王旭¹, 王静文¹, 王柯元²
1.东北大学 信息科学与工程学院, 辽宁 沈阳 110819;
2.大连理工大学 电子信息与电气工程学部, 辽宁 大连 116024
收稿日期: 2014-11-07
基金项目: 中央高校基本科研业务费专项资金资助项目(N130404004).
作者简介: 王旭(1956-),男,辽宁沈阳人,东北大学教授，博士生导师.

摘要: 针对目前磁感应成像技术的图像重建质量较低、速度较慢的问题,提出了一种阈值Landweber重建算法.该算法在Landweber算法的基础上设置门限阈值，并在每次迭代中都自适应地调节阈值参数，从而提高了重建图像质量且加快Landweber方法的收敛速度.在Comsol Multiphysics仿真软件建立MIT系统模型的基础上，利用有限元方法求解了正问题.模拟结果表明，利用阈值Landweber图像重建算法获得的图像质量比LBP、未添加阈值的Landweber图像重建算法要好，同时也加快了收敛速度.
关键词: 磁感应成像图像重建Landweber门限阈值有限元法
Application of Thresholding Landweber Algorithm in MIT Image Reconstruction
WANG Xu¹, WANG Jing-wen¹, WANG Ke-yuan²
1. School of Information Science & Engineering, Northeastern University, Shenyang 110819, China;
2.Faculty of Electronic Information and Electrical Engineering, Dalian Unirersity of Technology, Dalian 116024, China
Corresponding author: WANG Jing-wen, E-mail: wangjingwenhappy@126.com

Abstract: To improve image reconstruction quality of magnetic induction tomography (MIT), a thresholding Landweber reconstruction algorithm was put forward. The threshold value was set on the basis of the Landweber algorithm, and the threshold parameter was adaptively regulated with the iteration, which could improve the image reconstruction quality and accelerate the convergence rate of the Landweber algorithm. Based on the MIT system model established with Comsol Multiphysics, a forward mathematical model was set up and solved by the finite element method. The simulation results showed that the image reconstruction quality obtained by threshold Landweber reconstruction algorithm is better than that obtained by LBP and the algorithm without threshold, and the convergence rate can be accelerated.
Key words: magnetic induction tomography (MIT)image reconstructionLandweberthresholdingfinite element method 磁感应成像技术(magnetic induction tomography,MIT)是一种具有非接触性、非侵入性、可检测磁性材料等优点的电学层析成像技术^{[1, 2, 3]}，又称作电磁层析成像(electromagnetic tomography ,EMT).它通过给激励线圈加交变电流使之产生磁场，该磁场穿过被测物体，会在被测物体内产生感应涡流，该感应涡流又会产生感应磁场，即二次磁场，该二次磁场携带物体内部参数信息，在检测线圈上会检测到该磁场信号，并传给计算机系统^[4].MIT非常适用于医疗应用，尤其对还未发生病变，但对存在潜在危险的癌症早期等疾病起到预防和治疗的作用.MIT图像重建即逆问题是MIT技术的重要组成部分，而MIT图像重建算法的好坏将直接影响到重建图像(电导率或磁导率分布)的质量.LBP和Landweber是目前现有的MIT图像重建算法.LBP算法优点是成像速度快，无需迭代，但是由于该算法理论基础不够完善，导致重构出的图像失真较大.Landweber方法是当前MIT图像重建中较普遍的一种迭代算法^[5] ,由于其适应于大部分典型流型,且编程简单，比较容易实现.但由于迭代序列使其收敛速度比较慢且精度低,这就无法满足MIT系统在线实时观测的要求.
本文提出一种设置门限阈值的方法来加快其收敛速度，并为了适应于MIT系统，在每次迭代中都自适应地调节阈值参数,从而提高图像重建的质量，也加快了收敛速度.
1 MIT数学模型MIT技术本质是对时谐涡流场中的边值问题求解^[6]：

