刘宇¹, 王迁¹, 刘阔², 张义民¹
1. 东北大学 机械工程与自动化学院, 辽宁 沈阳 110819;
2. 大连理工大学 精密与特种加工教育部重点实验室, 辽宁 大连 116024
收稿日期：2016-04-25
基金项目：国家自然科学基金资助项目（51105067，51135003）；中央高校基本科研业务费专项资金资助项目（N120403011）。
作者简介：刘宇(1980-), 男, 宁夏中卫人, 东北大学副教授;
张义民(1958-), 男, 吉林长春人, 东北大学教授, 博士生导师, 教育部“****奖励计划”特聘教授。

摘要：针对微铣削过程中刀刃破损的现象，提出了基于振动信号奇异性分析的自学习式支持向量机的刀具破损检测方法.对两种状态信号作连续小波变换，计算小波模极大值和信号的李普希兹指数（Lips）.通过Lips识别刀具状态，拟合Lips分布概率密度函数并验证其符合正态分布，将Lips分布的均值、方差作为特征值，通过遗传算法参数寻优建立了刀具破损状态的支持向量机（SVM）识别模型，也称最优模型.利用最优模型预测刀具破损状态，其预测准确度从84%逐步提高至90%，提升了系统预测模型的鲁棒性.最后通过实验验证了该方法的有效性.
关键词：刀具破损微铣削小波奇异性支持向量机自学习
Micro Milling Cutter Breakage Detection Based on Wavelet Singularity and Support Vector Machine
LIU Yu¹, WANG Qian¹, LIU Kuo², ZHANG Yi-min¹
1. School of Mechanical Engineering & Automation, Northeastern University, Shenyang 110819, China;
2. Key Laboratory for Precision and Non-traditional Machining Technology, Ministry of Education, Dalian University of Technology, Dalian 116024, China
Corresponding author: LIU Yu, E-mail:yuliu@mail.neu.edu.cn
Abstract: A tool breakage detection method was proposed based on the singularity analysis of vibration signal and self-learning support vector machine. The measured vibration signals were decomposed by the continuous wavelet transform, the wavelet modulus maxima (WTMM) and the Lipschitz index (Lips) were calculated. The state of tool breakage was recognized by Lips, and the Lips probability density function was fitted, which obeys the normal distribution. The support vector machine identification model of tool state was established by the parameter optimization of genetic algorithm based on mean value and variance of Lips (also called the optimal model). The tool breakage state was predicted by using this model, of which prediction accuracy increased gradually from 84% to 90%, and the robust of system prediction model was improved. Finally, the effectiveness of this method was verified by the experiments.
Key Words: tool breakagemicro millingwavelet singularitysupport vector machineself-learning
刀具状态监测在20世纪被首先提出, 发展至今, 针对于传统加工形式已有大量研究^[1].在传感器选择方面, 力传感器^[2]、声发射传感器^[3]和振动传感器^[4]及多传感器融合^[5]等不同传感器都有研究.由于铣削过程的不连续性及检测信号的不稳定性, 很多TCM研究都利用小波分析处理非稳定信号的优势处理检测信号^[6], 这些研究都是利用小波系数计算特征值反映刀具状态.本文针对微铣削过程中的刀刃破损现象, 提出了基于振动信号奇异性分析的自学习式SVM的刀具破损检测方法.分析正常刀具状态和刀刃断裂状态下的振动信号奇异性, 计算反映奇异性程度的李普希兹指数并拟合其分布概率密度函数, 将均值、方差作为特征值, 最后通过自学习式SVM逐渐优化训练模型达到提高状态预测准确率的目的.
1 支持向量机理论支持向量机在解决小样本、非线性数据模式分类^[7]具有很强的优势, 分成线性可分和线性不可分两种情况^[8].
1.1 线性可分对于给定数据(x_i, y_i)(i=1, 2, …, M), 假设要分类的数据线性可分正样本和负样本.那么线性分类器就是要在M维数据空间中寻找超平面f(x=0), 建立超平面及分隔超平面函数:

(1)

(2)

(3)

式中:ω是M维向量; b是标量.式(2) 和式(3) 表示两类数据点的分割超平面函数, 即两类数据的类标记.
支持向量机实质上是寻找ω和b，使分割超平面和超平面间距离最大, 保证距离最大的这些点被称为支持向量.用y_i(ω^Tx_i+b)正负性判定分类的正确性, 得到最大间隔分类器的目标函数:

(4)

目标函数等价于:

(5)

为解决这个二次最优化问题引入Lagrange函数:

(6)

将原问题转化成对偶学习问题, 首先让L关于ω和b取最小值, 分别对式(6) 中的ω和b求偏导数, 令偏导数等零, 再代回式(6) 得式(7), 然后求α极大值得到式(8) 所示的求解问题.

