马宗利, 刘永超, 朱彦防, 王建明
山东大学 高效洁净机械制造教育部重点实验室， 山东 济南 250061
收稿日期: 2015-05-11
基金项目: 国家自然科学基金资助项目(51375267).
作者简介: 马宗利(1967-)，男，山东青岛人，山东大学副教授;
王建明(1962-)，男，山东济南人，山东大学教授。

摘要: 针对四足机器人奔跑运动对腿结构高缓冲性能的要求，基于动物狗前腿的骨骼-肌肉生物力学特性，设计了一种奔跑四足机器人的腿结构.该腿结构有3个关节，具有3个自由度，髋关节、膝关节具有主动的俯仰自由度，踝关节具有被动的俯仰自由度.对该腿结构进行了动力学分析和刚度特性分析，并对机器人进行了bound步态的仿真.仿真结果表明，该腿结构能够实现四足机器人快速、稳定地奔跑，关节驱动力矩较小，验证了该腿结构实现四足机器人bound步态奔跑的可行性和合理性.
关键词：四足机器人；奔跑；腿结构；动力学分析；仿真
Design and Analysis of Running Quadruped Robots’ Leg Structure
MA Zong-li, LIU Yong-chao, ZHU Yan-fang, WANG Jian-ming
Key Laboratory of High-Efficiency and Clean Mechanical Manufacture of Ministry of Education, Shandong University, Jinan 250061, China
Corresponding author: WANG Jian-ming, E-mail: zlm03@126.com
Abstract: In order to meet the requirements of quadruped robots’ leg structure with high cushion performance in running movements, a leg structure of running quadruped robots was designed, which was based on the bone-muscle biomechanical properties of dog forelegs. The leg structure has three joints and three DOFs. The hip joint and knee joint have active pitching-DOF, and the ankle joint has passive pitching-DOF. The dynamics and stiffness characteristics of the leg structure were analyzed, and the simulation of bound gait was done. The simulation results showed that a quadruped robot with this leg structure can run rapidly and stably while the joint drive torque is low. It was proven that this leg structure has the feasibility and rationality of making quadruped robots run in bound gait.
Key Words: quadruped robotrunningleg structuredynamics analysissimulation
四足机器人以其高负载能力、高稳定性和良好的环境适应性等特点备受各国学者青睐，发展前景十分广阔.高速、高承载、低能耗、可野外工作的四足机器人是研究的热点^[1].目前国外典型的四足机器人代表是波士顿动力公司研发的Bigdog^[2-3]和Cheetah^[4-6]四足机器人.BigDog采用高功率密度的液压驱动，依靠陀螺仪和加速度传感器等协助机载计算机规划机器人的每一步运动，随时调整机器人步伐和姿态以维持机器人身体的平衡.负载能力可达150 kg，平地行走速度可达7 km/h，也可在山坡上和雪地上行走^[7].Cheetah四足机器人在实验室平缓地面的奔跑速度可以达到46 km/h.
国内的哈尔滨工业大学、山东大学、国防科技大学和北京理工大学等也在研究液压四足机器人，但大多在适应复杂地形、越障和行走速度方面还需要进一步提高.为了提高四足机器人的奔跑性能，本文设计了一种新型四足腿结构，对其进行动力学分析和刚度分析，并对这种新型奔跑四足机器人进行仿真分析.仿真结果验证了新型四足腿结构设计的合理性和有效性.
1 四足机器人腿结构设计1.1 生物狗前腿骨骼-肌肉特性分析生物狗的前腿肌肉骨骼生理解剖简图如图 1所示^[8].
图 1(Fig. 1)

图 1 生物狗的前腿生理解剖简图Fig.1 Schematic diagram of physiological anatomy for dog forelegs

狗的前腿主要由肩胛骨、肱骨、尺骨、桡骨和掌骨等组成，狗的前腿关节主要包括肩关节、肘关节、腕关节和指关节.作用于肘关节的肌肉有臂三头肌、前臂筋膜张肌、肘肌、臂二头肌和臂肌，作用于腕关节的肌肉有腕屈肌组，作用于指关节的肌肉主要有指屈肌组.
狗在行走或奔跑的过程中，前腿的足落地时，肘关节肌肉、腕关节肌肉和指关节肌肉被迫拉长，缓冲地面反作用，减小落地冲击，同时存储能量以利于下一步行走或奔跑.
1.2 四足机器人腿结构四足仿生机器人模型见图 2.4条腿采用完全相同的关节配置形式^[9]，并以液压缸为驱动元件.
图 2(Fig. 2)

