Related parameters of torque shaft 扭矩轴参数 均值 标准差 三阶矩 四阶矩 扭转强度r0/MPa 459 22.95 0 1.1e+6 转矩T/(N·mm) 6.8e+6 7.72e+5 9.4e+11 7.5e+26 外径D/mm 80 0.40 0 7.68e-2 内径d/mm 20 0.10 0 3e-4 槽深h/mm 10 0.05 0 1.88e-5

表 1 扭矩轴相关参数 Table 1 Related parameters of torque shaft

图 2为雨流计数法分析22 s载荷得到的应力循环统计图, 选取表 2数据^[11]P=0.5时材料的m和C值, 利用式(1)和式(2)计算出扭矩轴疲劳寿命T_s=7 538.6 h.
图 2(Fig. 2)

图 2 雨流计数Fig.2 Rain flow count (a)—应力谱；(b)—应力统计图.

表 2(Table 2)

表 2 40CrNiMo钢P-S-N曲线Table 2 P-S-N curve for 40CrNiMo steel 存活率P 0.99 0.95 0.90 0.50 m 6.521 7 7.494 6 8.012 5 9.842 4 C 1023.111 6 1025.900 5 1027.387 1 1032.637 6

表 2 40CrNiMo钢P-S-N曲线 Table 2 P-S-N curve for 40CrNiMo steel

在初始时刻, 扭矩轴强度没有退化时求得可靠度指标β_FM=5.324, R=1.000.随着使用时间的增加，可靠度出现逐渐减小的趋势，如图 3所示, 图中点线为Monte Carlo仿真曲线, 对比看出两种方法得到的曲线几乎重合, 变化规律符合实际情况, 有效地验证了该方法的正确性.在给定扭矩轴可靠度R=0.999时, 求得t=1 974 h, 说明扭矩轴在使用时间1 974 h以内可靠度都能满足99.9%的要求.
图 3(Fig. 3)

图 3 扭矩轴可靠度变化曲线Fig.3 Reliability variation curve of torque shaft

图 4~图 7为Gamma过程扭矩轴的参数灵敏度变化曲线, 从图中分析得出:
图 4(Fig. 4)

图 4 扭矩轴均值灵敏度变化曲线Fig.4 Mean sensitivity variation curve of torque shaft

图 5(Fig. 5)

图 5 扭矩轴方差灵敏度变化曲线aFig.5 Variance sensitivity variation curves of torque shaft

图 6(Fig. 6)

图 6 扭矩轴方差灵敏度变化曲线bFig.6 Variance sensitivity variation curves of torque shaft

图 7(Fig. 7)

图 7 Gamma参数的灵敏度变化曲线Fig.7 Sensitivity variation curves of Gamma parameters

1) 均值灵敏度的绝对值随时间变化先增大后减小, 说明随时间变化各参数均值对可靠度影响先增大后减小.方差灵敏度对可靠度影响比较复杂, 但在设计初期对可靠度影响都为负.任意时刻可靠度对变量h和D的灵敏度都大于对r和T的灵敏度, 变量h灵敏度最高, 变量T灵敏度最低, 这与文献[12]、文献[16]分析结果相一致.
2) 变量D和r均值随时间变化对可靠度影响为正说明增加D和r将提高可靠度；变量T, h和d均值对可靠度影响为负说明增加T, h和d将降低可靠度, 结果与实际情况相符.
3) Gamma过程参数b和c的可靠性灵敏度为负值, 参数u的可靠性灵敏度为正值, 其中b值对可靠度影响最大, c值对可靠度影响最小.
4) 要提高扭矩轴的可靠度, 最有效的方法是减小槽深均值和方差, 也可以增加扭矩轴的外径等来实现.
5 结论1) 本文采用雨流计数法对工况载荷进行统计, 利用Miner理论等得出零件的疲劳寿命, 在疲劳寿命内分析了载荷随机作用和Gamma强度退化过程, 以应力-强度干涉理论对零件进行可靠性建模, 给出了四阶矩的灵敏度计算公式.
2) 以实况载荷下扭矩轴为例, 给出了扭矩轴的可靠度、各参数变量的灵敏度及Gamma过程参数的灵敏度曲线, 并用Monte Carlo方法验证了本文方法的有效性.
3) 在此基础上, 分析出了可靠度对槽深最敏感、对外载荷最不敏感和提高扭矩轴可靠度最有效的方法是减小槽深或提高卸荷槽的加工精度等结论, 其数值分析结论可为工程设计人员设计扭矩轴提供定量的依据.
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