(7)

(8)

利用序列最优化SMO算法求解对偶因子，得到最优解α^*=(α₁^*, α₂^*, …, α_M^*)^T, 同时最优权值向量ω^*和最优偏置b^*的计算式分别为

(9)

(10)

最优分类函数为

(11)

1.2 线性不可分在分类数据线性不可分情况下, 支持向量机通过引入非线性映射Φ(x)=(φ₁(x), …, φ_M(x))将输入变量映射到高维特征空间构造最优分类超平面:

(12)

式中:Φ^T(x_i)·Φ(x_j)为向量Φ(x_i)和向量Φ(x_j)的内积.使用核函数K(x_i, x_j)=Φ^T(x)_i·Φ(x_j)代替内积将数据映射到高维空间, 这样得到最优超平面公式:

(13)

2 检测算法特征2.1 信号奇异点与奇异性信号奇异点指信号中的突变点, 奇异性则是关于奇异点突变程度的定性和定量描述.在机械测试信号中, 奇异点通常为一些峰值点和突变尖点, 因此, 刀具的状态与信号的奇异点相关.
由图 1可知, 刀刃断裂信号出现明显的峰值点, 而正常刀具信号则相对平滑.在数学上采用李普希兹(Lipschitz)指数来表现信号某点的奇异性, 简称Lips, 其定义为:假设信号f(x)可以在x₀点局部近似于n次多项式p_n(x), 即

(14)

式中:p_n(x)是n次多项式; C是正常数.式(14) 表明函数f(x)拟合多项式p_n(x-x₀)时, 误差是C|x-x₀|^α, 由于C是固定值, 因此误差大小取决于α大小.
图 1(Fig. 1)

图 1 刀具信号的奇异性Fig.1 Singularity of tool signal (a)—正常刀具信号；(b)—刀刃断裂信号.

函数f(x)在x₀点的局部变化可以用α表征:

(15)

式中：α表示函数的不连续性，α值越大, 函数越光滑，α值越小, 函数在x₀点变化越尖锐.函数在一点连续、可微, 则该点李普希兹指数α≥1.如果函数在x₀点的李普希兹指数α < 1, 则称函数在x₀点是奇异的.
Lips可以通过计算信号的小波变换模极大值(WTMM)得到.为了计算信号奇异度, 在信号处理时需要忽略信号的多项式部分.一个具有n阶消失矩的小波函数在变换时可消去信号的n阶多项式部分:

(16)

将式(15) 用具有n阶消失矩小波作小波变换，使多项式函数的小波变换为零, 式(17) 建立了信号f(x)的小波变换与代表了信号奇异性的信号f(x)与多项式函数间近似误差α的关系.

(17)

式中，|Wf(u, s)|为小波模极大值.
2.2 信号奇异性指数计算首先, 将信号作连续小波变换得到的小波系数取绝对值, 得到小波变换模值:

(18)

式中:Ψ_{u, s}(t)是母函数Ψ(t)经过平移和变换得到的小波函数族; s是尺度参数, s=2^j(j=0, 1, 2, …, J); u是位置参数.
李普希兹指数与小波变换模极大值有关.对小波向平面某点(u₀, s₀), 当u∈(u₀+W, s₀)和u∈(u₀-W, s₀)时, 都有|Wf(u, s₀)| < |Wf(u₀, s₀)|, 称(u₀, s₀)为局部极大值点.如果在小波变换时间尺度平面上存在这样的曲线, 曲线上所有点都是局部模极大值点, 这条曲线叫模极大值线.
最后, 对模极大值线上的各点, 计算相应的尺度s和模值|W|的对数, 然后以lgs为横坐标, lg|Wf(u, s)|为纵坐标, 所得曲线上直线段的斜率m就是该点的Lips:

(19)

(20)

2.3 李普希兹指数统计特征如前所述, 信号奇异性程度可以反映信号的状态.当刀具处于稳定状态时, 表现低奇异性程度; 当刀具处于不稳定状态即刀刃断裂状态时, 表现高奇异性程度.
图 2为两种刀具状态下信号各点的Lips, 从图中可看出：正常刀具信号各点Lips变化较均匀，而刀刃断裂刀具信号各点的Lips有很多点出现非常大的值并伴随着瞬变.
图 2(Fig. 2)

图 2 正常刀具和刀刃断裂刀具的LipsFig.2 Lips of normal cutter and broken tool (a)—正常刀具；(b)—刀刃断裂.

