胡晟, 吕江涛, 司光远
东北大学秦皇岛分校, 河北 秦皇岛 066004
收稿日期：2016-06-26
基金项目：国家自然科学基金资助项目(61405031)；河北省自然科学基金资助项目(F2017501059)。
作者简介：胡晟(1984-)，男，云南景洪人，东北大学秦皇岛分校讲师，博士。

摘要：细胞承受介电泳力的运动模拟在微控研究占据着举足轻重的地位.传统细胞介电泳力的求解理想化地将细胞看作球体进行计算.近似求解忽略了细胞的高阶介电泳力作用, 导致分子动力学仿真结果与实验观测存在较大误差.基于有效极矩方法研究了椭球和红细胞的高阶介电泳力.研究发现Pohl介电泳力表达式在球体计算中依旧有效.从1阶至9阶的高阶极子曲线来看, 椭球和红细胞奇数项系数非零, 且与它们的形状密切相关.中间凹陷两端凸起的红细胞介电泳力大小近似于偏心率1:5型椭球.研究结果与Ogbi等学者的仿真完全相符.
关键词：介电泳等效极矩法椭球红细胞COMSOL软件
Research on High-Order Dielectrophoresis for Non-Spherical Cell Using Effective Moment Method
HU Sheng, LYU Jiang-tao, SI Guang-yuan
Northeastern University at Qinhuangdao, Qinhuangdao 066004, China
Corresponding author: HU Sheng, E-mail: husheng@neuq.edu.cn
Abstract: Simulation of cells exerted by the dielectrophoresis plays an important role in the micro-manipulation fields. Traditional solution to dielectrophoretic force experienced cell is ideally considered as a regular sphere calculation. The effect of high-order dielectrophoretic forces are often neglected, which will cause greater error between molecular dynamics and experimental observation. Therefore, the effective moment method was used to solve high-order dielectrophoresis for both ellipsoid and erythrocyte in this paper. It is effective for classical Pohl expression to predict spherical cell exerted by dielectrophoresis. However, odd numerical moments are closely related to their shape such as ellipsoids and erythrocyte are non-zero from 1 to 9 order dipole moments. The dielectrophretic force of erythrocyte similar to oblate spheroid with indented side approximates the ellipsoid with eccentricity ratio 1:5. The results were in good agreement with Ogbi's reports.
Key Words: dielectrophoresiseffective moment methodellipsoiderythrocyteCOMSOL software
介电泳如今已经成为微/纳米粒子控制的热门技术, 其广泛应用在细胞分析^[1]、癌症检测^[2]和药品研发^[3]等诸多医药领域.介电泳力是一种电极化净力, 当电中性粒子处在非均匀电场中, 由于粒子两端的电极化力无法相互抵消而发生定向运动, 此力的方向与电场强度的梯度方向一致.因此, 非均匀电场是产生介电泳力实现粒子控制的前提条件.此外, 介电泳力的大小还直接与受控粒子的形状相关.介电泳力计算通常采用经典Pohl表达式^[4-5], 该公式方法简单, 但是仅考虑二阶极子, 忽略了高阶极子的影响.针对分子动力学模拟非球形细胞承受介电泳力运动, 仿真结果难免与实验观测不符.导致误差的主要原因是高阶极子形成的高阶介电泳力会改变细胞运动方向.深入分析非球形细胞的高阶介电泳力能为实验上细胞的精确控制提供扎实的理论基础.
1 理论模型有效极矩法^[6]将细胞在非均匀电场受到的介电泳力看作偶极子、四极子、八极子等高阶极子电场力的叠加.因此介电泳力F_DEP如式(1)所示:

(1)

式中:E₀为电场强度；p₁和p₂分别是偶极子和四极子.经典Pohl介电泳力忽略了四极子、八极子、十六极子等高阶项的影响.然而, 当细胞为非规则球体, 或其尺寸与金属电极比较接近, 细胞高阶极子的电极化强度将不可忽视.因此, Jones根据电介质粒子的法向电场具有连续性, 且切向电场强度为零, 依靠泰勒级数推导出了任意形状细胞的高阶介电泳力表达式.在此, N阶极子主要由N-1阶极子组合而成, 如图 1所示.
图 1(Fig. 1)

图 1 单极子组成的高阶偶极子示意图Fig.1 Generation of general dipole, quardrupole, and octupole starting from monopolar charges (a)—点电荷；(b)—偶极子；(c)—四极子；(d)—八极子.

