陈岩, 芦旭, 江鹏, 关振群
大连理工大学 工业装备结构分析国家重点实验室, 辽宁 大连 116024
收稿日期：2016-02-25
基金项目：国家自然科学基金资助项目(11272074)；国家基础研究发展计划项目(613277)。
作者简介：陈岩(1991-)，男，江苏徐州人，大连理工大学博士研究生;
关振群(1965-)，男，辽宁本溪人，大连理工大学教授，博士生导师。

摘要：通过对螺纹连接结构承载分布问题的理论分析与数值模拟, 探索影响螺纹副轴向力分布均匀性的关键因素.首先对螺纹副轴向承载分布进行理论分析, 提出依据螺纹副截面上单位长度荷载F与螺纹牙相对变形u的关系曲线确定轴向力分布的解析方法.理论分析表明, 当F-u关系曲线呈屈服形状时, 螺纹副轴向承载力分布更加均匀.其次, 对施必牢螺纹副进行分析, 发现其F-u关系曲线呈现出屈服特征; 从牙型设计、材料塑性和螺纹错动三方面进行分析, 阐明施必牢螺纹副承载分布均匀性好的力学机制; 最后, 详细分析了螺纹副径向尺寸系数、摩擦因数和材料特性等因素对螺纹上轴向力分布的影响规律.
关键词：螺纹连接承载分布均匀性施必牢螺纹有限元分析
Analysis on Critical Influential Factors of Axial Load Uniform Distribution in Bolted Joint
CHEN Yan, LU Xu, JIANG Peng, GUAN Zhen-qun
State Key Laboratory of Structural Analysis for Industrial Equipment, Dalian University of Technology, Dalian 116024, China
Corresponding author: CHEN Yan, E-mail: chenyanlixue@163.com
Abstract: The critical influential factors of axial load uniform distribution in bolted joint are explored by theoretical analysis and numerical simulation. Firstly, theoretical analysis was done toward the axial load distribution of the bolted joint. An analytical method of confirming the axial load distribution by using the relationship between axial load per unit length F and relative deformation u is proposed. Besides, the result of theoretical analysis shows that the axial load distribution is more uniform when the shape of F-u curve presents yield-type. Secondly, through the analysis on Spiralock thread, the shape of F-u curve is also observed as yield-type. Then the mechanics mechanism for the Spiralock thread having better distribution uniformity is clarified from three aspects: tooth design, material plasticity and thread slip. Lastly, the factors, such as radial dimension coefficient, friction coefficient and material elastic modulus ratio which affect the load distribution are systematically studied.
Key Words: bolted jointload distributionuniformitySpiralock threadfinite element analysis
螺纹连接因其操作性好、构造简单等优点广泛应用于机械结构中^[1].但由于其结构特点承载时普遍存在轴向力分布不均, 前几扣螺纹牙承载比例过大的问题^[2-3], 极大地影响了结构连接强度和可靠性.
为解决这一问题, Sopwith^[4]将螺纹牙看作悬臂梁结构, 从理论上给出了螺纹副承载力分布不均的原因; Wang和Marshek^[5]将螺纹面接触简化为弹簧连接, 并以此模型来分析螺纹的轴向承载力分布; Liao等^[6]采用有限元法分析了模型单元尺寸对螺纹副承载分布的影响; Gewal等^[7]研究了螺距、螺纹牙型和啮合牙数等对载荷分布的影响规律：在改善螺纹分布不均的措施方面, 陈守骏等^[8]发现切齿可以改善受拉螺纹的载荷分布, 并对其理论进行深入研究；高连新等^[9]提出了外螺纹螺距不变、内螺纹变螺距的方案以改善螺纹受力；但这些措施都没有在根本上解决螺纹承载分布不均的问题.
本文首先对螺纹副承载分布进行理论分析, 发现同规格的螺纹副, 螺纹截面载荷F与截面上相对变形u关系曲线的形状是影响螺纹副承载分布的主要因素.其次, 利用ABAQUS软件对施必牢螺纹副承载分布进行建模分析, 从牙型设计、材料塑性和螺纹错动三方面指出其承载分布均匀性好的力学机制.最后, 详细考察了螺纹副径向尺寸系数、摩擦因数和材料特性等主要因素对施必牢螺纹上轴向力分布的影响, 发现材料特性影响最大, 从侧面说明了螺纹结构的F－u关系曲线的形状是影响轴向力分布的决定性因素.
1 螺纹副承载分布理论分析1.1 受力分析螺栓、螺母的连接示意图如图 1所示, 以螺母上表面与螺栓轴线的交点为原点O, 假设啮合长度为L, 在螺栓一端施加拉力P, 可见螺栓的内力为拉力, 而螺母的内力为压力.
图 1(Fig. 1)