图 3是利用Lips分布数据拟合后的概率密度函数(probability density function, pdf)并在Matlab中验证符合正态分布.
图 3(Fig. 3)

图 3 刀具的Lips分布图Fig.3 Lips distribution of tool in different state

由图 3可知, 两种状态下的Lips值有很大重叠, 除了个别Lips值很大的点之外, 很难看出两种状态有何差别.但就正态分布来说二者均值和方差却有明显区别.显然, 刀刃断裂状态时均值明显比刀具正常时的均值小.切削转速为200 r/min, 切削速度为0.5 mm/s, 切深为30 μm时, 刀具在正常和刀刃断裂两种状态下X向、Y向、Z向加速度信号Lips的统计均值和方差如图 4所示.图中刀具正常状态(tool normal condition)为TN, 刀刃断裂状态(tool breakage condition)为TB.由4a可知, TB状态比TN状态信号波动性更大, TN信号比TB信号更稳定.这种现象也符合Lips最初的概念：当信号变化缓慢并且没有出现突变尖点或明显峰值点时, 信号表现低奇异性程度, 而当信号出现突变时表现高奇异性程度.
图 4(Fig. 4)

图 4 Lips统计均值、方差与刀具状态关系Fig.4 Relations between mean, variance of Lips and tool state

3 实验组成和预测模型3.1 实验切削实验在实验室自行设计的MMT-50X微铣床上进行, 利用PCB 356A24三向加速度传感器采集振动信号并使用NI 9234数据采集卡将信号采集到PC机, 设置采样率为17 kHz, 每次实验采集8192个数据点作后期分析.切削形式为槽铣, 实验材料为Al6061, 切削刀为带TiAlN涂层的钨钢刀具, 通过配备500万像素的SK2700U光学显微镜获取刀具实际状态.为了验证方法的准确性, 进行了300组切削实验, 其中包括150组正常刀具切削实验, 150组刀刃断裂刀具切削实验.切削参数为主轴转速、进给速度和切削深度.主轴转速分别设置为200, 220, 240, 260, 280, 300 r/min; 进给速度分别设置为0.5, 1, 1.5, 2, 3 mm/s; 切削深度分别设置为10, 20, 30, 40, 50, 60, 70 μm.
3.2 特征计算特征值具体计算过程如下:
1) 确定小波分解层数j=5, 则小波尺度s=2^j=32, 选择db2小波对初始信号的前8 000个数据点作连续小波变换，得到小波尺度图WT;
2) 计算小波系数模值，得到小波系数模值图|WT|;
3) 对|WT|上每一数据点(x₀, s₀)的模值与相邻尺度模值比较, 若比相邻尺度模值都大则该点记为模极大值点;
4) 连接相同时间点模极大值点, 画出模极大值线;
5) 对模极大值线上各点t, 计算其相应尺度s和模值的对数, 并以尺度为横坐标, 模值为纵坐标, 所得曲线上直线段的斜率就是该点的Lips;
6) 做出Lips频数分布图并拟合其概率密度函数, 可得到均值、方差两个特征值.
3.3 系统模型建立系统支持向量机模型是基于Matlab平台和台湾大学林智仁教授等开发的用于SVM模式识别与回归的软件包LIBSVM建立.通过采集工件上的三向加速度信号并计算每个方向信号的Lips分布图的均值和方差，得到6个特征值, 分别为μ_x, σ_x, μ_y, σ_y, μ_z, σ_z.另外将三个切削参数:主轴转速、进给速度、切深加在一起共9个特征值作为系统输入.系统输出由刀具状态构成, 0代表刀具断裂状态, 1代表刀具正常状态.
为了确定SVM模型核函数类型及其参数, 将实验数据拆成200组作为训练数据, 100组作为测试数据, 通过控制变量法不断改变各个核函数的参数直到该核函数测试准确度达到最高, 由此确定SVM预测模型, 核函数类型为线性核函数, 损失函数cost=2.
4 结果讨论在确定SVM训练模型时已经确定核函数类型为Linear, 同时损失函数cost=2, 此时预测准确度为89%.为了提高SVM训练模型的泛化能力和识别精度, 将上述训练数据中的150组作为训练数据, 50组作为优化数据和100组作为测试数据.首先利用训练数据得到SVM模型, 然后利用优化数据作为测试数据, 将测试结果与实际结果对比, 将判别错误数据点放到训练数据中重新训练模型, 直到测试准确度达到100%，得到最优预测模型, 最后利用测试数据验证模型的准确度.图 5为三次优化数据的预测准确度与每次测试数据的预测准确度.
图 5(Fig. 5)

图 5 优化准确度与SVM预测准确度Fig.5 Optimization accuracy and SVM prediction accuracy

5 结论1) 不同刀具状态下振动信号的奇异性差异可以反映刀具的状态.
2) 奇异性指数的概率密度函数的均值、方差可以作为特征值预测刀具状态.
3) 通过优化数据不断优化系统初始预测模型直到得到最优预测模型, 使系统刀具状态预测准确度逐渐提高, 提升了系统预测模型的鲁棒性.
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