沙成满¹, 边丹², 杨冬梅²
1. 东北大学 资源与土木工程学院， 辽宁 沈阳110819
2. 东北大学 理学院， 辽宁 沈阳 110819
收稿日期: 2015-04-01
基金项目: 国家自然科学基金资助项目(51179031); 辽宁省自然科学基金资助项目(2014020022).
作者简介: 沙成满(1964- )，男，黑龙江哈尔滨人，东北大学副教授。

摘要: 在公路设计中，对于路堤的堤身稳定性、路堤和地基的整体稳定性评价，按规范要求一般采用简化Bishop算法来确定公路边坡最危险滑动弧面及其对应的最小安全系数.工程上常采用的枚举法要求给出搜索范围，计算速度慢.传统的优化算法如步长加速法等存在容易陷入局部极值等缺点.在微粒群算法(PSO)基础上，运用了一种用单纯形法和微粒群法结合的优化搜索算法(SM-PSO)，并与PSO方法在优化效率和优化性能方面作了比较.该方法在收敛速度、适应性等方面较PSO方法也有明显改进，与传统枚举算法相比计算精度满足要求.
关键词：路堤稳定性系数简化Bishop算法单纯形法微粒群算法优化
Application of Simplex Particle Swarm Optimization Algorithm in Determining the Minimum Factor of Safety of Embankment
SHA Cheng-man¹, BIAN Dan², YANG Dong-mei²
1. School of Resources & Civil Engineering, Northeastern University, Shenyang 110819, China
2. School of Sciences, Northeastern University, Shenyang 110819, China
Corresponding author: SHA Cheng-man, E-mail: shachengman@mail.neu.edu.cn
Abstract: In the design of highway, the simplified bishop algorithm is used to analyze the body stability of the embankment itself and the overall stability both embankment and foundation according to the requirements of specification generally. It is used to determine the most dangerous slope sliding surface and the corresponding minimum factor of safety. The enumeration algorithm frequently adopted in engineering practice requires a given hunting zone and its computation speed is slow. Traditional optimization algorithm such as step-acceleration method results in local extremum and other shortcoming easily. Based on particle swarm optimization (PSO), a method combining simplex method and particle swarm optimization (SM-PSO) is put forward. And it is proved that it has obvious improvement in convergence speed and adaptability when comparing with PSO algorithm in optimization efficiency and optimization performance.
Key Words: embankment stability factorsimplified bishop algorithmssimplex method(SM)particle swarm optimization(PSO)optimization
目前，在公路路基设计中，路堤的堤身稳定性、路堤和地基的整体稳定性按规范要求一般采用简化Bishop算法^[1]，寻找最危险滑动弧面计算稳定安全系数.由于具体工程路堤土、地基土层等条件复杂，对于不同圆心、半径对应的滑动弧面计算出来的稳定系数在可行域上经常存在多个极值点，采用传统的优化方法(如步长加速法、最速下降法等)搜索最危险圆弧往往陷于局部极值点而不是最优解^[2].工程实践中往往采用枚举法，即根据工程具体情况给定一个圆心区域和半径范围，并根据精度要求给定步长在该范围内逐一搜索，求出最优解.这种方法计算时间长效率低，并且需要人为给定圆心和半径范围，范围判断不好则容易出错，也不利于通用性好的商业软件使用.
近年来在优化领域涌现出了一批新的优化方法，如：遗传算法、微粒群算法等^[2-5].遗传算法收敛速度慢、计算结果的精度也不是很高.微粒群算法(PSO)是一种比较新的进化计算技术，优势在于算法不仅容易实现(没有过多的参数需要人为调整)、精度高而且收敛速度也比较快^[6-8].但是，微粒群算法在计算本文的问题时，其收敛速度也不尽如人意，尤其土层情况复杂时，收敛速度明显变慢.
单纯形算法(SM)有以下优势：能够以较快的速度直接搜索到优化目标；对复杂形式的函数，一般不会出现不收敛或收敛不稳定的情况.但是当目标函数有多个局部极值时，应用该方法将由于初值选用的不同而得到不同解，从而陷如局部最优解，这是单纯形法的一个较大的缺陷^[5].
针对粒子群算法与单纯形算法各自的优缺点，将两种算法结合起来，并将这一方法应用于路堤边坡稳定性系数计算这一具体问题.这种算法的优点在于:第一，利用单纯形法能够快速并且直接搜索到目标值这一优点弥补微粒群算法解决复杂函数搜索速度慢这一缺陷；第二，利用微粒群算法突跳性解决了单纯形法容易陷入局部极值的问题^[6]；第三，单纯形微粒群算法搜索结果的精确度也会明显提高.这样就很好解决了由于复杂条件引起的收敛速度以及精确度等一系列问题.
1 简化Bishop算法依据规范要求^[1]简化的Bishop算法是假定滑动面为圆弧，路基坡身稳定性采用此算法进行分析计算稳定安全系数F_s如式(1)所示.