图 2 四足机器人模型Fig.2 The model of quadruped robot

机器人的单腿结构模型如图 3所示,该腿结构有3个关节，具有3个自由度.髋关节、膝关节具有主动的俯仰自由度，踝关节具有被动的俯仰自由度.它由大腿AB、小腿CBG、跖骨杆FCD、弹簧EF和弹簧GH以及各肢体间的髋关节A、膝关节B、踝关节C组成.大腿的上端通过旋转副与躯体相连构成髋关节A，大腿的下端通过旋转副与小腿的上端相连构成膝关节B，小腿的下端与跖骨杆铰接在一起构成踝关节C，跖骨杆的下端D则为接触地面的足端.弹簧EF的一端连接大腿，另一端连接跖骨杆；弹簧GH的一端连接小腿的伸出端，另一端连接跖骨杆.奔跑时，在足端冲击载荷的作用下，弹簧EF被拉伸，同时弹簧GH被压缩，从而实现对地面冲击能量的吸收.
图 3(Fig. 3)

图 3 单腿结构模型Fig.3 Single leg structure model

图 4为机器人单腿的结构示意图.各尺寸如下：
图 4(Fig. 4)

图 4 单腿结构示意图Fig.4 Schematic diagram of single leg structure

其中：θ₁是大腿与水平面间的夹角；θ₂是大腿延长线与小腿间的夹角；θ₃是小腿延长线与跖骨杆间的夹角.
2 单腿刚度特性分析在足端触地的过程中，弹簧EF发生拉伸，弹簧GH被压缩.在忽略腿部质量的情况下，支撑反力Q是作用在腿结构上的唯一外力，因此可以将该腿结构等效为支撑反力不通过髋关节的“虚拟弹簧腿”^[10]，如图 5所示，进而研究该腿模型的力学性能和刚度性能.根据图 5，可以推导出力学特性模型如式(1)所示.
图 5(Fig. 5)

图 5 虚拟弹簧腿Fig.5 Virtual spring-leg

(1)

式中：θ₁₀，θ₂₀分别表示θ₁，θ₂在自由状态下的初始值；l_BD0表示自由状态下l_BD的原长；Δy表示虚拟弹簧在竖直方向上的压缩量；Δl表示l_BD的变化量；β表示Δl与Δy之间的夹角；k，a分别为两弹簧的刚度和原长，取k=6 N/mm，a=280 mm；M₁，M₂分别表示弹簧力F_EF，F_GH对踝关节的力矩.
根据力矩平衡原理求出足端接触力Q，即虚拟弹簧腿的受力.虚拟弹簧腿的刚度为虚拟弹簧腿的受力与其压缩量之比.在髋关节、膝关节角度约束下，该虚拟弹簧腿的刚度特性如图 6所示.图中曲线的斜率表示虚拟弹簧腿的刚度.从图 6中可以看出，当θ₁=θ₂=45°时，虚拟弹簧腿刚度呈线性分布；在θ₁=θ₂=60°和θ₁=θ₂=70°约束下，虚拟弹簧腿的刚度呈非线性分布，即随着虚拟弹簧腿压缩量的增加，曲线的斜率逐渐减小，对应的虚拟弹簧腿刚度也逐渐减小.
图 6(Fig. 6)

图 6 髋关节、膝关节角度约束下刚度特性Fig.6 Stiffness characteristics of the single leg under the constraints of the hip angle and knee angle

3 动力学分析机器人在奔跑的过程中，触地阶段的动力学特性对机器人的整体性能影响很大，因此有必要对机器人在触地阶段的动力学进行分析.取髋关节A为坐标原点建立坐标系Oxy(见图 4)，在此坐标系下基于Lagrange方程推导着地时的动力学方程.
大腿、小腿、跖骨杆的质量分别为m₁，m₂和m₃，且以腿末端的点质量表示.弹簧质量忽略不计.
3.1 系统的动能