两个电荷相反的点电荷保持一定空间距离构成了偶极子, 然后两个偶极子又组合成四阶偶极子, 依次递增可形成高阶极子.根据式(1)可知, 精确介电泳力的计算与高阶极子的求解密不可分.偶极子或高阶偶极子的求解可通过半径R_t的球面作闭合曲面积分, 并乘以各阶数的权重系数得到.如图 2所示, 以球坐标系(R, φ, θ)为例, 各阶数偶极子的极化强度可根据式(2)得到.
图 2(Fig. 2)

图 2 球坐标系下细胞曲线积分Fig.2 Cellular line integral based on spherical coordinate system

(2)

式中:ε_m为水溶液的介电常数; n为极矩阶数; L_n是以cosθ为自变量的Legendre多项式(L₁=cosθ; L₂= [3cos²θ-1];L₃= [5cos³θ-3cosθ]; …).
有关p_n的积分运算先要求解φ_Rt, 它代表R_t半径球表面的电势大小, 此电势是细胞受电场极化所产生的感应电势.因此它包含了各阶数电极化矢量的叠加, 如式(3)所示.

(3)

在此基础上, 本文研究的细胞形状包括三种:规则球体、椭球和红细胞, 红细胞形状呈双面微凹之圆盘状, 三维形状如图 3所示.
图 3(Fig. 3)

图 3 细胞的三维形状示意图Fig.3 Schematic of 3D shape of cells

求解极化电势φ_Rt, 本文采用有限元COMSOL软件对电场进行分析, 电场满足Laplace偏微分方程^[7].为了简化计算量, 并且涉及的细胞形状具有中心对称性, 所以将细胞三维模型降至二维模型进行研究.首先假设细胞不在电场求解域中, ε_m溶液下可得到空间均匀电势φ_free.然后介电常数为ε_p的细胞放入溶液中, 又可得到存在细胞条件下的电势分布φ_exist.在此, 细胞周围的极化电势可通过式(4)得到.

(4)

细胞的电极化矢量p_n可分解为三个方向(x, y, z), 本文主要研究细胞z方向的电极化强度, x和y方向可依此类推.
因为细胞与周围溶液的电属性不同, 极易导致垂直电场E_z发生扭曲.此时电场的变化也可看作是细胞发生电极化与外界电场相互作用的结果.对于准静态时谐电场的求解, 本文外界两端激励电压初始设为±2V.图 4是采用COMSOL软件得到三种形状细胞的极化电势分布图.细胞内部的电势基本保持与x轴平行, 电场E=-▽φ_Rt.能够清晰发现三个细胞的电极化矢量p_n与z轴平行.
图 4(Fig. 4)

图 4 基于COMSOL软件对三种形状细胞的电势仿真Fig.4 Numerically simulated electrical potential for three type of cells based on COMSOL software (a)—球形细胞的极化电势分布；(b)—椭球细胞的极化电势分布; (c)—红细胞的极化电势分布.

2 结果与讨论首先研究规则球体的高阶介电泳力, 如Pohl经典公式所述, 介电泳力等于电偶极子p₁点乘▽E₀, 电偶极子的大小如式(5)所示.

(5)

式中:a是球体半径; f_CM即俗称的Clausius-Mossotti因子, 其值为复数, 解析式如式(6)所示.

(6)

式中, 和分别是溶液和细胞的复介电常数, (ε和σ分别是介电常数和电导率, ω是激励电压的角频率).介电泳力取f_CM的实部, 而虚数对应球体的电旋扭矩.一般Re[f_CM]的大小在-0.5到1之间.通过ε_p/ε_m的变化可得到Re[f_CM]曲线, 如图 5所示.
图 5(Fig. 5)

图 5 球体各阶数极子的系数曲线图Fig.5 Factor of each order moment for sphere

研究的球体半径a=1, R_t=2, 那么根据式(2)~(4)可求出各阶数极子的系数值, 图 5中以离散点表示.需要指出, 介电泳力主要作用于电中性粒子, 因此它的高阶作用力与奇数项有关, 对应偶数项为零, 如式(7)所示.