(1)

其中:W_i为第i土条的重力；α_i为第i土条底滑面的倾角；K_i为内部作用力^[8].
当土条i滑弧处于地基中时：

(2)

当土条i滑弧处于路基中时：

(3)

其中:W_di为第i土条地基部分的重力；W_ti为第i土条路基部分的重力；b_i为土条宽；C_di,φ_di为地基的黏结力和内摩擦角^[9]；

(4)

由式(1)和式(4)可以看出，安全系数F_s的表达式是一个复杂的隐函数的形式，F_s函数性质除和圆弧的圆心坐标、半径有关外，还和土条划分、土层参数、坡比等有关，性质很复杂，具有多极值的特点.图 1是某一算例按传统算法搜索得到的不同圆心(取F_s最小时的半径)F_s等值线图，图中有曲线部分段呈现波状与步长及计算误差有关.图中可以看出，F_s分布很不规则，有多个极值点并且不连续.传统的最优化算法很难解决这一类问题，然而用枚举法(海捞)费时又费力，并且需要给定搜索范围、步长，不利于通用程序编制.为了解决该问题，本文引入单纯形微粒群算法.
图 1(Fig. 1)

图 1 某算例安全系数的等值线图Fig.1 Contour map of the safety factor of a sample

2 单纯形微粒群结合算法微粒群算法是基于群体的，根据对环境的适应情况将群体中的个体移动到好的区域.然而它不对个体使用优化算子，而是将每个个体看作是D维搜索空间中的一个没有体积的微粒点，在搜索空间中以一定的速度飞行，这个速度根据它本身的飞行经验和同伴的飞行经验来动态调整.使微粒在解空间飞行，最终停留在最优解处.每个粒子按式(5)更新自己的位置和速度.

(5)

其中：k是迭代次数;c₁,c₂是学习因子;rand(·)是[0,1]区间的随机数;ω_i为惯性权重，ω_i越大，全局搜索能力越强.其余符号含义参见文献[5].
单纯形法(SM)也称可变凸多面体搜索法，它计算量小，搜索速度快，是一种传统的线性规划方法.该法首先在n维空间中构造一个具有n+1个极点的凸多面体，求出各点的适应值，并确定其中的最优、次优和最差点，然后通过反射、扩张、收缩和压缩等策略找出一个较好的点，取代最差点，从而构成新的多面体，这样重复迭代可以找到或逼近一个最优点^[9-10].
考虑本计算模型的特点，针对单纯形算法和粒子群算法的各自特点，将2种算法结合起来使用.SM-PSO算法是首先利用单纯形算法得到目标函数的局部优化解，再利用粒子群算法的随机跳跃性搜索，得到新的初始解从而不容易陷入局部最优解，使它能够跳出局部极值点.同时结合范围搜索使单纯形算法不会跳过全局最优解陷入下个局部最优.
SM-PSO算法流程如图 2所示.
图 2(Fig. 2)

图 2 SM-PSO算法流程Fig.2 SM-PSO algorithm

1) 初始化设置SM-PSO的各参数；
2) 计算每个微粒的初始适应值；
3) 对于每一个微粒，将其适应值与其经历的最优位置的适应值进行比较，将较好的作为当前粒子最优位置；
4) 再将其与全局所经历的最优位置的适应值进行比较，将较好的作为全局粒子最优位置；
5) 根据式(5)对每个微粒的速度和位置进行进化，当第i个粒子停止进化，此时启动动态扩张单纯形法，重新产生微粒i的位置，而且与其他粒子一起按式(5)进化；
6) 若满足设定的收敛条件，则输出结果，否则转入步骤3).
其中:x_i(t)为第i个粒子在t时刻的位置，为第i个粒子的个体最优位置;p_g为全局最优位置.
3 算例分析分别选用3个有代表性的例子，路基高度都采用6 m，坡比分别为1:1， 1:1.5，1:1.25，代表了坡比的一般情况，内聚力、内摩擦角取值也考虑了砂土、黏土的一般情况.
表 1(Table 1)

表 1 算例模型参数表Table 1 Soil parameter of example models 算例 土层 密度 坡比 C Φ/(°) kN/m3 kPa 算例1 路基 19.2 1:1.0 15 24.2 地基 17.3 1:1.0 14 23.5 算例2 路基 17.8 1:1.5 18 28 地基 17.5 1:1.5 25 15 算例3 路基 18.5 1:1.25 22 22 地基 17.8 1:1.25 20 20.2

表 1 算例模型参数表 Table 1 Soil parameter of example models

用MATLAB软件编程计算，各个算例按以上参数计算.为便于对比，分别用3种方法计算，即SM-PSO方法，PSO方法以及传统的枚举法(海捞法).
图 3和表 2为算例1的结果.图 3中可以看出，首次迭代后SM-PSO方法迭代速度就加快，而PSO到第8次才开始加速，PSO方法迭代到20次接近真值，而SM-PSO方法迭代到7次就接近真值，SM-PSO明显比PSO收敛速度快，并且精确度更高.表 2为几种方法计算结果的比较，其中的误差是由迭代结果和枚举算法的结果的差值除以枚举结果得到的相对误差(下同).SM-PSO迭代到10次相对误差已经达到0.01%，而PSO迭代到200次相对误差仍为1.02%，从迭代到200次的最终结果看，PSO算法求的最小安全系数为1.641 3，无法达到真值.SM-PSO算法求得的最小安全系数为1.622 3，已经好于传统算法.需要说明，传统枚举算法受搜索步长的影响，结果也不是最好的.
图 3(Fig. 3)