图 1 螺纹连接结构受力分析Fig.1 Force analysis of screw connection structure

设x位置处作用在螺纹牙单位长度上荷载的轴向分量为F, 由图 1可知

(1)

式中Q(x)为x截面处螺栓的轴力.
1.2 变形分析在轴向力P作用下, 结构的变形包括螺栓、螺母本体的变形, 以及螺纹牙的变形.取螺栓杆上长为x的一段进行分析, 其变形前示意图如图 2所示.
图 2(Fig. 2)

图 2 变形前螺纹示意图Fig.2 Explanatory views of screw before deformation

记螺栓的拉伸变形为δ_b, 螺母的压缩变形为δ_n, 根据材料力学中杆在轴力作用下的变形理论, 两者可表示为

(2)

式中, E_b, A_b, E_n, A_n分别表示螺栓和螺母本体的弹性模量和截面积.
同时, 螺纹牙在荷载作用下会产生弯曲、剪切和牙间错动等广义变形(见图 3), 记x截面处螺栓牙相对于牙根的变形量为δ_tb(x), 螺母牙相对于牙根的变形量为δ_tn(x), 由此可得, 该截面处螺纹牙牙根的相对变形:u(x)=δ_tb(x)+δ_tn(x).
图 3(Fig. 3)

图 3 变形后螺纹示意图Fig.3 Explanatory view of screw after deformation

假设牙根位移与本体结构一致, 由结构变形后的图 3可见, 变形量满足如下协调条件:

(3)

将式(2) 代入式(3) 中, 同时两边对x分别求一阶和二阶导数, 可得

(4)

(5)

1.3 载荷分布均匀性分析从式(5) 可以看出, 截面上单位长度的荷载F与该截面上螺纹牙牙根的相对变形u的关系直接决定了螺纹连接部分的载荷分布.
在Sopwith等^[4]的研究中, 基于线弹性的假设, 将F与u的关系近似看为线性, 即F=Ku, 其中K为弹性常数, 因此

(6)

将式(6) 代入式(5) 即可得

(7)

其中由此可以推得载荷分布的表达式:

(8)

其中A和B为积分常数, 根据结构的内力可知:在x=0处, 内力Q(0)=0, 而在x=L处, 内力Q(L)=P.由此可以确定

(9)

从而

(10)

但在实际情况中, 由于摩擦错动、螺纹牙局部塑性等因素的影响, 截面上单位长度的荷载F与螺纹牙的相对变形u的关系一般为非线性关系.假设

(11)

令

(12)

由此可得

(13)

将式(13) 代入式(5) 中，得

(14)

可见, 当F－u关系为线性时, g″(F)和g′(F)分别为0和1/K, 式(14) 与式(7) 等价.
为了分析F－u关系为非线性时, 螺纹连接段的载荷分布情况, 并与线性情况进行对比, 现分别取F－u关系为以下三种情况, 对应的形状如图 4所示.
图 4(Fig. 4)

图 4 F-u关系曲线Fig.4 Relationship between F and u

(15)

(16)

(17)

可见, 三条F－u关系曲线的初始刚度相同, 其中, 在式(16) 中F－u关系为线性情况, 而在式(15) 和式(17) 中, F－u关系为非线性情况, 且关于式(16) 曲线对称, 分别表示除线性情况外, 可能存在的两种变化趋势.
同时, 根据三种F－u关系表达式可以推得

