李翔宇¹, 高宪文¹, 侯延彬¹, 王宏日²
1.东北大学 信息科学与工程学院，辽宁 沈阳 110819;
2.装甲兵技术学院 控制工程系，吉林 长春 130117
收稿日期: 2015-06-17
基金项目: 国家自然科学基金资助项目(61573088，61433004).
作者简介: 李翔宇(1982-)，男，辽宁沈阳人，东北大学博士研究生。

摘要: 建立了描述游梁式抽油机悬点负载动态特性的耦合动力学模型.采用多自由度的弹簧-质量-阻尼器机械动力学系统描述抽油杆柱振动特性.综合考虑有杆泵抽汲过程中泵腔内气体可压缩性、泵腔压力变化、泵阀局部阻力等因素的影响，建立了泵腔压力、进泵流体流量、泵腔内液体体积与柱塞运动之间相互关系的数学模型，得到一组描述有杆泵动态抽汲过程的新模型，确定了求解抽油杆柱振动模型的井下边界条件.采用时步有限元方法对所建杆-泵耦合动力学模型进行仿真计算.油田现场应用表明，所建模型具有较高精度，可用于抽油井负荷、泵效、扭矩和平衡度等工况参数预测及故障诊断.
关键词：游梁式抽油机悬点负载抽油杆柱抽油泵动力学建模
Coupled Dynamic Modeling for Polished Rod Load of Beam Pumping Unit
LI Xiang-yu¹, GAO Xian-wen¹, HOU Yan-bin¹, WANG Hong-ri²
1.School of Information Science & Engineering，Northeastern University，Shenyang 110819，China;
2.Department of Control Engineering，Armored Force Technique Institute，Changchun 130117，China
Corresponding author: GAO Xian-wen，E-mail: gaoxianwen@ise.neu.edu.cn
Abstract: A coupled dynamic model for describing the dynamic performance of the polished rod load of beam pumping units was established. The multi-degree-of-freedom spring-quality-damper mechanical dynamic system was adopted to describe the vibration characteristic of the sucker rod string. The compressibility of the gas in the pump barrel，the changing pressure in the pump barrel and local resistance of the pump valve were comprehensively considered. The new equations describing the dynamic sucker rod pumping process were set up in order to determine downhole boundary conditions to solve the sucker rod string vibration model，which represented the interrelationship between the pressure in the pump barrel，the fluid flow into the pump barrel，the volume of the fluid in the pump barrel and the movement of the plunger piston. The time-stepping finite element method was employed to simulate the rod-pump coupled dynamic model. Oil field application shows the fairly effectiveness and accuracy of the new model，which can be used for the prediction of the working condition parameters such as the load，pump efficiency，torque and balance，and the fault diagnosis.
Key Words: beam pumping unitpolished rod loadsucker rod stringoil pumpdynamic modeling
游梁式抽油机井有杆泵采油(简称有杆泵抽油井或有杆抽油系统)作为国内外油田普遍采用的机械采油方式^{[1 - 8]}，是油田生产工艺流程的主要能耗物耗单元.
抽油机悬点负载(油井负荷)属于周期性交变分布参数势能负载，其负荷在重载、轻载及空载之间大幅度波动，有时甚至存在负功.建立精确的抽油机悬点负载模型，有利于提高油井负荷预测、抽油机平衡判断以及井下工况预测与诊断等有杆抽油系统设计和分析方法的水平，从而提高系统效率，延长抽油设备寿命，控制采油成本.
目前，通常采用带阻尼一维波动方程描述抽油杆柱纵向振动^[9]，但该方程是理想模型^[10].文献[10]通过建立抽油杆柱有限元模型预测其工作过程，但并未对作为井下边界条件的有杆泵抽汲过程进行精确建模与分析.由于深井泵的实际[JP3]工作过程十分复杂，且与抽油杆柱的工作过程相互耦合，考虑到井液含气，泵腔内气体的可压缩性会使固定阀与游动阀动作滞后，将直接影响抽油机悬点加载与卸载情况，从而影响油井负荷的动态响应.
针对上述问题，本文采用多自由度的弹簧-质量-阻尼器机械系统作为描述抽油杆柱纵向振动的动力学模型；并提出在流体进泵前后气液质量比恒定的前提下，利用变质量气体状态方程和流量方程描述泵腔压力和进泵液体流量的变化规律，建立抽油泵抽汲过程模型作为抽油杆柱振动的井下边界条件；从而建立抽油机悬点负载耦合动力学模型.油田现场应用验证了所建模型的正确性和有效性.
1 抽油杆柱动力学建模有杆泵采油工艺流程如图 1所示.不失一般性，考虑图 1所示三级组合抽油杆柱，采用梁单元将杆柱离散化为n个弹簧-质量-阻尼器系统组成的分布参数系统^[4，10].有杆抽油系统的典型负载扭矩特性如图 2所示.
图 1(Fig. 1)