式中：A为矢量磁位；σ为电导率；μ为磁导率；J_s为线圈电流密度.通过有限元方法求式(1)的边值问题相当于求解极值的变分问题：

经离散化，变成求解节点矢量磁位值的矩阵方程^[7]：

式中：K与T代表系数矩阵；P代表J_s所确定的激励矩阵.求解式(3)，可获得被测模型内的矢量磁位A.检测线圈上的感应电压为

灵敏度S是检测线圈电压值的变化与电导率的变化之比：

式中：Ω_Dκ为被测物体的体积；I₀为通入单位电流；A_i和A_j为当分别对激励线圈i和接收线圈j施加电流I₀时通过正问题求解所得结果.2 逆问题求解MIT正问题可表示成时谐涡流场问题，即电压V和电导率σ的关系：

则相应的逆问题为

式(7)往往是欠定的且是非线性的.图 1展示了正逆问题的关系.
图1(Fig. 1)

图1 正逆问题的关系 Fig. 1 Relationship between forward and inverse problem

2.1 Landweber 图像重建算法Landweber的基本思想^[5]是最小化目标:

式中：Sσ是被线性化后的计算电压值；V是测量电压值.函数f(σ)对应的梯度为

根据梯度下降法，如果函数f(σ)在点σ=σ^k处有定义并且可微，那么函数f(σ)在σ=σ^k点沿着负梯度方向－∇f(σ)下降最快.基于此，为了求解式(8)，可以提出以下迭代公式：

式中α是一个正参数.提高收敛速度的投影算子：

该方法被称作投影Landweber算法^[8].2.2 阈值Landweber 图像重建算法由于Landweber算法的收敛性较差，成像质量依赖于参数α的选择.通过设置门限阈值可以加快收敛速度^[9].设定门限阈值，将很容易求解式(10)，其形式为

让d=(σ^k+1)_i,有

参数τ的选择非常重要，选择一个适应MIT系统的参数τ的思想是：如果让设置门限值后的结果约等于Landweber多步迭代后的结果，图像重建会很快收敛，这就导致

根据Landweber迭代算法，能得到多步迭代：

式中A和I都是n×n的矩阵，且I是单位矩阵.根据式(12)和式(13)可知：

联合式(14)和式(15)：

对于整个向量σ^k有

根据不同的A或j，能得到不同种类的最小值τ.通过实验可获得最优的A或j.
具体实现步骤：
步骤1 根据公式(15)计算矩阵A，根据公式(18)计算参数τ.
步骤2 以迭代的方式更新式(12)和(13).
步骤3 在每次迭代后，根据式(11)更新估计投影.
步骤4 迭代次数k在不断增加的同时，也不断重复步骤2.当式(6)达到足够小时，终止迭代过程.步骤5 计算时间和误差.
3 仿真实验为了验证阈值Landweber算法的性能，本文利用Comsol Multiphysics仿真软件建立MIT系统的测量模型.表 1为LBP，Landweber和本文算法的重建图像.
表1(Table 1)

表1 原始图和不同算法的图像重建结果 Table 1 Original figure and image reconstruction with different algorithms 序号 原始图像 LBP Landweber 本文算法 a b c

表1 原始图和不同算法的图像重建结果 Table 1 Original figure and image reconstruction with different algorithms

由表 1可知，本文算法(利用阈值Landweber算法)得出的图像边缘清晰，优于LBP和Landweber算法得出的图像重建效果.
由表 2可知，在同一种模型下，相同的迭代次数，本文算法的重建图像时间明显小于Landweber迭代算法.由于LBP无需迭代自然时间很短.
表2(Table 2)

表2 不同算法的计算时间 Table 2 Computing time of different algorithms s 序 号 LBP Landweber 本文算法 a 0.003 4 0.138 0 0.085 0 b 0.004 0 0.157 2 0.110 3 c 0.002 1 0.143 9 0.103 0

表2 不同算法的计算时间 Table 2 Computing time of different algorithmss

图像重建误差是指重建图像与原始图像之间的相对误差：

式中：σ为原始电导率向量；为重建后电导率向量.由表 3可知，本文算法的图像误差比LBP、未加阈值Landweber图像重建算法要好得多 .由此证明了本文算法的重建图像的视觉效果清晰、误差小.
表3(Table 3)

