高普, 吴云豪
北京理工大学 机械与车辆学院, 北京 100081
收稿日期：2016-03-14
基金项目：国家自然科学基金资助项目(51375047)。
作者简介：高普(1989-), 男, 河北保定人, 北京理工大学博士研究生。

摘要：从盘式制动器结构闭环耦合模型出发, 应用最优化方法和静态加载模态试验, 提取不同制动压力下的接触耦合刚度值, 将实际工况的制动压力与参数模型的接触耦合刚度建立联系.随后运用灵敏度分析法探究接触耦合刚度对系统不稳定倾向的影响规律.最后利用接触耦合刚度与制动压力对应关系, 将接触耦合刚度对制动系统不稳定倾向的影响转化为制动压力对高频制动尖叫的影响, 获得使系统趋于不稳定的制动压力敏感范围, 为高频制动尖叫的主动控制措施提供依据.
关键词：闭环耦合模型最优化方法静态加载模态试验接触耦合刚度制动压力高频制动尖叫
Effect of Brake Pressure on High Frequency Braking Squeal of Disc Brakes
GAO Pu, WU Yun-hao
School of Mechanical and Vehicular Engineering, Beijing Institute of Technology, Beijing 100081, China
Corresponding author: GAO Pu, E-mail: gaopu1989@126.com
Abstract: Based on the closed-loop coupling modal of disc brake structures, an optimal method and static loaded modal test were used to extract the actual contact coupling stiffness with different brake pressures applied, and the connection between the brake pressures in the actual conditions and the contact coupling stiffness in the parametric model was established. Subsequently, the sensitivity analysis method was used to explore the effect of the contact coupling stiffness on the unstable tendency of the brake system. Finally, according to the corresponding relationship of brake pressures and contact coupling stiffness, the effect of contact coupling stiffness on the unstable tendency was transformed into the impact of the brake pressure on the high frequency braking squeal. The sensitive range of the brake pressure making the system tend to be unstable could be obtained, which is helpful to put forward the active control measures to suppress the high frequency braking squeal.
Key Words: closed-loop coupling modeloptimal methodstatic loaded modal testcontact coupling stiffnessbrake pressurehigh frequency braking squeal
随着汽车技术快速发展, 制动器性能也有大幅提升, 然而其结构设计日渐复杂化、轻量化, 导致制动噪声问题更加严重.以摩擦闭环耦合理论为基础建立闭环耦合模型, 进行频域特征值分析是研究此问题非常有效的方式^[1-2].频发的制动噪声的频率为1 000 Hz到20 kHz, 属于中高频, 可称为制动尖叫.由于高频尖叫涉及到的零部件数目多, 且受制动器工况(制动压力)、环境(温度、湿度)等因素影响, 使高频尖叫的消除变得十分困难^[3-6].
在影响高频尖叫的众多因素中, 制动器的系统刚度的影响是不可忽视的.系统的刚度由零部件本身刚度和零件间接触耦合刚度综合构成.Jaber等^[7]指出零部件的刚度影响制动系统的不稳定性, 对于制动系统的每个零部件都存在一个最佳的刚度值使系统变得更加稳定.Chen等^[8]指出提高制动盘以及其他的制动零部件的刚度可以分离制动盘面内模态, 进而使得制动系统的高灵敏度和不稳定的噪声模态远离人耳能听到的声音范围.文献[6]研究表明每个制动系统的零部件都有一个特定的刚度变化范围, 使得制动系统更加稳定.该规律同样适用于零件间的接触耦合刚度.销盘试验证明, 随着接触耦合刚度值提高, 两个独立的模态会合成一个复杂模态, 而随着刚度值的进一步提升, 复杂的模态又分离成两个模态.由此可见, 接触耦合刚度对于系统模态的耦合作用不是单调的^[7].
接触耦合刚度是影响制动器系统不稳定倾向的关键因素, 也是建立系统模型时表征子结构相互连接的重要参数.但是该关键参数很难通过试验手段准确测量, 其取值多依靠经验, 有很大随机性.在以往的研究中, 对于接触耦合刚度取值也缺乏充足的理论依据, 蒋东鹰提出了结构等效原则^[9]；Chen等^[10]提出以接触部位刚度的1 000倍作为接触刚度，Abu-Bakar等^[11]也给出这一重要参数的取值方法.这些原则, 在具体建模时需进行大量的试算和调整, 费力、耗时.文献[12]利用模态试验和参数优化提取的接触耦合刚度值合理、有效, 与实际工况符合很好.
接触耦合刚度值不是实际物理量, 是建模参数, 其对系统的影响实际为外部干扰和激励对系统的影响, 如摩擦系数、制动压力、速度、磨损等.Bergman等^[13]和Eriksson等^[14]用试验模拟制动过程, 研究了接触刚度对制动尖叫产生的影响.Abu-Bakar等^[11]通过仿真和试验, 研究制动压力对制动器摩擦面接触状态的影响.可见, 制动压力与接触耦合刚度关系密切, 是影响系统动态特性重要因素.
本文以摩擦耦合为理论基础, 首先建立频域耦合模型, 通过最优化方法和制动器静态模态试验结果, 计算提取与实际状况一致的接触耦合刚度值, 建立制动压力与接触耦合刚度值的关系; 然后运用灵敏度法分析制动块与制动盘之间的接触耦合刚度对系统不稳定倾向的影响; 最后, 将接触耦合刚度对系统不稳定倾向的影响规律, 转化为制动压力对高频制动尖叫的影响, 为制动噪声主动控制提供理论依据.
1 闭环耦合模型简述由于制动器零部件多为金属构件, 阻尼极小, 可忽略, 因此制动系统振动方程^[10]为