(18)

(19)

(20)

将式(18)~式(20) 分别代入式(14), 即分别可得

(21)

(22)

(23)

其中
可见, 对于式(22), 结合边界条件:Q(x=0)=0, Q(x=L)=P, 可以直接推得载荷分布:
但对于式(21) 和式(23) 均无法推出F~x的显式表达式, 同时边界条件也无法直接确定, 因此根据以下步骤确定微分方程的边界, 进而数值求解:
1) 首先给定一个u₀值, 其表示x=0处螺纹牙的相对变形, 根据已有的F－u关系式及给定的u₀值便可确定初值条件：
进而可根据该初值条件对微分方程求数值解, 得到F(L)的值.
2) 另一方面, 结合式(4), 可以推得
可见根据给定的u₀, 通过上式可以求得u_L, 进而通过F－u关系式即可求得F(L).
3) 对比上两步分别得到的F(L), 如果相等, 则给定的u₀即真实值；如果不相等, 例如F₁(L)>F₂(L), 则取u′₀=F₁u₀/F₂, 重新代入第一步进行计算.
为了方便计算, 取A_b=A_n=2, E_b=E_n=1, 外荷载P=1, 啮合的有效长度L=0.135, 由此便可确定三种F－u关系下螺纹的承载分布情况, 如图 5所示.
图 5(Fig. 5)

图 5 三种关系下承载分布图Fig.5 Load distribution diagrams of different relationships

由图 5可以看出, 在上述三种情况下, 当F－u关系为式(23) 时, 载荷分布均匀性最好, 即F－u曲线呈现屈服形状时, 载荷分布更趋近于均匀.
2 施必牢螺纹承载分布以规格为M10×1.5的施必牢螺纹副为研究对象, 基于ABAQUS平台建立其2D轴对称有限元模型^[10-11]，如图 6所示.分别取螺栓、螺母上的A, B两点输出其位移响应, 可见, A, B两点的轴向位移差即表示该螺纹牙的轴向相对变形u, 而对螺纹牙上的轴向接触力即为单位长度下的载荷F, 两者之间的关系即对应理论部分描述的F－u关系.另外, 考虑材料塑性对结构的影响, 采用双线性模型模拟材料塑性, 其应力应变关系如表 1所示.
图 6(Fig. 6)

图 6 施必牢螺纹有限元模型Fig.6 Finite element model of Spiralock thread

表 1(Table 1)

表 1 螺栓、螺母材料特性Table 1 Material properties of bolts and nuts 类型 应力/MPa 应变 螺栓 640 0.003 23 800 0.06 螺母 1 040 0.004 95 1 300 0.06

表 1 螺栓、螺母材料特性 Table 1 Material properties of bolts and nuts

仅在第一扣螺纹牙处设置接触, 在螺栓轴向施加270 N的轴向拉力, 通过计算即可得到该模型的F－u关系曲线的形状如图 7所示.
图 7(Fig. 7)

图 7 施必牢螺纹副F-u关系曲线Fig.7 Relationship between F and u of Spiralock thread

由图 7可以看出, 施必牢F－u关系曲线与材料应力应变曲线形状相似, 当材料处于弹性阶段时, 螺纹牙轴向承载力与相对变形之间为线性关系, 随着轴向载荷的增大, 材料进入塑性阶段后, 螺纹牙F－u关系曲线呈现屈服形状.
2.1 弹性阶段分析依据《GB196—2003T普通螺纹_基本尺寸》中数据建立普通螺纹2D轴对称模型, 如图 8所示.
图 8(Fig. 8)

图 8 普通螺纹有限元模型Fig.8 Finite element model of general thread

假设两种螺纹副的啮合数n=9, 摩擦因数μ=0.15, 在螺栓上端施加轴向拉力F=500 N, 该作用力不足以使材料进入塑性阶段.同时根据图 7可得施必牢螺纹弹性阶段F－u关系表达式:F=135 964.235 u.
设任意x截面内螺纹牙载荷F与在螺纹啮合全长L上平均载荷F_m之比为H, 即螺纹上载荷分布系数.两种螺纹副载荷分布系数以及根据F－u关系式得到的理论结果对比如图 9所示.
图 9(Fig. 9)

