侯东晓, 王新刚, 张华伟, 赵红旭
东北大学秦皇岛分校 控制工程学院, 河北 秦皇岛 066004
收稿日期：2016-06-22
基金项目：国家自然科学基金资助项目(51405068)；河北省自然科学基金资助项目(E2014501006)；河北省高等学校科学研究项目(ZD2014202)。
作者简介：侯东晓(1982-), 男, 山西平遥人, 东北大学副教授, 博士。

摘要：同时考虑轧制过程中非线性动态轧制力和辊面振纹导致的非线性参激刚度的影响, 建立了非线性动态轧制过程下冷轧机参激振动动力学方程.应用多尺度法求解了轧机发生1/2亚谐共振时的幅频特性方程, 得到了阻尼、参激刚度对系统亚谐共振的影响规律, 并运用奇异性理论讨论了轧机在非自治情况下分岔特性.最后通过采用轧机实际参数进行数值仿真, 得到系统各参数对幅频特性以及分岔和混沌特性的影响规律, 发现系统参激刚度的变化会使轧机出现了周期运动和混沌等多种不同的运动形态, 为进一步抑制轧机振动提供了理论参考.
关键词：冷轧机动态轧制力参激振动共振分岔
Parametrically Excited Vibration Characteristics of Cold Rolling Mill Under Nonlinear Dynamic Rolling Process
HOU Dong-xiao, WANG Xin-gang, ZHANG Hua-wei, ZHAO Hong-xu
School of Control Engineering, Northeastern University at Qinhuangdao, Qinhuangdao 066004, China
Corresponding author: HOU Dong-xiao, E-mail: houdongxiao1982@163.com
Abstract: The parametrically excited dynamic equation under nonlinear dynamic rolling force is constructed, which considers the dynamic rolling force and the nonlinear parametrically excited stiffness caused by chatter mark of roll surface. Then the 1/2 subharmonic resonance amplitude-frequency equation of the system is calculated by the method of multiple scales, and the subharmonic resonance characteristics with the change of damping and parametrically excited stiffness are obtained, then the bifurcation characteristics of the system in the situation of non-autonomy is obtained by the use of singularity theory. Finally, by taking the actual parameters of the rolling mill, the amplitude-frequency characteristics, bifurcation and chaos characteristics in different parameters are analyzed, it is found that many different movement patterns such as periodic motion and chaos arises with the change of nonlinear parametrically excited stiffness, which provides a theoretical reference for the further suppression of the rolling mill vibration.
Key Words: cold rolling milldynamic rolling forceparametrically excited vibrationresonancebifurcation
随着现代工业飞速发展, 许多行业对带材表面质量和尺寸精度的要求越来越高.板带轧机的振动直接影响轧制产品质量, 成为倍受关注的课题^[1].板带轧机存在多种形式的振动, 常见的有传动系统扭转振动^[2-4]和轧辊垂直振动^[5-6], 其中轧辊的五倍频垂直颤振与辊面振纹有很大关系, 直接影响板带表面质量.Roberts研究发现支承辊辊面的振纹是引起轧机振动的主要因素之一^[7].陈勇辉等考虑轧件振纹影响, 建立轧机再生颤振模型来研究轧机振动^[8].Sajan等考虑移动板带振动导致的轧辊与轧件间的非线性参激特性, 建立了一个单自由度的轧机非线性参激振动模型, 并得到轧机振动的不稳定区域及幅频振动特性^[9].
为更深入研究振纹对轧机振动的影响, 本文同时考虑非线性动态轧制力和振纹导致的参激非线性刚度的共同影响, 建立非线性动态轧制过程下冷轧机的参激振动模型.应用多尺度方法分析了系统发生1/2亚谐共振时的幅频特性和分岔特性, 用轧机实际参数进行数值仿真, 分析了系统参数对轧机振动特性的影响.
1 轧机非线性参激刚度模型在轧制过程中, 支承辊辊面振纹会影响到工作辊与支承辊之间的等效刚度, 会使其随轧辊的转动发生周期性的变化, 其轧机简化模型如图 1所示.
图 1(Fig. 1)

图 1 轧机简化模型Fig.1 Simplified model of rolling mill

为简化分析, 考虑上下辊系的对称性^[7], 同时将机架和支承辊看成相对静止的部分, 只考虑轧辊振动情况^[8], 可得到图 2所示的动力学模型.
图 2(Fig. 2)