图 3 算例1 PSO与SM-PSO计算结果对比图Fig.3 Comparison chart between PSO and SM-PSO of example 1

表 2(Table 2)

表 2 算例1PSO与SM-PSO计算结果的比较Table 2 Comparison of calculated results between PSO and SM-PSO of sample 1 迭代次数 枚举算法 PSO SM-PSO Fs Fs 误差/% Fs 误差 /% 5 10 15 20 50 100 200 1.625 2.323 2 2.257 5 1.951 4 1.646 2 1.641 3 1.641 3 1.641 3 42.9 38.9 20.1 1.32 1.02 1.02 1.02 1.797 6 1.625 0 1.624 8 1.622 3 1.622 3 1.622 3 1.622 3 10.6 0.01 — — — — —

表 2 算例1PSO与SM-PSO计算结果的比较 Table 2 Comparison of calculated results between PSO and SM-PSO of sample 1

图 4和表 3为算例2的结果.图 4中可以看出，首次迭代后SM-PSO方法也明显优于PSO方法，随着迭代次数增加F_s稳定下降并逐渐收敛，到20次基本收敛到真值，并且精确度更高.PSO方法收敛慢，到50次左右有一个台阶，才收敛加速，精度也不好.表 3为PSO与SM-PSO计算结果的比较，SM-PSO迭代到10次相对误差已经达到1.99%，到20次结果已经好于枚举法.而PSO迭代到10次相对误差为9.51%，200次相对误差仍为2.35%，无法有效收敛到真值.表 3为PSO与SM-PSO计算结果的比较，由表可以看出在非均质边坡情况中SM-PSO算法的搜索速度明显比PSO要快，而且精度更好.
图 4(Fig. 4)

图 4 算例2 PSO与SM-PSO计算结果对比图Fig.4 Comparison chart of iterative number between PSO and SM-PSO of example 2

表 3(Table 3)

表 3 PSO与SM-PSO计算结果的比较Table 3 Comparison of calculated results between PSO and SM-PSO 迭代次数 枚举算法 PSO SM-PSO Fs Fs 误差/% Fs 误差 /% 5 10 15 20 50 100 200 2.351 2.598 5 2.574 5 2.567 7 2.562 5 2.418 8 2.401 4 2.401 4 10.53 9.51 9.22 9.00 2.88 2.14 2.14 2.504 8 2.397 9 2.357 8 2.349 5 2.349 5 2.349 5 2.349 5 6.54 1.99 0.29 — — — —

表 3 PSO与SM-PSO计算结果的比较 Table 3 Comparison of calculated results between PSO and SM-PSO

图 5和表 4为算例3的结果.图 5中可以看出算例3首次迭代后SM-PSO方法也明显优于PSO方法，随着迭代次数增加F_s稳定下降并逐渐收敛，收敛过程中有几个台阶跳跃，到迭代10次基本收敛到真值，并且精确度高，比算例2收敛速度快.PSO方法相对收敛慢，收敛中有几个台阶跳跃，到30次左右基本收敛，再往后收敛慢，精度也不好.表 4为PSO与SM-PSO计算结果的比较，SM-PSO迭代到10次相对误差已经达到0.43%，到20次结果已经好于枚举法.而PSO迭代到10次相对误差为19.4%，20次以后不再收敛，200次相对误差仍为2.1%，无法有效收敛到真值.
图 5(Fig. 5)

图 5 算例3 PSO与SM-PSO计算结果对比图Fig.5 Comparison chart of iterative number between PSO and SM-PSO of example 3

表 4(Table 4)

表 4 PSO与SM-PSO计算结果的比较Table 4 Comparison of calculated results between PSO and SM-PSO 迭代次数 枚举算法 PSO SM-PSO Fs Fs 误差/% Fs 误差 /% 5 2.116 2.753 3 30.09 2.308 8 9.09 10 2.527 0 19.40 2.125 5 0.43 15 2.500 7 18.16 2.120 3 0.19 20 2.469 2 16.67 2.118 3 — 50 2.227 4 5.25 2.118 3 — 100 2.186 1 3.29 2.118 3 — 200 2.186 1 3.29 2.118 3 —

表 4 PSO与SM-PSO计算结果的比较 Table 4 Comparison of calculated results between PSO and SM-PSO

4 结论针对粒子群算法和单纯形算法的特点，将二者结合起来运用到路基边坡稳定性分析，有效克服了传统方法需要输入搜索范围、搜索速度慢等缺点，无需给出搜索范围和半径，也克服了粒子群算法误差大等缺点，并且通过多个一般性算例测试，收敛速度快，计算结果精度较高.
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