, 孙志礼1, 许二丰3, 孙安邦41. 东北大学 机械工程与自动化学院, 辽宁 沈阳 110819;
2. 山东省科学院 海洋仪器仪表研究所, 山东 青岛 266001;
3. 郑州宇通客车股份有限公司, 河南 郑州 450061;
4. 一汽解放汽车有限公司, 吉林 长春 130011
收稿日期：2016-01-11
基金项目：国家科技重大专项(2013ZX04011-011)。
作者简介：冯吉路(1988-)，男，天津人，东北大学博士研究生;
孙志礼(1957-)，男，山东巨野人，东北大学教授，博士生导师。
摘要：采用拉丁超立方抽样确定了角接触球轴承结构参数的样本点, 通过Powell和Newton-Raphson相结合的算法计算了非线性方程组, 将计算得到的轴承刚度的响应值应用Kriging法进行响应面拟合.利用Monte Carlo随机抽样法确定了轴承结构参数的均值和方差对轴承刚度均值的灵敏度.研究结果表明:轴承轴向和径向刚度对轴承结构参数的均值和方差的灵敏度呈现相反的影响趋势.轴承刚度对轴承滚动体直径的变化反应最灵敏, 轴承内、外圈沟道曲率半径的变化对其影响次之, 外沟道直径的变化对其影响最小.该研究为轴承的结构参数和加工精度的选择及零件的分选提供了理论依据.
关键词：角接触球轴承刚度灵敏度结构参数随机性
Influence of Randomness of Structure Parameters for Bearings on Its Stiffness Sensitivity
FENG Ji-lu1,2
, SUN Zhi-li1, XU Er-feng3, SUN An-bang41. School of Mechanical Engineering & Automation, Northeastern University, Shenyang 110819, China;
2. Institute of Oceanographic Instrumentation, Shandong Academy of Sciences, Qingdao 266001, China;
3. Zhengzhou Yutong Bus Corporation Limited, Zhengzhou 450061, China;
4. FAW Jiefang Automotive Company Limited, Changchun 130011, China
Corresponding author: FENG Ji-lu, E-mail: fengjilu123@sina.com
Abstract: The latin hypercube sampling technique was used to obtain sample points of structure parameters for angular contact ball bearings. A combination method of the Powell algorithm and Newton-Raphson method was proposed for solving nonlinear equations and then the as-obtained the bearings stiffness were applied on fitting response surface functions based on the Kriging model. The influence of the mean and variation of structure parameters for angular contact ball bearings on its stiffness sensitivity was simulated using the Monte Carlo method. The results show that the mean and variation of structure parameters for angular contact ball bearings have an adverse effect on the sensitivity of the axial and radial stiffness. Bearings stiffness is most sensitive to the variation of ball diameters, then curvature radius of the inner and outer raceway groove takes the second place, and the outer raceway diameter is the least. This research may bring forward the theoretical basis for selecting the design parameters and machining accuracy of bearings as well as separation of parts.
Key Words: angular contact ball bearingstiffnesssensitivitystructure parametersrandomness
轴承刚度是轴承关键的服役性能之一, 对主轴-轴承系统的动态特性有重要的影响[1-2].其中, 角接触球轴承的刚度受轴承结构参数和服役条件等多种因素的影响.文献[3-5]研究指出轴承过盈配合量、离心位移及预紧力等参数的增加均会引起轴承刚度的增大.文献[6]通过实验法进行了角接触球轴承的刚度研究.虽然上述科研人员分别从理论和实验方面对角接触球轴承刚度的影响因素进行了大量的研究, 但是针对角接触球轴承结构参数对轴承刚度的影响的研究仍然不足.
在分析轴承结构参数对轴承刚度的影响时, 通常会分别考虑轴承内、外圈沟道曲率半径、滚动体直径和轴承节对轴承刚度的影响.然而轴承各个结构参数之间具有相互耦合作用, 使得单独变化某个结构参数求得其对轴承刚度的影响的结果, 并不能直接说明某个结构参数对轴承刚度的影响大小.轴承结构参数是由设计参数和制造过程共同决定的.当设计参数给定时, 轴承结构参数的实现要靠加工制造来保障.在不考虑轴承零部件加工系统误差的前提下, 轴承各零部件加工后结构参数的尺寸误差应服从正态分布, 即轴承各零部件加工装配后轴承结构参数应具有随机性.轴承结构参数的随机性的变化也会影响到轴承刚度, 但是目前很少有人探讨轴承结构参数的随机性对轴承刚度的影响.