图 2 轧机参激振动力学模型Fig.2 Parametrically excited vibration model of rolling mill

图 2中, m为工作辊的等效质量, k和c分别为支承辊与工作辊之间的等效刚度和阻尼.其中, k=k_a+k_b(1-cosωt), k_a和k_b分别为轧辊与支承辊间线性和非线性参激项的等效刚度, ω为参激项频率.ΔP为冷轧机的动态轧制力变化量^[7]:ΔP =b₁x+b₂x²+b₃x³.F′为轧制过程中轧机受到的扰动.由图 2可得轧机非线性参激振动动力学方程为

(1)

令μ=c/m, k₁=k_b/m, ω₀²=(k_a+k_b-b₁) /m, γ=-b₂/m, β=-b3/m, F为外扰力, 可能由轧件厚度或速度波动所导致, F=F′/m=fcosω₁t.可得考虑辊面振纹和轧制力动态变化下的轧机非线性参激振动动力学方程为

(2)

2 轧机非线性振动动态响应求解将式(2)中非线性考虑为弱非线性项, 将其非线性项冠以小参数ε, 可得

(3)

考虑1/2亚谐共振情况, 令2ω₁=ω+εσ且ω₁远离ω.将其代入式(3), 采用多尺度法可得其一阶近似微分方程为

(4)

联立式(4), 可得

(5)

令

(6)

将式(6)代入式(5)可得

(7)

其中cc为共轭复数项, 消去式(7)久期项可得

(8)

令A=ae^iθ, 代入式(8)并分离实部和虚部可得

(9)

联立式(9), 可得系统方程

(10)

当系统稳态时, , 可得系统1/2亚谐共振幅频特性方程为

(11)

3 轧机非线性振动分岔响应分析为研究轧机在平衡点(即稳态工作状态)附近的振动状态, 将式(11)化成如下形式:

(12)

其中,
根据奇异性理论,
(ⅰ)当d₁=0, d₀≠0时, 分岔响应方程(12)可写为
a⁴－μ=0.
上述方程的普适开折为
其余维数为2.根据转迁集的定义可得
1) 分岔点集:B=?(?为空集);
2) 滞后点集:H={(λ₁/8) ²=－(λ₂/6) ³};
3) 双极限点集:D={λ₁=0, λ₂≤0};
4) 转迁集:Σ=B∪H∪D.
系统的转迁集将整个平面分成了3个区域(Ⅰ, Ⅱ和Ⅲ), 如图 3所示.
图 3(Fig. 3)

图 3 转迁集Fig.3 The transition set

转迁集中各临界点和区域的分岔情况如图 4所示.其中, Ⅰ区中系统在平衡点附近振动状态稳定, 没有发生幅值的跳跃现象; Ⅱ和Ⅲ区系统在平衡点附近有多种运动形态, 存在着滞后和跳跃现象, 说明轧机有多个平衡点, 轧机的运动状态可能发生突变.
图 4(Fig. 4)

图 4 d1=0, d0≠0时分岔图Fig.4 Bifurcation diagrams when d1=0, d0≠0

(ⅱ)当d₁≠0, d₀≠0时, 式(12)可变换为
令, 其普适开折为
此时系统奇点为余维一的孤立点, 可得
1) 分岔点集:B=λ=0;
2) 滞后点集:H=?;
3) 双极限点集:D=?;
4) 转迁集:Σ=B∪H∪D.
图 5为分岔图.当λ=0时, 奇点为孤立点.
图 5(Fig. 5)

图 5 d1≠0, d0≠0时分岔图Fig.5 Bifurcation diagram when d1≠0, d0≠0

(ⅲ)当d₁≠0, d₀=0时, 分岔方程(12)可以写成
a²－μ²=0μ²=－d₁或者a²=0.
上述方程的普适开折为
此时系统奇点是余维一的跨越临界点, 可得
1) 分岔点集:B=λ=0;
2) 滞后点集:H=?;
3) 双极限点集:D=?(空集);
4) 转迁集:Σ=B∪H∪D.
此时系统分岔图如图 6所示, 可以看出在系统平衡点发生了稳定性互换.
图 6(Fig. 6)