(1)

其中:M, K分别是制动系统的质量矩阵、刚度矩阵, 可由子结构相应矩阵综合得到; u(t)为系统全部节点位移; K_f为耦合刚度矩阵, 表征子结构间连接状态.
通过模态转化将物理位移u(t)转化到模态空间, 计算得到相应模态坐标q:

(2)

其中, Φ为模态转换矩阵, 该矩阵已经通过质量归一化处理.
将式(2) 代入式(1) 得到

(3)

其中

(4)

式中, Λ为对角矩阵, 矩阵非零各元素为子结构各阶模态角频率的平方.
对式(3) 特征值求解, 计算获得该方程的复特征值S_i和右特征向量Ψ_i, i为闭环耦合模型方程的阶次.
在制动器闭环耦合模型中, 各子结构之间的相互作用表现为在对应的节点对之间接触面法线方向上特定刚度弹簧的连接作用.特别指出, 制动块与制动盘之间还存在摩擦耦合, 导致系统刚度矩阵变成非对称形式, 使计算得到复特征值实部不等于0.其中特征值实部大于0, 系统出现负阻尼效应, 使系统振动不收敛, 反而趋于发散, 有产生尖叫倾向.特征值实部越大表明产生制动尖叫可能性越大.在该模型中, 制动盘和制动块的摩擦接触用法向接触刚度和摩擦系数描述.可见, 接触刚度对计算结果影响巨大, 极小的误差亦会导致结果的极大偏差.
2 建立接触耦合刚度与制动压力关系本节通过加载不同压力到制动缸上, 模拟制动过程制动器各零件的接触状态, 用力锤敲击, 提取相应制动压力下的模态参数.以仿真计算结果与试验结果误差最小作为优化目标, 利用最优化算法, 进行各制动压力下接触耦合刚度的优化, 最终得到表征制动压力与耦合刚度关系的曲线.
2.1 制动器静态加载模态锤击试验该加载模态试验是制动器静止时进行的，各仪器布置如图 1所示.其中制动器可提供不同制动压力, 制动力矩通过加载杆吊装质量块模拟；PCB加速度传感器安装在制动盘边沿, 通过数据线与LMS数采系统相连, 此外数采系统还与力锤连接.力锤按制动盘轴向方向敲击, 以期获得有效明确数据.
图 1(Fig. 1)

