几何是现代物理学，如广义相对论、规范场论和量子力学等的基石之一。量子力学中的量子态定义在希尔伯特空间，而此空间的几何由量子几何张量确定。量子几何张量可以是复数，它的实部为量子度规，而虚部是众所周知的贝里曲率。贝里曲率及其相关的物理现象已经被广泛研究，如Ahoranov-Bohn效应，贝里相位、量子霍尔效应，以及最近的热点领域-拓扑绝缘体。在图1的参数空间中，两点之间的几何特征由复量子几何张量确定，其虚部为贝里曲率，对应的几何意义为波函数在两参数点之间的几何相位差。贝里曲率在二维体系中的积分是陈数，这是量子霍尔效应中的拓扑不变量。而几何张量的实部对应于两点之间的距离（度规）。度规可用来计算欧拉数，典型图形中，（b）圆的欧拉数为2；(c)圆环的欧拉数为0。
图1: （a）参数空间中波函数在两点之间的几何特征由复量子几何张量确定，其中实部对应于两点之间的距离（度规），虚部对应于两点之间的几何相位差。度规可用来计算欧拉数，典型图形中，（b）圆的欧拉数为2；(c)圆环的欧拉数为0.
相比于贝里曲率及其相关的物理现象被广泛研究，量子度规在理论和实验方面研究得很少。理论上发现它和量子相变，平带中的超流和一些拓扑相变相关。实验上，目前为止也仅有另外两篇实验论文贴在arXiv中（arXiv1811.12840;arXiv:1901.03219）。
在协作研究组的这个工作中，我们采用两种实验方法，在超导量子比特中实验直接测量了量子度规张量。超导量子比特是一个可以用微波很好调控的二能级量子系统，它也可以用来模拟凝聚态物理中的各种二能带模型。理论上，该体系的参数空间是一个单位球面。而该体系的纯态也可用Bloch球面来表示，球面上的每一点对应于一个量子态。第一种实验方法为协作组独立提出。在取定参数空间的点（θ，φ）情况下，把超导比特初态制备在对应哈密顿量的基态，然后快速沿θ或φ，或θ+φ方向把哈密顿量移动一小段距离，然后测量移动后在激发态的占据数。协作组从理论上证明，根据测量到的激发态占据数可以直接计算出此参数点（θ，φ）的量子度规。另一种方法由Ozawa & Goldman去年提出。类似第一种方法的过程，但把哈密顿量移动一小段距离改为在参数点（θ，φ）加一个沿θ或φ，或θ+φ方向的周期性弱驱动；可以证明，根据激发态的占据数可以直接计算出此参数点的量子度规。协作组用超导比特做了这两个方法的实验，实验结果见图2和图3。对照一下实验数据，可以发现第一种方法采集到的实验数据方差更小。根据实验数据，协作组也计算了体系的欧拉数，实验结果见图3。它可以用来表征一类拓扑相变。
图2 ：第一种方法探测到的量子度规。(a)实验探测过程。实验探测和理论计算到的（b）基态，（c）激发态度规。
图3 ：第二种方法（弱周期驱动）探测到的量子度规。(a)实验探测过程。（b）实验探测和理论计算到的上能态占据数。（c）实验探测和理论计算到基态度规。
图4：(a)实验探测和理论计算出的度规。（b）拓扑量随参数h的变化。
在这个工作中，协作组也采用线性响应理论测量了体系的贝里曲率，因而可以用实验数据完整地测量到整个量子几何张量，从而可以从实验角度完美地刻画量子体系的希尔伯特空间几何。该工作完成的实验直接测量量子度规张量很有意义，为度规张量在量子力学的进一步研究迈出了第一步。
南京大学的谭新生研究员和华南师范大学的张丹伟副教授是该论文的共同第一作者，南京大学的朱诗亮、于扬教授为通讯作者。南京大学于海峰教授、华南师范大学颜辉教授，以及于扬教授、朱诗亮教授的部分研究生参与了研究工作。该工作得到科技部重点研发计划、国家自然科学基金委等的资助。
（物理学院 科学技术处）