(2)

式中：K，K₁，K₂，K₃分别表示系统总动能，大腿、小腿和跖骨杆的动能；c_i表示cosθ_i；c_ij表示cos(θ_i+θ_j).
3.2 系统的势能

(3)

式中：E，E₁，E₂，E₃，E₄，E₅分别表示系统总势能，大腿、小腿、跖骨杆、弹簧EF和弹簧GH的势能；s_i表示sinθ_i；s_ij表示sin(θ_i+θ_j)；s_ijk表示sin(θ_i+θ_j+θ_k)；
3.3 系统的动力学方程系统所受的外力只有重力和足端接触力，将式(2)和式(3)代入Lagrange方程(4)，

(4)

可求得髋关节、膝关节的驱动力矩分别为

(5)

(6)

其中：
式中： c∠ECF表示cos∠ECF；c_ijk表示cos(θ_i+θ_j+θ_k).
4 仿真分析将图 2所示的四足机器人三维模型导入Adams中建立虚拟样机模型，进行bound步态仿真.
四足机器人长840 mm，宽324 mm，高850 mm，整机质量约35 kg，在Adams仿真平台中，实现了在平坦地面的奔跑.
躯体质心在三个方向上的位移如图 7所示，红色实线、蓝色虚线和粉红色虚线分别表示前进方向(X方向)、竖直方向(Y方向)和横向(Z方向)的位移.可以看出，机器人在0.5 s之后平稳运动，竖直方向质心起伏较小；前进12 m横向偏移为0.003 m，横向偏移率约为0.25%.
图 7(Fig. 7)

图 7 机器人躯体质心在X，Y和Z方向上的位移曲线Fig.7 The displacement curves of body mass center in the X,Y and Z directions

机器人前进方向上的速度如图 8所示，机器人平稳运动后，平均速度基本保持在2.7 m/s左右，奔跑速度较快.
图 8(Fig. 8)

图 8 机器人在前进方向上的速度曲线Fig.8 Speed curve of the quadruped robot in the forward direction

图 9为左后腿髋关节驱动力矩，可以看出髋关节的驱动力矩除个别峰值外，基本保持在200 N·m以下，所需的驱动力矩较小.
图 9(Fig. 9)

图 9 机器人左后腿髋关节驱动力矩曲线Fig.9 Drive torque of the hip joint for the left rear leg

图 10为左后腿膝关节驱动力矩，可以看出膝关节的驱动力矩除个别峰值外，保持在100 N·m以下，所需的驱动力矩较小，并且膝关节的驱动力矩小于髋关节的驱动力矩.
图 10(Fig. 10)

图 10 机器人左后腿膝关节驱动力矩曲线Fig.10 Drive torque of the knee joint for the left rear leg

图 11为左后腿足端接触力，峰值基本保持在400 N左右，最大不超过600 N.机器人模型质量为35 kg，因此，冲击力较小.
图 11(Fig. 11)

图 11 机器人左后腿足端接触力曲线Fig.11 Foot contact force curve of the left rear leg

通过以上分析可以看出，四足机器人可以实现稳定的bound步态运动，速度较高且所需驱动力矩较小、接触力较小、运动效率较高，证明了该腿结构应用于奔跑运动是可行的，也是合理的.
在未来工作中，将会在实物四足机器人上进行实验研究.
5 结论1) 通过对动物狗前腿的生理特征分析，设计了一种适用于奔跑运动的仿生四足机器人的新型腿结构.该腿结构有3个关节，具有3个自由度，髋关节、膝关节具有主动的俯仰自由度，踝关节具有被动的俯仰自由度.
2) 根据新型腿结构，建立了动力学模型，进行了动力学分析,推导出了动力学方程，并进行了刚度特性分析，得出了在髋关节、膝关节角度约束下的虚拟弹簧腿刚度特性.
3) 利用Adams软件对本文设计的仿生奔跑四足机器人进行了bound步态的仿真.仿真结果验证了该腿结构能够实现四足机器人以bound步态稳定、快速地奔跑，说明该腿结构设计是可行的.
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