(7)

观察图 5可发现, 有效极矩法得到的偶极子与CM因子误差很小.同时高阶极子系数为0.这说明对于规则球体的介电泳力而言, 它们仅承受偶极子作用力.此结果也反映出Pohl表达式求解规则球体的介电泳力具有很高的精度^[8].
然而, 现实生物细胞中, 很少细胞保持完全规则的球体形结构.接下来研究椭球细胞的高阶极子影响.以大肠杆菌为例, 它具有细长的杆形结构非常类似于椭球体.与球体不同, 椭球体的偶极子如下:

(8)

a_x, a_y和a_z是椭球在x, y, z方向的轴长.A_i是x, y, z各方向的去极化因子:

(9)

本文定义偏心率e=a_z/a_x, 首先研究e>1条件的高阶极子曲线, e取值分别是10:1, 5:1, 2:1, 结果如图 6所示.模型保持a_z=1不变, 对应变化a_x的长度.闭合曲线积分半径R_t仍取2.分析发现在较低ε_p时候, 椭球的z方向极化系数非常小.但是随着ε_p逐渐增大(或者频率增加), 高阶极子系数逐渐增大并趋于稳定.与球体不同, 此时的高阶极子系数非零, 说明椭球存在高阶介电泳力作用.然而随着阶数的增大, 高阶电极化的影响也越来越弱.当椭球a_z和a_x尺寸近似时, 在较低ε_p数值(或低频条件下), 各阶极化系数为负数, 如图 6c所示.表明介电泳力与电场方向相反, 会产生负介电泳力, 主要原因是细胞的介电常数ε_p低于溶液介电常数ε_m所致.同时, 模型研究e < 1条件下的各阶极子系数, 如图 7所示.与偏心率大于1不同, p₁, p₅, p₉的趋势和p₃, p₇变化趋势正好截然相反.从椭球e的变化可发现, 形态特征对高阶介电泳力的大小和方向影响很大.
图 6(Fig. 6)

图 6 偏心率大于1的椭球各阶数极子系数曲线图Fig.6 Factor of each order moment for ellipsoids with different eccentricities (e>1) (a)—偏心率10:1椭球；(b)—偏心率5:1椭球；(c)—偏心率2:1椭球.

图 7(Fig. 7)

图 7 偏心率小于1的椭球各阶数极子系数曲线图Fig.7 Factor of each order moment for ellipsoids with different eccentricities (e < 1) (a)—偏心率1:10椭球；(b)—偏心率1:5椭球；(c)—偏心率1:2椭球.

最后研究红细胞各阶极子, 红细胞中间凹陷的形状参考了Ponder的实测离散点^[9], 通过5次多项式拟合得到.红细胞的尺寸进行了等比例缩放.设定其正向x轴的最大长度为1, 如图 4c所示.积分半径R_t仍为2.红细胞的奇数阶电偶极子系数如图 8所示.本文提供偏心率为1:5的椭球与之进行对比.不难发现红细胞各阶电偶极子系数与偏心率为1:5的椭球趋势相同.该模拟结果与文献[6]的红细胞研究结果完全相符.
图 8(Fig. 8)

图 8 红细胞与偏心率1:5椭球的奇数阶偶极子曲线图Fig.8 Factor of odd moment for erythrocyte and ellipsoid with eccentricity ratio 1:5

3 结论1) 基于有效极矩法研究了三种不同形状细胞的高阶极子, 并得到对应高阶极子的变化曲线, 通过高阶电极化力的叠加, 可精确计算出细胞在非均匀电场下的介电泳力大小.
2) 高阶电偶极子的分析证实了规则球体满足Pohl经典介电泳力表达式, 可忽略四极子、八极子、十六极子等高阶项的影响, 同时中间凹陷两端凸起的红细胞介电泳力近似于偏心率为1:5的椭球.
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