鉴于上述问题, 本文提出了采用刚度灵敏度来评价轴承结构参数的随机性对轴承刚度的影响大小.通过拉丁超立方抽样获取轴承结构参数样本点, 应用Powell和Newton-Raphson相结合的算法求解大规模非线性方程组, 得到了轴承轴向和径向刚度的响应值, 并使用Kriging方法拟合了轴承刚度的代理模型.假设轴承的结构参数服从正态分布, 利用Monte Carlo随机抽样法和有限差分法相结合的方式分别求得参数的均值和方差对轴承刚度灵敏度的影响.
1 轴承刚度计算的相关理论1.1 赫兹接触刚度由赫兹接触理论可得两接触物体的接触载荷Q与弹性趋近量δ之间的关系为[7-8]
 | (1) |
 | (2) |
Harmrock等利用最小二乘法求得简化关系式[8]:
 | (3) |
 | (4) |
 | (5) |
根据式(2) 可得, 第j个滚动体与轴承内、外圈沟道间的接触刚度分别为
 | (6) |
 | (7) |
 | (8) |
 | (9) |
 | (10) |
1.2 拟静力学分析和沟道控制理论1.2.1 滚动体的变形几何相容方程假设外圈沟道曲率中心是固定的, 内圈沟道曲率中心可以相对移动.建立载荷作用下的坐标系, 如图 1所示.把外圈沟道曲率中心设为坐标原点, 由变形协调条件可以确定第j个滚动体中心位置, 如图 2所示.第j个滚动体中心位置的变化:
图 1(Fig. 1)
 | 图 1 轴承受载示意图Fig.1 Bearing load diagram |
图 2(Fig. 2)
 | 图 2 滚动体中心与沟道曲率中心的相对位置Fig.2 Relative position of the ball and race curvature center |
 | (11) |
 | (12) |
1.2.2 滚动体拟静力学分析图 3为第j个滚动体与内、外圈的受力情况, 由受力平衡关系可得滚动体的受力平衡方程为
图 3(Fig. 3)
 | 图 3 滚动体受力分析Fig.3 Load analysis of the ball |
 | (13) |
 | (14) |
1.2.3 轴承拟静力学平衡在内外载荷的作用下, 轴承内圈处于受力平衡状态, 其受力平衡方程为
 | (15) |
 | (16) |
 | (17) |
2 Kriging模型Kriging模型是一种半参数化的插值模型, 不需要给出状态函数的具体形式, 这样可以使模型的预测精度不受假定函数形式的影响.另外, Kriging模型可以应用于强非线性的问题.Kriging模型[9]表示为
 | (18) |
z(x)是随机过程函数, 反映局部偏差的近似, 它的均值μ是零, 方差是σ2, 协方差矩阵为
 | (19) |
 | (20) |
 | (21) |
 | (22) |
 | (23) |
 | (24) |
通过Kriging模型, 得到待测点x的预测响应值为
 | (25) |
 | (26) |
 | (27) |
 | (28) |
建立Kriging近似方程后, 要用过比较估计值和真实值之间的差异来确定模型的好坏.常用的近似模型检验方法有复相关系数(R2)、修正复相关系数(adjusted R2)、均方根误差(RMSE)等.
3 轴承刚度灵敏度计算方法及程序3.1 灵敏度分析当一个函数f由一个或者多个参数(x1, x2, …, xn)表示时, f对参数的导数或者偏导数就是参数对函数的灵敏度，可以表示为
 | (29) |
在计算角接触球轴承结构参数对轴承刚度灵敏度时, 函数为轴承刚度均值, 参数为轴承的各个结构参数.轴承刚度均值的灵敏度可以表示轴承结构参数变化对轴承刚度变化的影响程度, 其表达式为
 | (30) |
3.2 轴承刚度灵敏度程序根据上述分析, 给出了计算轴承结构参数对轴承刚度灵敏度的方法.根据已知轴承的结构参数, 选择合理的均值和方差进行拉丁超立方抽样.将样本数据作为初值进行轴承非线性方程组求解, 从而进一步求得对应初值的轴承的轴向和径向刚度.根据轴承刚度的计算结果, 应用Kriging方法进行目标轴承函数拟合, 利用Monte Carlo法结合式(30) 求解轴承结构参数的随机性对轴承刚度灵敏度的影响.轴承刚度灵敏度计算流程如图 4所示.
