2013年全国硕士研究生入学统一考试
《数学分析》课程考试大纲
一、试卷满分及考试时间
试卷满分150分，考试时间3小时
二、试题题型结构
计算题，证明题
三、主要参考书
《数学分析》, 华东师范大学数学系编，高等教育出版社，第三版
四、试卷考查内容比例
1.实数集与函数，数列极限，函数极限，函数的连续性.（15%）
2. 导数与微分，微分学基本定理与不定式极限，运用导数研究函数性质.（15%）
3. 不定积分，定积分，定积分的应用.（15%）
4. 数项级数，函数列与函数项级数，幂级数，付里叶级数.（15%）
5 多元函数的极限与连续，多元函数的微分学.（15%）
6．隐函数定理及其应用.（5%）
7．重积分，含参量非正常积分.（10%）
8．曲线积分与曲面积分.（10%）
五、考查内容
(一) 实数集与函数
（1）理解确界的概念，掌握确界原理。
（2）理解函数的概念，理解函数奇偶性、单调性、周期性和有界性的概念。
(二) 数列极限
（1）理解数列极限概念及收敛数列的性质，掌握数列极限存在的充要条件。
（2）掌握求数列极限的基本方法。
(三) 函数极限
（1）理解函数极限的概念及函数极限的性质，掌握函数极限存在的充要条件。
（2）掌握两个重要极限。
（2）掌握求函数极限的基本方法。
（3）理解无穷小量、无穷大量的概念。
(四) 函数的连续性
（1）理解函数连续性的概念。
（2）掌握连续函数的性质，反函数的连续性，理解一致连续性。
(五) 导数与微分
（1）理解导数和微分的概念。
（2）掌握导数和微分的运算法则。
（3）了解微分在近似计算中的应用。
（4）理解高阶导数的概念。
(六) 微分中值定理及其应用
（1）理解罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理以及泰勒公式。
（2）掌握洛必达法则。
（3）掌握用导数判断函数的极值、最值、单调性、凹凸形、拐点、渐近线的方法。
（4）会描绘简单函数的图形。
(七) 实数完备性定理
（1）掌握实数完备性定理，能较好地运用完备性定理解决有关问题。
（2）理解上极限、下极限概念。
(八) 不定积分
（1）理解不定积分的概念，掌握不定积分的性质。
（2）掌握不定积分的计算方法。
(九) 定积分
（1）理解定积分的概念，掌握定积分的性质，理解可积条件。
（2）理解微积分基本定理，掌握定积分的计算方法。
(十) 定积分的应用
掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量：平面图形的面积，平面曲线的弧长，旋转体的体积及侧面积，变力作功，重心等。
（十一）反常积分
（1）掌握反常积分概念。
（2）掌握两类反常积分的性质及收敛判别方法。
(十二) 数项级数
（1）理解数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念。
（2）掌握正项级数敛散判别法。
（3）掌握交错级数的莱布尼兹判别法，了解任意项级数绝对收敛和条件收敛的概念。
(十三) 函数列与函数项级数
（1）理解函数列和函数项级数的一致收敛性的概念。
（2）掌握一致收敛性的判别方法。
（3）掌握一致收敛函数列与函数项级数的性质。
(十四) 幂级数
（1）掌握幂级数的收敛区间，理解幂级数的基本性质。
（2）掌握的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数间接展开为幂级数。
(十五) 傅里叶级数
（1）理解傅里叶级数的概念，掌握付里叶级数的收敛定理。
（2）理解周期函数的傅里叶级数，偶函数和奇函数的傅里叶级数。
(十六) 多元函数的极限与连续
（1）理解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质。
（2）了解重极限与累次极限之间的关系。
(十七) 多元函数的微分学
（1）理解多元函数偏导数和全微分的概念，掌握偏导数和全微分的计算，掌握全微分存在的必要条件和充分条件。
（2）理解方向导数与梯度的概念。
（3）掌握二元函数的泰勒公式。
（4）掌握二元函数的极值、最值得计算。
(十八) 隐函数定理及其应用
（1）理解隐函数，隐函数组，反函数组存在定理，会求隐函数(包括由方程组确定的隐函数)的偏导数。
（2）理解多元函数条件极值的概念，会用拉格朗日乘数法求条件极值。
(十九) 重积分
（1）理解二重积分、三重积分的概念。
（2）掌握二重积分(直角坐标，极坐标)的计算方法。