图 9 不同螺纹的螺纹副承载分布Fig.9 Load distributions of different threads

由图 9可以看出, 载荷主要集中在前几扣螺纹牙上, 而施必牢螺纹的承载分布较为均匀.施必牢螺纹副与普通螺纹副的F－u关系曲线形状对比如图 10所示.
图 10(Fig. 10)

图 10 两种螺纹F－u关系曲线Fig.10 Relationship between F and u of threads

可见, 当材料处于弹性阶段时, 施必牢螺纹与普通螺纹的F－u关系均为线性, 但施必牢螺纹F－u关系曲线的初始刚度(斜率)比普通螺纹小的多, 即螺纹处更容易产生变形, 因此使得其承载分布更加均匀.
2.2 塑性阶段分析当外荷载较大时, 材料进入塑性状态, 螺纹牙的F－u关系不能简单地再看作直线, 根据图 7可拟合出塑性状态下F－u关系的表达式：
在其他参数不变的情况下, 将外荷载增加至2 000 N, 此时载荷分布系数与外荷载为500 N时的对比如图 11所示.
图 11(Fig. 11)

图 11 不同荷载的螺纹副承载分布Fig.11 Load distributions of thread with different loads

由图 11可以看出, 外荷载为2 000 N时, 螺纹上的承载分布更加均匀, 说明材料的塑性特征有利于螺纹承载分布, 从螺纹的F－u关系曲线上看, 可见其形状为屈服形态时载荷分布更加均匀, 与第1节的理论分析结论一致.
3 施必牢螺纹副载荷分布影响因素以M10×1.5规格的施必牢螺纹副为例, 基于第2节建立的施必牢螺纹副有限元模型, 考察螺纹副径向尺寸系数d/D、摩擦因数μ和螺纹材料弹性模量比E_b/E_n等因素对轴向力分布的影响规律.
设螺栓外径为d, 螺母外径为D, 径向尺寸系数d/D=0.45，0.5，0.55，0.6，0.65, 各螺纹牙承载比例如图 12所示.
图 12(Fig. 12)

图 12 径向尺寸系数对承载分布的影响Fig.12 Effect of radial dimension on load distribution

摩擦因数μ=0, 0.1, 0.2, 0.3时, 各螺纹牙承载比例如图 13所示.
图 13(Fig. 13)

图 13 摩擦因数对承载分布的影响Fig.13 Effect of friction coefficient on load distribution

设螺栓和螺母的弹性模量分别为E_b和E_n, 取E_b/E_n=1:10, 1:2，1:1, 2:1, 4:1, 10:1, 各螺纹牙承载比例如图 14所示.
图 14(Fig. 14)

图 14 材料弹性模量比对承载分布的影响Fig.14 Effect of material elastic modulus on load distribution

由图 12~图 14可以看出, 与螺纹径向尺寸系数和摩擦因数相比, 材料弹性模量比E_b/E_n对承载分布的影响最大, 且弹性模量比越大, 施必牢螺纹副的承载分布越均匀, 当E_b/E_n>4时, 承载力减小的幅度已趋于平缓.
4 结论1) 截面载荷F与螺纹牙相对变形u的关系曲线形状是影响承载分布的主要因素；分析表明，螺纹F－u关系曲线呈现屈服形状时, 载荷分布均匀性更好.
2) 施必牢螺纹承载分布均匀性好，一是因其独特的牙型设计使其F－u关系曲线的初始刚度较小, 更容易发生变形; 二是利用材料的塑性特征, 使得F－u关系曲线呈现屈服形状.
3) 对于施必牢螺纹, 材料弹性模量比是对螺纹承载分布影响最大的因素, 这从侧面说明了螺纹结构的F－u关系曲线的形状是影响螺纹承载分布的决定性因素.
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