图 1 有杆抽油系统示意图Fig.1 ucker rod pumping system

图 2(Fig. 2)

图 2 有杆抽油系统负载扭矩特性曲线Fig.2 Load and torque curves of sucker rod

应用牛顿第二定律可得抽油杆纵向振动基本微分方程组和油井负荷输出方程的一般形式为

(1)

式中：M为系统集中质量矩阵；B为系统阻尼矩阵；K为系统刚度矩阵；c为系统输出向量；d为系统输入向量；x为各质量位移向量；u为系统输入向量；F₁(t)为系统输出，即悬点负荷.
取向下为载荷正方向，周期性作用于深井泵柱塞上的液柱载荷F_p(t)为

(2)

式中A_r为最下部一级抽油杆的横截面积.
简化为简谐运动时的悬点运动规律x₀(t)为

(3)

式中：S为抽油机冲程；N为抽油机冲次.油田常用的CYJ10-3-53HB型抽油机悬点运动规律如图 3所示(S=3m，N=5min^-1).
图 3(Fig. 3)

图 3 游梁式抽油机悬点运动规律Fig.3 Polished rod motion law of beam pumping unit

2 有杆泵抽汲过程建模2.1 有杆泵抽汲机理分析图 4为有杆泵抽汲过程中固定阀、游动阀开关状态及泵筒内物性分布示意图.为了便于数学建模，现作如下假设：
图 4(Fig. 4)

图 4 有杆泵抽汲过程示意图Fig.4 Sucker rod pumping process

1) 抽油泵的沉没压力p_s与排出压力p_d为常数；
2) 不考虑泵阀自重，泵阀开关动作瞬间完成；
3) 气体的压缩与膨胀按照多变过程进行；
4) 气液两相按一定比例均匀混合进泵，均匀混合排出，泵腔内无溶解气和凝析气产生；
5) 流体进泵前后气液质量比恒定.
2.2 泵腔容积变化规律建模抽油泵柱塞与固定阀之间的泵腔容积V(t)为

(4)

式中：A_p为柱塞横截面积；x_n(t)为柱塞位移；V_s为余隙容积.
2.3 泵腔压力变化规律建模1 ) 游动阀开启前的泵腔压力.游动阀开启前任意时刻t，泵腔内气体均满足如下变质量的气体多变过程方程：

(5)

式中：p_i(t)为泵腔压力；V_g(t)为泵腔内气体体积；m_g(t)为泵腔内气体质量；R为与气体有关的常数；n为多方指数.泵腔内质量为m_g(t)的气体在沉没压力p_s下，同样满足多变过程方程：

(6)

式中V_gs是质量为m_g(t)的气体在沉没压力状态时的体积.考虑到气液以一定比例均匀混合进泵，均匀混合排出，且进泵前后气液质量比恒定，则有

(7)

式中：V_l(t)为游动阀开启前任意时刻t泵腔内液体体积；ξ为泵口处的气液质量比，可根据生产气液比计算；ρ_l为泵口处液体密度；ρ_g为泵口处气体密度；λ为泵口处液气密度比.设游动阀开启时刻为t₃，由式(5)~(7)可得游动阀开启前，变质量情况下泵腔压力表达式为

(8)

2 ) 游动阀开启后的泵腔压力.游动阀开启后，泵开始向油管内排液，泵腔内压力p_i(t)等于排出压力p_d.
2.4 泵腔内液体体积变化规律建模1 ) 游动阀开启前泵腔内液体体积.游动阀开启前，泵腔内液体体积V_l(t)为

(9)

式中：V_sl为余隙内液体体积；ΔV_l(t)为游动阀开启前任意时刻t泵腔内液体体积增量.
2 ) 泵腔内液体体积增量.设固定阀开启时刻为t₁，关闭时刻为t₂，且0＜t₁＜t₂＜t₃，游动阀开启前任意时刻t，进泵液体体积ΔV_l为

(10)

式中Q(t)为进泵液体体积流量.一个冲程内累计进泵液体体积ΔV_lmax为

(11)

3 ) 游动阀开启后的泵腔内液体体积.泵向油管内排液阶段，柱塞在抽汲液体中下行，泵腔内液体体积V_l(t)等于泵腔容积V(t).
2.5 进泵液体流量方程根据能量守恒定律，忽略进泵液体的位能损失，经过固定阀进泵液体流量方程为

