《高等数学》考试大纲

一、试卷满分及考试时间

试卷满分：150分；考试时间：180分钟。

二、试题题型结构

填空题；选择题；解答题（包括证明）。

三、主要参考书

同济大学编：《高等数学》（第6版），高等教育出版社，2007年版。

四、考查内容

(一)、函数、极限、连续

1. 理解函数的概念及函数奇偶性、单调性、周期性、有界性。

2. 理解复合函数和反函数的概念。

3. 熟悉基本初等函数的性质及其图形。

4. 会建立简单实际问题中的函数关系式。

5. 理解极限的概念，掌握极限四则运算法则及换元法则。

6. 理解子数列的概念，掌握数列的极限与其子数列的极限之间的关系。

7. 理解极限存在的夹逼准则，了解实数域的完备性(确界原理、单界有界数列必有极限的原理，柯西(Cauchy)，审敛原理、区间套定理、致密性定理)。会用两个重要极限求极限。

8. 理解无穷小、无穷大、以及无穷小的阶的概念。会用等价无穷小求极限。

9. 理解函数在一点连续和在一个区间上连续的概念，了解间断点的概念，并会判别间断点的类型。

10. 了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质(介值定理，最大最小值定理，一致连续性)。

(二)、一元函数微分学

1. 理解导数和微分的概念，理解导数的几何意义及函数的可导性与连续性之间的关系。会用导数描述一些物理量。

2. 掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法，掌握基本初等函数、双曲函数的导数公式。了解微分的四则运算法则和一阶微分形式不变性。

3. 了解高阶导数的概念。

4. 掌握初等函数一阶、二阶导数的求法。

5. 会求隐函数和参数式所确定的函数的一阶、二阶导数。会求反函数的导数。

6. 理解罗尔(Rolle)定理和拉格朗日(Lagrange)定理，了解柯西(Cauchy)定理和泰勒(Taylor)定理。

7. 会用洛必达(L’Hospital)法则求不定式的极限。

8. 理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求极值的方法。会求解较简单的最大值和最小值的应用问题。

9. 会用导数判断函数图形的凹凸性，会求拐点，会描绘函数的图形(包括水平和铅直渐进线)。

10. 了解有向弧与弧微分的概念。了解曲率和曲率半径的概念并会计算曲率和曲率半径。

11. 了解求方程近似解的二分法和切线法。

（三）、一元函数积分学

1. 理解原函数与不定积分的概念及性质，掌握不定积分的基本公式、换元法和分步积分法。会求简单的有理函数及三角函数有理式的积分。

2. 理解定积分的概念及性质，了解函数可积的充分必要条件。

3. 理解变上限的积分作为其上限的函数及其求导，掌握牛顿(Newton)莱布尼兹(Leibniz)公式。

4. 掌握定积分的换元法和分步积分法。

5. 了解广义积分的概念及广义积分的换元法和分步积分法。了解广义积分的比较审敛法和极限审敛法，了解广义积分的绝对收敛与条件收敛的概念。

6. 了解函数及其主要性质。

7. 了解定积分的近似计算法(矩形法、梯形法、抛物线法)。

8. 掌握用定积分表达一些几何量与物理量(如面积、体积、弧长、功、引力等)的方法。

（四）、向量代数与空间解析几何

1. 会计算二阶、三阶行列式。

2. 理解空间直角坐标系。

3. 理解向量的概念及其表示，掌握向量的运算(线性运算、数量积、向量积、混合积)，掌握两个向量垂直、平行的条件。

4. 掌握单位向量、方向余弦、向量的坐标表达式以及用坐标表达式进行向量运算的方法。

5. 掌握平面的方程和直线的方程及其求法，会利用平面、直线的相互关系解决有关问题。

6. 理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其图形，了解以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。

7. 了解空间曲线的参数方程和一般方程。

8. 了解曲面的交线在坐标平面上的投影。

（五）、多元函数微分学

1. 理解多元函数的概念。

2. 了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质。

3. 理解偏导数和全微分的概念，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解一阶全微分形式的不变性。