表3 不同算法的相对误差 Table 3 Relative error of different algorithms % 序 号 LBP Landweber 本文算法 a 158.90 68.45 49.40 b 130.62 90.47 56.52 c 98.39 84.31 68.38

表3 不同算法的相对误差 Table 3 Relative error of different algorithms

4 结 论本文在分析MIT系统基本理论的基础上，提出了一种阈值Landweber图像重建算法.通过仿真实验证明本文算法的图像效果和误差均比LBP，Landweber图像重建算法要好得多，且收敛速度快.由此可见，本文算法用于MIT图像重建有效且精度较高，值得进一步研究和推广.

参考文献

[1]	Griffith H.Magnetic induction tomography [J].Measurement Science and Technology, 2001,12(8):1126-1131.(1)
[2]	Wang J W,Wang X.Application of particle filtering algorithm in image reconstruction of EMT[J].Measurement Science and Technology, 2015,26(7):5303-5310.(1)
[3]	Merwa R,Hollaus K,Oszk B,et al.Detection of brain oedema using MIT:a feasibility study of the likely sensitivity and detectability [J].Physiological Measurement,2004,25(3) 347-354.(1)
[4]	Ma X,Peyton A J,Higson S R,et al.Hardware and software design for an electromagnetic induction tomography (EMT) system for high contrast metal process applications [J].Measurement Science and Technology,2006,17(6):111-118.(1)
[5]	Zhang M,Ma L,Soleimani M.Magnetic induction tomography guided electrical capacitance tomography imaging with grounded conductors[J]. Measurement,2014,53(7) :171-181.(2)
[6]	Hollaus K,Magele C,Merwa R,et al.Numerical simulation of the eddy current problem in magnetic induction tomography for biomedical applications by edge elements [J].IEEE Transaction on Magnetics,2004,40(3):623- 626.(1)
[7]	Soleimani M,Lionheart W R B,Peyton A J,et al.A three-dimensional inverse finite-element method applied to experimental eddy-current imaging data[J].IEEE Transaction on Magnetics,2006,42(10):1560-1567.(1)
[8]	Bertero M,Piana P.Projected Landweber method and preconditioning [J] .Inverse Problems, 1997,13(4):441-464.(1)
[9]	Daubechies I,Defrise M,Mol C D.An iterative thresholding algorithm for linear inverse problems with a sparsity constraint[J].Communications on Pure and Applied Mathematics, 2004,57(11):1413-1457.(1)

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本文献在全文中的定位：
... 具有非接触性、非侵入性、可检测磁性材料等优点的电学层析成像技术^{[1, 2, 3]} ...



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本文献在全文中的定位：
... 性材料等优点的电学层析成像技术^{[1, 2, 3]}，又称作电磁层析成像(electromagnetic ...



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本文献在全文中的定位：
... ^{[1, 2, 3]}，又称作电磁层析成像(electromagnetic tomography ,EMT).它通过给激励线圈加 ...



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本文献在全文中的定位：
... 内部参数信息，在检测线圈上会检测到该磁场信号，并传给计算机系统^[4].MIT非常适用于医疗应用，尤其对还未发生病变，但对存在潜在危险的 ...



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本文献在全文中的定位：
... 的图像失真较大.Landweber方法是当前MIT图像重建中较普遍的一种迭代算法^[5] ,由于其适应于大部分典型流型,且编程简单，比较容易实现.但由于迭 ...

... weber的基本思想^[5]是最小化目标: ...



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本文献在全文中的定位：
... IT技术本质是对时谐涡流场中的边值问题求解^[6]： ...



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本文献在全文中的定位：
... 离散化，变成求解节点矢量磁位值的矩阵方程^[7]： ...



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本文献在全文中的定位：
... 该方法被称作投影Landweber算法^[8]. ...



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本文献在全文中的定位：
... 差，成像质量依赖于参数α的选择.通过设置门限阈值可以加快收敛速度^[9].设定门限阈值，将很容易求解式(10)，其形式为 ...