图 6 d1≠0, d0=0分岔图Fig.6 Bifurcation diagram when d1≠0, d0=0

由图 4，图 5和图 6可看出, 在不同开折参数下系统在平衡点附近有着不同形式的振动状态, 在一些参数区域系统可能会发生滞后和跳跃现象, 这将导致轧机产生明显振动, 从而对设备造成损坏, 因此应尽量使开折参数保持在稳定区域.
4 仿真验证取某厂四辊冷轧机实际参数, 令m=5436kg, k_a=3.4357×10⁸N/m, k_b=1.785×10⁷N/m, c=1.6233 ×10⁴N·s/m, b₁=-2.2918×10¹⁰N/m, b₂=-9.7695×10¹² N/m², b₃=-9.3452×10¹⁶ N/m³, ε=0.01, f=5×10⁴kN.
图 7为不同阻尼系数下系统的幅频特性曲线.
图 7(Fig. 7)

图 7 阻尼变化下幅频曲线Fig.7 Amplitude-frequency curves with change of damping

图 7中, c₁=5.1334×10⁴ N·s/m, c₂=1.6233×10⁴N·s/m, c₃=1.4586×10⁴ N·s/m, c₄=1.3315×10⁴N·s/m.可以看出:阻尼对系统的共振振幅和共振域都有影响, 尤其对振幅影响更加明显, 随着系统阻尼系数的增大, 系统振幅逐渐减小, 而共振域变化不明显.
图 8为不同参激刚度下系统的幅频特性曲线.
图 8(Fig. 8)

图 8 参激刚度变化下幅频曲线Fig.8 Amplitude-frequency curves with change of stiffness

其中:k₁= 3.1953×10⁷N/m, k₂= 3.4357×10⁷N/m, k₃=4.0726×10⁷N/m, k₄= 4.4468×10⁷N/m.可以看出, 参激刚度对系统的共振振幅和共振域都有影响, 随着参激刚度的增大, 振幅和共振域都在逐渐增大.
图 9为ω=100rad/s, k_b取不同值时全局分岔图.
图 9(Fig. 9)

图 9 kb变化下分岔图Fig.9 Bifurcation diagrams with change of kb

图 10为图 9中对应分岔图的Lyapunov指数.
图 10(Fig. 10)

图 10 Lyapunov指数Fig.10 Lyapunov exponent

从图 9中可看出, 随着k_b的变化, 系统出现多次通向混沌的道路, 包括倍周期分岔通向混沌以及阵发性混沌.其中, 当图 9a中k_b在0到3.825×10⁶之间时, 其对应的图 10a中Lyapunov指数大于零, 此时系统为混沌运动.当k_b=3.825×10⁶时, 系统对应的相位图和庞加莱截面如图 11所示, 可以看出庞加莱截面出现混沌吸引子, 这与图 10a中Lyapunov指数在k_b=3.825×10⁶附近由大于零转变为小于零是相对应的, 这些都是阵发性混沌的特征.
图 11(Fig. 11)

图 11 kb=3.825×106时的相轨迹和庞加莱截面Fig.11 Phase trajectory and Poincare section (kb=3.825×106)

当图 9a中k_b=6×10⁶时, 系统由阵发性混沌退化为周期运动.当k_b= 1.35×10⁷时, 系统出现周期三运动, 其对应的相位图和庞加莱截面如图 12所示, 可以看出系统相轨迹是3条闭合曲线, 此时其庞加莱截面为3个孤立点.
图 12(Fig. 12)

图 12 kb= 1.35×107时的相轨迹和庞加莱截面Fig.12 Phase trajectory and Poincare section (kb=1.35×107)

当图 9a中k_b处于1.4×10⁷~1.8×10⁷区间时, 系统由倍周期通向混沌.图 13为k_b=1.8×10⁷时, 系统对应的相位图和庞加莱截面.
图 13(Fig. 13)

图 13 kb= 1.8×107时的相轨迹和庞加莱截面Fig.13 Phase trajectory and Poincare section (kb=1.8×107)

当图 9b中k_b处于3×10⁷~4×10⁷之间时, 对应的图 10b中Lyapunov指数连续多次正负交替, 这说明系统出现了多次阵发性混沌.此时系统首先由阵发性混沌退化为周期运动, 之后系统又经过两次阵发性混沌, 最终在k_b=4×10⁷之后进入周期运动状态.
图 14和图 15为多次阵发性混沌中出现的混沌运动和周期运动.图 14为k_b=3.3×10⁷时, 系统出现混沌运动的相位图和庞加莱截面.图 15为k_b=3.4×10⁷时, 系统出现周期六运动的相位图和庞加莱截面.
图 14(Fig. 14)