图 1 制动器静态加载试验装置Fig.1 Static loaded modal test of the disc brake system

通过静态加载模态试验, 获得制动器静态加载条件下的模态参数.为提高识别度、获得较为规则振型, 本文采用制动盘轴向模态参数进行各接触刚度计算.
本文中在其他零部件采集的试验数据, 可用于辅助制动盘轴向数据, 辨识模态, 建立与仿真结果的联系.
由于本试验用到的PCB加速度传感器工作频率上限低于8 kHz, 因此筛选6.5 kHz以下形状规整的三阶模态数据进行分析、优化, 既可保证数据可靠性, 又能减小试验安装支架和加载支架振动的低频振动带来的影响, 相关模态参数如表 1所示.
表 1(Table 1)

表 1 筛选出不同制动压力静态模态参数Table 1 Static modal parameters at different brake pressures 编号 频率/Hz 振型描述 0.60 MPa 1.00 MPa 1.40 MPa 1.80 MPa 2.20 MPa 1 2 569 2 610 2 636 2 670 2 595 三瓣 2 4 063 4 142 4 142 4 183 4 223 四瓣 3 5 994 6 069 6 071 6 161 6 198 五瓣

表 1 筛选出不同制动压力静态模态参数 Table 1 Static modal parameters at different brake pressures

2.2 非线性优化2.2.1 制动器模型的调整由于模态试验处于静态加载状态, 不同于动态闭环模型, 描述制动盘与制动块的耦合状态的刚度矩阵必须调整, 静态加载时摩擦耦合界面产生静摩擦力, 制动块与制动盘的切向耦合状态可用表征静摩擦约束的对称等效刚度矩阵来描述.
2.2.2 优化变量初值基于蒋东鹰^[10]静力等效计算结果、Abu-Bakar等^[12]和Chen等^[11]取值及文献[13]计算结果, 可确定接触刚度初始值为4.9×10⁷ N/m, 取值范围为1×10⁶~1×10⁸ N/m.
2.2.3 优化目标以模拟仿真与试验提取的模态参数误差最小作为优化目标, 提取符合实际的耦合刚度最佳值, 目标函数为

(5)

其中:f_jl, f_je分别为模拟仿真和试验获得的相应N阶模态频率; W_jf为第j阶加权因子, W_jf=(f_le/f_je)², j=1, …, N.
利用序列二次规划方法, 针对接触刚度初始值、允许变化范围及误差最小的目标, 对接触耦合刚度进行优化.本文基于近似牛顿法寻优, 为得到优化方向, 人工构造拉格朗日函数海塞矩阵的逆的近似值, 为提高计算效率, 防止数值奇异不收敛, 应用一维搜索提取每一次优化的步长.
2.2.4 制动压力与接触耦合刚度值对应关系优化目标函数随迭代增加趋于某一极小值, 表明接触刚度达到最接近实际的最佳值, 最终获得制动压力与接触耦合刚度值的对应关系, 如图 2所示.
图 2(Fig. 2)

图 2 接触耦合刚度值随制动压力变化曲线Fig.2 Contact coupling stiffness vs. brake pressure

由图 2可知, 制动块与制动盘耦合刚度在压力由0.6 MPa增大到1.8 MPa过程中, 数值亦不断升高, 从8.93×10⁶ N/m升高到4.46×10⁷ N/m, 随后趋于平稳, 刚度值不再随制动压力增加.
Abu-Bakar等^[12]的研究结果指出制动块与制动盘的接触面积随制动压力增大而增大, 以表征整个接触面的刚度增大的事实.但是本研究所应用的闭环耦合模型, 制动块与制动盘接触面的节点数量已经在建模时确定, 接触面积不会变化, 所以连接节点对的耦合弹簧刚度值必须随压力增大而增大才能符合实际情况, 图 2曲线的变化趋势明确描述了这一事实, 验证本文的可靠性.
2.3 复特征分析结果与试验结果对比首先对制动器在0到3.0 MPa的制动压力作用下进行制动噪声的台架试验, 记录每次发生噪声的频率和声压级.然后将第2.2节提取的不同制动压力的接触耦合刚度值重新代入闭环耦合模型, 进行复特征值分析, 计算提取仿真结果, 其与台架试验结果对比分析见图 3.图 3a为台架试验数据, 横坐标代表噪声频率，纵坐标代表噪声尖叫发生次数; 每个柱状代表某一频率带出现的噪声次数, 越高表示该频带噪声倾向越大.图 3b为仿真模拟结果, 横坐标为噪声频率，纵坐标为噪声倾向; 每一阶噪声模态可由一个标识代表, 标识的不同形状用来描述相应的制动压力.
图 3(Fig. 3)