(12)

式中：A_s为固定阀过流面积；ζ为固定阀阻力系数；C为与单位制有关的常数.固定阀关闭时Q(t)恒为0.
2.6 泵效计算抽油井的泵效定义为每日实际产液量与泵的理论排量之比，即

(13)

式中：Q_r为油井日实际产液量；Q_t为泵的理论排量，可由下式计算，

(14)

进而，考虑到原油体积效应对泵效的影响，可由式(15)对泵效进行预测：

(15)

式中，B_l为泵入口处井液体积系数.
3 现场应用3.1 油井负荷和井下工况的预测为了验证所提建模方法的正确性，以位于辽河滩海地区的J5-3和J13-21智能油井系统为例进行分析，仿真预测结果如图 5所示.
图 5(Fig. 5)

图 5 有杆抽油系统工作过程预测Fig.5 Prediction of sucker rod pumping process (a)—J5-3井地面示功图与井下泵功图；(b)—J13-21井地面示功图与井下泵功图;(c)—J5-3井抽油泵工作过程仿真；(d)—J13-21井抽油泵工作过程仿真.

由图 5a可知，由于地层供液不足，导致J5-3井泵的充满程度较低，当日实测泵效为29.97%，实测地面示功图呈“刀柄”形状.图 5b表明，J13- 21井地层供液较充足，泵的充满程度较高，实测地面示功图较“饱满”，当日实测泵效45.24%.两口油井的预测地面示功图与实测情况基本吻合，预测泵示功图与井下工况相符.
由图 5c和5d可知，在深井泵工作过程中，受抽油杆弹性振动形变的影响，柱塞位移存在波动，柱塞冲程S_p小于抽油机冲程S，其中，V_t为泵的理论容积变化规律；泵内气体膨胀与压缩的多变过程导致固定阀和游动阀的动作存在延迟；泵腔压力、进泵液体流量和进泵液体体积等泵况参数是与柱塞运动规律、井液物性、泵阀规格和余隙容积等因素密切相关，相互耦合地随时间变化；由于J13-21井泵口压力和井液含气量较高，导致其固定阀开启初期的开关状态不稳定，进泵液体流量变化剧烈；新模型采用动态积分方法累计进泵液体体积，可以更加准确地预测油井产量，对J5-3和J13-21井泵效预测值分别为31.07%和46.59%.
3.2 抽油机平衡的判断与调整抽油机平衡状况的好坏，直接影响有杆抽油系统的效率与寿命.在准确预测油井负荷的基础上，进一步仿真预测电动机输入功率，既可实现对抽油机平衡的判断，又能对平衡重或平衡半径调整量进行仿真验证，从而节约现场反复试验调整所消耗的时间和费用.J5-3井调平衡前后电机输入功率预测与实测结果对比见图 6，调平衡后电机负荷较为均匀，上、下冲程中做功基本相等.
图 6(Fig. 6)

图 6 J5-3井预测功率曲线Fig.6 Predictive power curves of J5-3 well

3.3 示功图样本库的建立在本文所建模型的基础上，通过建立各种井下故障工况的数学模型，进行故障工况仿真，从而针对每口油井建立完备的示功图样本库，以此作为抽油井故障诊断方法的训练样本.例如，图 7和图 8分别为J13-21井柱塞与衬套间磨损严重造成泵漏失和XJ132井第183根抽油杆断脱的实测与仿真示功图.可以看出，仿真故障示功图基本反映了抽油井在相应故障工况下的特征.
图 7(Fig. 7)

图 7 J13-21井预测故障示功图Fig.7 Predictive fault dynamometer card of J13-21 well

图 8(Fig. 8)

图 8 XJ132井预测故障示功图Fig.8 Predictive fault dynamometer card of XJ132 well

4 结 论1) 从抽油杆柱工作过程所对应的物理行为特性出发，采用多自由度弹簧-质量-阻尼器动力学模型描述杆柱的振动特性更符合杆柱工作的实际情况.
2) 综合考虑泵腔内气体可压缩性、泵阀局部阻力、泵腔压力变化等因素对深井泵工作过程的影响，建立了描述泵腔容积、泵腔压力、进泵液体流量及泵腔内液体体积等泵况参数变化规律的有杆泵抽汲过程动态模型，为游梁式抽油机悬点负载建模确定井下边界条件.
3) 油田现场应用表明，所建模型具有较高精度，可用于油井负荷、产液量、电参数、平衡度和减速箱扭矩等有杆抽油系统工况参数的预测和异常工况下油井的故障诊断.
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