图 14 kb= 3.3×107时的相轨迹和庞加莱截面Fig.14 Phase trajectory and Poincare section (kb=3.3×107)

图 15(Fig. 15)

图 15 kb= 3.4×107时的相轨迹和庞加莱截面Fig.15 Phase trajectory and Poincare section (kb=3.4×107)

可以看出, 不同的k_b下轧机有着不同的振动形态, 这可为进一步控制轧机振动行为提供参考.
5 结论1) 同时考虑动态轧制力和辊面振纹影响, 建立了含非线性动态轧制力的冷轧机参激振动模型.
2) 应用多尺度方法得到系统发生1/2亚谐共振时的分岔和幅频特性方程.运用奇异性理论研究系统在非自治情况下分岔特性, 得到系统的转迁集及其在平衡点附近稳定的开折区域.幅频曲线的振动幅值和共振域随系统阻尼增大而减小; 而增加参激刚度会使幅频曲线的振幅和共振域迅速变大, 对机械设备安全运行造成一定威胁.
3) 采用轧机实际参数进行数值仿真, 发现系统参激刚度变化会使轧机出现周期运动和混沌等多种不同的运动形态.
参考文献

[1]	郜志英, 臧勇, 曾令强. 轧机颤振建模及理论研究进展[J].机械工程学报, 2015, 51(16): 87–102. ( Gao Zhi-ying, Zang Yong, Zeng Ling-qiang. Review of modelling and theoretical studies on chatter in the rolling mill[J].Journal of Mechanical Engineering, 2015, 51(16): 87–102.)
[2]	Liu S, Wang Z L, Wang J J, et al. Sliding bifurcation research of a horizontal-torsional coupled main drive system of rolling mill[J].Nonlinear Dynamics, 2016, 83(1/2): 441–455.
[3]	Liu H R, Liu J J, Liu F, et al. Bifurcation and chaos for electromechanical coupling torsional vibration in rolling mill system driven by DC motor[J].Journal of Vibroengineering, 2016, 18(3): 1920–1933.DOI:10.21595/jve.2016.16565
[4]	Shi P M, Li J Z, Jiang J S, et al. Nonlinear dynamics of torsional vibration for rolling mill′s main drive system under parametric excitation[J].Journal of Iron and Steel Research, International, 2013, 20(1): 7–12.DOI:10.1016/S1006-706X(13)60037-0
[5]	Fan X B, Zang Y, Sun Y K, et al. Impact analysis of roller system stability for four-high mill horizontal vibration[J].Shock and Vibration, 2016(3): 1–10.
[6]	Drzymala Z, ?wiatoniowski A, Bar A. Nonlinear vibration in cold rolling mills[J].Mechanique & Industries, 2003, 4(2): 151–158.
[7]	Roberts W L. Four-h mill-stand chatter of the fifth-octave mode[J].Iron and Steel Engineer, 1978, 55(10): 41–47.
[8]	陈勇辉, 史铁林, 林梅香. 四辊冷带轧机再生颤振稳定性的统一理论[J].中国机械工程, 2003, 14(16): 1408–1412. ( Chen Yong-hui, Shi Tie-lin, Lin Mei-xiang. An unified theory of stability analysis of regenerative chatter on 4-H cold rolling mills[J].China Mechanical Engineering, 2003, 14(16): 1408–1412.DOI:10.3321/j.issn:1004-132X.2003.16.019)
[9]	Kapil S, Eberhard P, Dwivedy S K. Nonlinear dynamic analysis of a parametrically excited cold rolling mill[J].Journal of Manufacturing Science and Engineering, 2014, 136(4): 041012.DOI:10.1115/1.4026961
[10]	侯东晓, 朱月, 刘浩然, 等. 基于动态轧制力的冷轧机非线性振动特性研究[J].机械工程学报, 2013, 49(14): 45–50. ( Hou Dong-xiao, Zhu Yue, Liu Hao-ran, et al. Research on nonlinear vibration characteristics of cold rolling mill based on dynamic rolling force[J].Journal of Mechanical Engineering, 2013, 49(14): 45–50.)