图 3 台架试验及模态计算结果Fig.3 Bench test and modal calculation results (a)—台架试验结果；(b)—不同制动压力下模态计算结果.

通过试验结果与仿真计算结果对比可知, 在制动器工作压力下, 闭环耦合模型计算获得的不稳定模态, 无论是频率分布, 还是不稳定倾向均接近台架试验结果, 一致性良好, 从而验证了模型可靠性, 亦表明本文所建立的制动压力与接触耦合刚度的关系的准确性.
3 噪声模态特征值实部关于接触耦合刚度的灵敏度分析就多体结构动力学系统而言, 动力学性能的灵敏度可定义为描述系统性能的特征参数对于系统设计结构参数改变率.结构特征灵敏度分析可以求得结构各部分质量、刚度及阻尼的变化对特征值和特征向量的改变的敏感程度^[15].
灵敏度分析可分为两类:一是绝对灵敏度, 即应变量变化与自变量变化的比; 二是相对灵敏度, 即相应量的相对变化比值^[16].可以用函数的倒数表示为

(6)

(7)

其中:S(F)_abs, S(F)_rel分别为绝对灵敏度、相对灵敏度; F(x), x分别为应变量、自变量.
绝对灵敏度多用于自变量变化在同一数量级时; 而当自变量变化存在差别很大的数量级时, 通常采用相对灵敏度^[17].本文中所研究的接触耦合刚度的变化在同一数量级, 采用绝对灵敏度进行后续分析.可用噪声模态特征值实部关于接触耦合刚度的绝对灵敏度来表征接触耦合刚度绝对尖叫发生倾向的影响.然后推导其绝对灵敏度计算公式，利用式(3) 计算系统特征值, 其左、右特征矩阵分别为Y, Ψ, 相应特征向量分别为y, ψ.令所有右特征向量ψ的2-范数为1, 左、右特征向量矩阵y, ψ满足双正交性, 得到

(8)

右特征向量ψ满足:

(9)

其中,

(10)

s_i为系统第i阶模态特征值.
将第i阶特征值及特征向量代入式(9), 接触耦合刚度k作为自变量, 并对其求导得

(11)

展开式(11), 得

(12)

将式(12) 左乘左式全为0, 右式对角为整理后得到制动器系统关于耦合刚度值k的导数为

(13)

其中:y_i, ψ_i分别为制动器系统的第i阶左、右特征向量; K_sys=Λ－Φ^TK_fΦ, 该矩阵关于耦合刚度值k的导数为

(14)

其中, Λ, Φ和K_f分别为各子结构模态特征值组成的对角阵、各部件子结构振型矩阵组成的矩阵、非对称的耦合刚度阵.耦合刚度阵反映子结构之间的弹性力和摩擦力作用关系, 制动块与制动盘之间的耦合刚度矩阵对应于总体耦合刚度阵K_f中的一个子块, 该子块的导数为下面简单的形式:

(15)

将各子块的导数矩阵组集, 即成为总体耦合刚度阵的导数矩阵, 代入式(14) 即可得到?K_sys/? k, 进而由式(13) 求得?λ_{i, sys}/?k.
由式(6), 式(13)~式(15) 可得制动系统噪声模态(设为第i阶模态)特征值实部关于制动块与制动盘之间的接触耦合刚度k的绝对灵敏度:

(16)