（3）掌握三重积分(直角坐标，极坐标，球面坐标)的计算方法。
（4）会用重积分解决一些实际应用问题。
(二十)含参量非正常积分
（1）掌握含参量非正常积分的一致收敛概念及判别法。
（2）掌握含参量非正常积分的性质。
（3）了解欧拉积分。
(二十一) 曲线积分与曲面积分
（1）理解两类曲线积分和两类曲面积分的概念，了解它们的性质及两类曲线积分的关系,两类曲面积分的关系。
（2）掌握两类曲线积分和两类曲面积分的计算方法，掌握格林公式、高斯公式、斯托克斯公式，了解散度与旋度的概念。
2013年全国硕士研究生入学统一考试
《高等代数》课程考试大纲
一、试卷满分及考试时间
试卷满分150分，考试时间3小时
二、试题题型结构
计算题，证明题
三、主要参考书
《高等代数》，北京大学数学系编，（第三版）高等教育出版社
四、试卷考查内容比例
多项式理论（10%）行列式（8%） 线性方程组（15%）矩阵（15%） 线性空间（10%）
线性变换（15%）矩阵（7%） 欧氏空间（10%） 二次型，双线性函数 （10%）
五、考查内容
（一）多项式
（1）掌握一般数域上一元多项式的概念。
（2）理解整除的概念与性质，掌握带余除法定理。
（3）掌握最大公因式的概念，掌握最大公因式的计算，掌握互素的概念与性质。
（4）理解不可约多项式的概念和性质，掌握因式分解唯一性定理。
（5）掌握重因式的概念，掌握多项式有无重因式的判别方法。
（6）理解多项式根的概念及性质，有无重根的判别方法。
（7）掌握复数域和实数域上多项式因式分解定理。
（8）掌握有理系数多项式的基本性质，整系数多项式的有理根的计算，整系数多项式在有理数域上可约的讨论。
（二）行列式
（1）掌握排列，逆序，逆序数，奇、偶排列，对换等有关概念及其性质。
（2）掌握行列式的概念、性质及其基本计算方法。
（3）掌握Cramer法则和Laplace定理。
（三）线性方程组
（1）掌握用消元法解线性方程组。
（2）掌握向量线性相关性的概念，特别是线性相关和线性无关的概念及其性质，理解向量组的秩的概念及其性质。
（3）掌握矩阵的秩的概念，理解矩阵的秩和行列式的关系。
（4）掌握线性方程组有解的判别定理，解的结构问题。
（四）矩阵
（1）掌握矩阵的运算及相关性质。
（2）掌握可逆矩阵的概念，矩阵可逆的充要条件，逆矩阵的计算方法。
（3）掌握矩阵的初等变换和初等矩阵的概念以及它们之间的联系，理解矩阵等价的概念及其充要条件。
（4）掌握分块矩阵的概念，分块矩阵的乘法，分块矩阵的应用。
（五）二次型
（1）掌握二次型的概念，二次型的矩阵。。
（2）掌握化二次型为标准形的方法，矩阵合同的概念与性质。
（3）理解实数域和复数域上二次型的标准形及唯一性，惯性定理，复、实对称矩阵的规范型。
（4）掌握正定和半正定二次型的概念及其判别方法，正定矩阵和半正定矩阵的概念及其性质。
（六）线性空间
（1）掌握线性空间的定义和基本性质。
（2）掌握维数，基，坐标的概念及其计算，理解基与基之间的关系。
（3）掌握子空间的概念及其判定方法，掌握子空间交与和的概念及其计算，掌握子空间直和的概念及其判定方法。
（4）理解线性空间同构的概念。
（七）线性变换
（1）理解线性变换的定义，掌握线性变换的运算。
（2）掌握线性变换的矩阵的概念及其计算，掌握有限维线性空间上的线性变换与矩阵的关系。
（3）理解特征值、特征向量的概念及其性质，掌握特征子空间的定义，掌握特征值与特征向量的计算方法。
（4）掌握矩阵与对角形矩阵相似的充要条件。
（5）理解线性变换值域与核的概念及其计算，掌握线性变换的秩与零度之间的关系。
（6）理解不变子空间的概念。
（7）理解最小多项式的概念及其计算。
（八）λ—矩阵
（1）理解λ—矩阵的概念及λ—矩阵在初等变换下的标准形。
（2）理解矩阵的不变因子、初等因子的概念及其计算方法。
（3）掌握矩阵相似的充要条件。
（4）理解矩阵Jordan标准形的概念及其计算方法。
（九）欧几里得空间
（1）掌握欧几里得空间的概念。
（2）理解正交基、标准正交基的概念，掌握Schimidt正交化过程。
（3）掌握正交变换的概念及其性质，掌握正交矩阵的概念及其性质。
（4）理解欧氏空间的子空间的正交补的概念。
（5）掌握将实对称矩阵正交相似对角形矩阵的方法。
（6）了解向量到子空间的距离。
（十）双线性函数
（1）了解线性函数的基本概念，掌握其基本性质。
（2）了解双线性函数、对称双线性函数的基本概念和基本性质，会利用矩阵来研究它们。
（3）能把二次型、欧氏空间中的部分内容统一到双线性函数的概念下来。