图 4(Fig. 4)
 | 图 4 轴承刚度灵敏度计算流程图Fig.4 Computation flowchart of stiffness sensitivity for bearings |
4 计算结果及分析利用上述优化算法, 分析了NSK角接触球轴承7016A5结构参数对轴承刚度的灵敏度.分析中轴承预紧力和转速为定值, 其中轴承所承受的外部径向载荷Fr=200N, 预紧力Fa=3000N, 转速n=6000r/min.轴承材料为GCr15.Dm为轴承节径, 它是轴承内外圈滚道直径之和的一半.本文中为了减小计算量, 将轴承的内圈滚道直径设为固定值, 因此, Dm的大小仅由轴承外圈滚道直径Do决定.轴承的结构参数及其对应的均值和方差分别如表 1和表 2所示, 图 5~图 7为所有的计算结果.
表 1(Table 1)
 表 1 角接触球轴承的原始参数Table 1 Initial parameters of angular contact ball bearing
| 表 1 角接触球轴承的原始参数 Table 1 Initial parameters of angular contact ball bearing |
表 2(Table 2)
表 2 轴承设计变量的取值范围Table 2 Number range of bearing design variables
| 表 2 轴承设计变量的取值范围 Table 2 Number range of bearing design variables |
图 5(Fig. 5)
 | 图 5 Kriging拟合轴承径向刚度误差分析Fig.5 Fitting errors of Kriging for radial stiffness of bearings |
图 6(Fig. 6)
 | 图 6 轴承刚度均值对轴承结构参数均值的灵敏度Fig.6 Sensitivity of the mean of bearings stiffness with respect to the mean of its structure parameters |
图 7(Fig. 7)
 | 图 7 轴承刚度均值对轴承结构参数方差的灵敏度Fig.7 Sensitivity of the mean of bearings stiffness with respect to the variance of its structure parameters |
利用拉丁超立方抽取30组轴承结构参数作为样本点数据, 通过拟静力学求解轴承的非线性方程组(12) ~(18) 求得轴承的轴向和径向刚度.图 5为轴承径向刚度的计算结果及Kriging预测误差, 由图分析可知, 经过Kriging算法计算后样本点与其响应值之间的误差非常小, 其数量级为10-6, 并且其均方差根误差趋近于零, 进而说明Kriging模型满足校验要求.
利用Monte Carlo法分别对轴承轴向刚度和径向刚度的响应函数进行了106抽样, 经过计算分别得到了轴承刚度均值对轴承结构参数均值和方差的灵敏度, 如图 6和图 7所示.由图明显可知, 轴承轴向和径向刚度对轴承结构参数的灵敏度呈现相反的影响趋势.
轴承刚度均值对轴承结构参数均值的灵敏度可以表征设计点变化对轴承刚度的影响大小.分析图 6可知, 轴承轴向刚度均值随轴承滚动体直径和轴承内、外圈沟道曲率半径的均值的增加而减小, 随轴承外圈沟道直径的均值的增加而增大.对比可以发现, 轴承刚度均值对轴承滚动体直径的变化反应最灵敏, 轴承内外圈沟道曲率半径的变化对其影响次之, 外沟道直径的变化对其影响最小.因此在轴承承受载荷和转速不变的条件下, 为了确保轴承刚度, 在设计轴承时应重点考虑轴承滚动体直径选取的合理性.
轴承刚度均值对轴承结构参数方差的灵敏度可以表征加工和装配后结构参数的离散程度对轴承刚度的影响大小.分析图 7可知, 轴承轴向刚度均值随轴承滚动体直径、轴承外圈沟道直径及轴承外圈和内圈沟道曲率半径的方差的增加而减小, 且对上述参数变化的灵敏度依次减小.因此在轴承承受载荷和转速不变的条件下, 为确保轴承刚度, 在轴承加工和装配时, 轴承滚动体直径的加工精度和分选等级控制应该最为严格.
5 结论1) 考虑了轴承结构参数的随机性问题, 提出了采用刚度灵敏度去评价轴承结构参数的随机性对轴承刚度的影响大小, 该研究为轴承的结构参数和加工精度的选择及零件的分选提供了理论依据.
2) 计算轴承刚度的均值对轴承结构参数均值和方差的灵敏度的结果表明:轴承轴向和径向刚度对轴承结构参数的均值和方差的灵敏度呈现相反的影响趋势.轴承刚度对轴承滚动体直径的变化反应最灵敏, 轴承内、外圈沟道曲率半径的变化对其影响次之, 外沟道直径的变化对其影响最小.
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