其中, Re(·)表示括号中变量的实部.当盘式制动器实例计算接触耦合刚度为0.50×10⁷, 0.89×10⁷, 1.61×10⁷, 1.75×10⁷, 1.90×10⁷, 2.20×10⁷, 2.50×10⁷, 3.10×10⁷, 3.70×10⁷, 4.46×10⁷ N·m^-1时, 制动器13 kHz噪声模态特征值实部关于接触耦合刚度k的绝对灵敏度, 其变化规律曲线如图 4所示.实心圆标识表征灵敏度数据点, 图中还画出了噪声模态特征值实部随接触耦合刚度变化的曲线, 空心圆标识表征特征值实部数据点.
图 4(Fig. 4)

图 4 噪声模态特征值实部及其灵敏对接触耦合刚度影响Fig.4 Positive real part of the noise modal eigenvalue and sensitivities of the positive part vs. contact coupling stiffness

由图 4可知, 13 kHz噪声模态特征值实部随接触耦合刚度值增大先上升后下降，最后趋于平稳, 本文计算灵敏度曲线能够准确描述特征值实部改变率.结果表明制动块与制动盘之间接触耦合刚度对13kHz噪声倾向的影响并不单调, 与文献[7]得到的结论一致.
4 制动压力对制动器高频尖叫的影响制动噪声台架试验规范参照SAE J2521 V2005标准, 试验的制动器工作压力范围为0~3.0 MPa, 由于设备局限性, 静态加压加载模态试验只提取在0.6, 1.0, 1.4, 1.8, 2.2 MPa制动压力下得到的模态参数用于相应接触耦合刚度的优化.优化结果如表 2所示.
表 2(Table 2)

表 2 不同制动压力下的接触耦合刚度Table 2 Contact coupling stiffness at different brake pressures 序号 制动压力/MPa 耦合刚度/(N·m-1) 1 0.6 0.893×107 2 1.0 1.606×107 3 1.4 1.896×107 4 1.8 4.455×107 5 2.2 4.455×107

表 2 不同制动压力下的接触耦合刚度 Table 2 Contact coupling stiffness at different brake pressures

将噪声模态特征值实部及其灵敏度关于接触耦合刚度的变化转化成制动压力对制动高频尖叫倾向的影响, 如图 5所示.
图 5(Fig. 5)

图 5 高频制动尖叫倾向及其关于制动压力灵敏度的变化Fig.5 High frequency braking squeal tendency and sensitivities of high frequency braking squeal tendency vs. brake pressure

由图 5灵敏度曲线可知, 13 kHz高频尖叫倾向在制动压力为1.0 MPa附近改变率最大, 变化最快, 在1.8 MPa之后, 灵敏度值接近于0.由图 5中高频尖叫倾向曲线可知, 此频带的尖叫倾向随着制动压力增大而升高, 在1.4 MPa附近达到最大, 而后逐渐下降, 1.8 MPa之后趋于稳定.
通过上述分析得到, 制动压力在1.0~1.8 MPa范围内, 系统极不稳定, 13 kHz高频尖叫倾向大, 且变化剧烈.由此提出抑制13 kHz高频制动尖叫的主动控制措施, 可通过调节制动管路的制动压力避开1.0~1.8 MPa工作范围, 达到抑制13 kHz高频制动尖叫的效果.其他频带的高频制动尖叫亦可运用上述方法, 寻找制动压力的敏感范围, 利用制动压力的主动控制达到抑噪的目的.
5 结论本文结合闭环耦合模型, 利用制动器加压加载静态模态试验和参数优化方法, 将接触耦合刚度对系统不稳定倾向的影响转化为制动压力对制动器高频尖叫的影响.最终分析得到, 在13 kHz频率带, 系统不稳定的敏感制动压力范围为1.0~1.8 MPa, 可通过调节制动压力避开此范围, 达到主动控制13 kHz高频尖叫的目标.利用模型参数向实际工况参数转化的思想, 可以进一步探究其他外部干扰或激励对系统不稳定倾向的影响, 提出具有实际工程价值的抑噪措施.
参考文献

[1]	管迪华, 杜永昌, 王霄锋, 等. 对一盘式制动器高频尖叫及抑制的分析[J].工程力学, 2014, 31(12): 217–222. ( Guan Di-hua, Du Yong-chang, Wang Xiao-feng, et al. Analysis of a disc brake high frequency squeal and reduction[J].Engineering Mechanics, 2014, 31(12): 217–222.)
[2]	李清, 管迪华, 杜永昌. 盘式制动器摩擦片形状设计对高频尖叫的影响分析[J].汽车安全与节能学报, 2014, 5(4): 360–366. ( Li Qing, Guan Di-hua, Du Yong-chang. Effect of pad shapes on disc brake squeal at high frequency[J].Journal of Automotive Safety and Energy, 2014, 5(4): 360–366.)
[3]	管迪华, 宿新东. 制动振动噪声研究的回顾, 发展与评述[J].工程力学, 2004, 21(4): 150–155. ( Guan Di-hua, Su Xin-dong. An overview on brake vibration and noise[J].Engineering Mechanics, 2004, 21(4): 150–155.)
[4]	戢何民. 某型轿车盘式制动器制动噪声的控制[J].汽车技术, 2011(11): 20–22. ( Ji He-min. Control of braking noise of a car disc brake[J].Automobile Technology, 2011(11): 20–22.DOI:10.3969/j.issn.1000-3703.2011.11.005)
[5]	Trichês J M, Gerges S N Y, Jordan R. Analysis of brake squeal noise using the finite element method:a parametric study[J].Applied Acoustics, 2008, 69(2): 147–162.DOI:10.1016/j.apacoust.2007.10.003
[6]	Chen F, Quaglia R L, Tan C A.On automotive disc brake squeal part Ⅰ:mechanisms and causes[R].Warrendale:Society of Automotive Engineers, 2003:1-22.
[7]	Jaber N A, Wang A, Yue Y, et al.Brake noise study (part Ⅱ)—high frequency squeal[R].Warrendale:Society of Automotive Engineers, 2006:1-9.
[8]	Chen F, Tong H, Chen S E, et al.On automotive disc brake squeal part Ⅳ:reduction and prevention[R].Warrendale:Society of Automotive Engineers, 2003:1-13.
[9]	蒋东鹰. 盘式制动器制动尖叫的研究[D]. 北京: 清华大学, 1998. ( Jiang Dong-ying.A study of disc brake squeal [D].Beijing:Tsinghua University, 1998.)
[10]	Chen F, Tan C A, Quaglia R L.Disc brake squeal-mechanism, analysis, evaluation, and reduction/prevention[R].Warrendale:Society of Automotive Engineers, 2005:1-6.
[11]	Abu-Bakar A R, Ouyang H.Recent studies of car disc brake squeal[M]//New Research on Acoustics.New York:Nova Science Publishers, Inc, 2008:159-196.
[12]	高普. 盘式制动器噪声闭环耦合模型建模方法研究[D]. 秦皇岛: 燕山大学, 2015. ( Gao Pu.Study on closed-loop coupling model of disc brake noise[D].Qinhuangdao:Yanshan University, 2015.http://cdmd.cnki.com.cn/Article/CDMD-10216-1015900801.htm)
[13]	Bergman F, Eriksson M, Jacobson S. Influence of disc topography on generation of brake squeal[J].Wear, 1999, 225(4): 621–628.
[14]	Eriksson M, Lord J, Jacobson S. Wear and contact conditions of brake pads:dynamical in situ studies of pad on glass[J].Wear, 2001, 249(3): 272–278.
[15]	傅志方. 模态分析理论与应用[M]. 上海: 上海交通大学出版社, 2000. ( Fu Zhi-fang. Modal analysis theory and application[M]. Shanghai: Shanghai Jiao Tong University Press, 2000.)
[16]	顾松年. 结构动力修改的发展与现状[J].机械强度, 1991(1): 1–9. ( Gu Song-nian. The development and present situation of structural dynamic modification[J].Journal of Mechanical Strength, 1991(1): 1–9.)
[17]	宿新东. 抑制制动器振动噪声的子结构灵敏度分析和结构修改设计方法研究[D]. 北京: 清华大学, 2003: 1-15. ( Su Xin-dong.Study on brake vibration and noise reduction methods using substructure sensitivity analysis and structural modification techniques [D].Beijing:Tsinghua University, 2003:1-15.)