4. 了解方向导数与梯度的概念及其计算方法。

5. 掌握复合函数一阶偏导数的求法，会求复合函数的二阶偏导数。

6. 会求隐函数(包括由两个方程组成的方程组确定的隐函数)的偏导数。

7. 了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面与法线，并会求它们的方程。

8. 理解多元函数极值与条件极值的概念，会求多元函数的极值。了解求条件极值的拉格朗日乘数法，会求解一些较简单的最大值和最小值的应用问题。了解最小二乘法。

9. 了解二元函数的泰勒公式。

10. 了解向量函数与矢端曲线的概念，了解向量函数的导向量与微分的概念。

（六）、多元函数积分学

1. 理解二重积分、三重积分的概念及性质。

2. 掌握二重积分的计算方法(直角坐标、极坐标)，了解三重积分的计算方法(直角坐标、柱面坐标、球面坐标)。了解重积分的换元法。

3. 理解两类曲线积分的概念、性质及相互间关系，掌握两类曲线积分的计算方法。

4. 掌握格林(Green)公式及平面曲线积分与路径无关的条件。

5. 理解两类曲面积分的概念、性质及相互间的关系，会计算两类曲面积分。

6. 掌握高斯公式，了解曲面积分与曲面形状无关的条件。

7. 了解斯托克斯(Stokes)公式。

8. 了解数量场、向量场及向量微分算子Ñ 的概念，了解散度、旋度的概念及其计算公式，了解无源场、无旋场及调和场的概念。

9. 会用重积分和曲线积分以及曲面积分求一些几何量与物理量(如体积、曲面面积、弧长、质量、重心、转动惯量、引力、功、通量等)。

（七）、无穷级数

1. 理解无穷级数收敛、发散以及和函数的概念，熟悉无穷级数基本性质及收敛的必要条件。

2. 掌握几何级数和p--级数的收敛性。

3. 了解正项级数的比较审敛法和极限审敛法，掌握正项级数的比值审敛法。

4. 了解交错级数的莱布尼兹定理，会估计交错级数的截断误差。

5. 了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系。了解绝对收敛级数的一些基本性质。

6. 理解函数项级数的收敛域及和函数的概念。了解函数项级数的一直收敛性。

7. 掌握比较简单的幂级数收敛域的求法。

8. 了解幂级数在其收敛区间内的基本性质。

9. 了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。

10. 会利用和的马克劳林(Maclaurin)展开式将一些简单的函数间接展开成幂级数。

11. 了解幂级数在近似计算上的简单应用。

12. 了解函数展开为傅里叶(Fourier)级数的狄利克雷(Dirichlet)条件，会将定义在和上的函数展开为傅里叶级数，并会将定义在上的函数展开为正弦或余弦级数。

（八）、常微分方程

1. 了解微分方程、解、阶、通解、初始条件和特解等概念。

2. 掌握变量可分离的方程及一阶线性方程的解法。会解齐次方程和伯努利(Bernoulli)

方程，了解用变量代换求解方程的思想。

3. 会解全微分方程，能观察出最简单的积分因子。

4. 会用降阶法解下列方程：

，和.

5. 了解一阶微分方程解的存在性与唯一性定理及求近似解的步骤。了解奇解的概念。

6. 理解线性微分方程解的结构，了解常数变易法。

7. 掌握常系数齐次线性方程的解法，会求自由项形如

和

的常系数非齐次线性方程的特解。

8. 了解常系数线性方程组及尤拉(Euler)方程的解法。

9. 了解幂级数解法及勒让德(Legendre)函数。

10. 会用微分方程解一些简单的几何问题和物理问题。

《普通物理学》考试大纲

一、试卷满分及考试时间

1、卷面总分：150分。

2、考试时间：3小时。

二、试题题型结构

填空题；选择题；计算、证明题等。

三、主要参考书

程守洙，江之永：《普通物理学》（第6版）（电磁学、光学、原子物理部分），高等教育出版社，2006年版。

四、考查内容

第八章 真空中的静电场

1、基本内容：

库仑定律、电场、电场强度、电场线，电通量，高斯定理，电场力的功、静电场的环路定理，电势能，电势，电势差，等势面，场强与电势的梯度关系。

2、考查要求：

（1）了解静电现象，了解电荷量子化概念和电荷守恒定律。

（2）掌握库仑定律及其适用条件，掌握用库仑定律和电场叠加原理计算电场强度。

（3）理解电场线和电通量的概念，理解并能应用高斯定理计算电荷对称分布的带电系统的电场强度。

（4）掌握静电力作功与路径无关的特征，理解静电场环路定理的物理意义。掌握电势的概念，会用电势叠加原理和电场强度积分方法计算点电荷，点电荷系和具有简单几何形状的带电体形成的电势分布。

（5）理解电势梯度的概念，掌握用电势梯度计算电场强度的方法。

第九章 导体和电介质中静电场

1 基本内容：

静电场中的导体、电介质及其极化，电容和电容器，电介质中的电场，电位移矢量，有介质时的高斯定理，电场的能量。

2 考查要求：

(1) 掌握导体静电平衡的条件和静电平衡条件下导体的性质，并能利用静电平衡条件解决有关问题。

(2) 理解电容的定义，掌握典型电容器电容的计算方法。

(3) 了解电介质极化的微观机制，理解电介质对静电场的影响，掌握介质中静电场的基本规律，掌握应用介质中的高斯定理求解介质中静电场的电位移矢量和电场强度的计算方法。

(4) 理解静电场能量的概念，能计算一些对称情况下的电场能量。

第十章 恒定电流和恒定电场

1、基本内容：

稳恒电流、稳恒电场，电源，电动势，电流密度，欧姆定律的微分公式，电流的功、功率，焦耳定律及其微分形式，闭合电路和一段含源电路的欧姆定律，基尔霍夫定律及其应用。

2、考查要求：

（1）了解建立稳恒电场和稳恒电流的条件，理解电源电动势的概念。

（2）理解电流密度的概念，熟悉欧姆定律和焦耳－楞次定律的微分形式。

（3）掌握闭合电路的欧姆定律、一段含源电路的欧姆定律及其应用。

（4）掌握用基尔霍夫定律求解复杂电路的方法。

第十一章 真空中的恒定磁场

1、基本内容：

基本磁现象，磁场，磁感应强度，磁通量，磁场中的高斯定理，毕奥一萨代尔定律，安培环路定理，安培力，安培定律，磁矩，磁场对载流线圈的作用，磁力的功，平行电流间的作用，洛仑兹力，质谱仪，霍耳效应。

2、考查要求：

(1) 掌握磁感应强度的概念及磁场叠加原理，掌握毕奥－萨伐尔定律，并能计算一些典型问题的磁感应强度。

(2) 理解反映磁场性质的两个定理——高斯定理和安培环路定理，掌握用安培环路定理计算磁感应强度的方法。

(3) 掌握洛仑兹力公式及其物理意义，会计算运动电荷在磁场中所受的力，并能分析在匀强磁场中电荷的运动规律。

(4) 理解安培定律和磁矩的概念，并能计算简单几何形状的载流导体和载流平面线圈在磁场中所受到的安培力和磁力矩。

(5) 理解磁力和磁力矩做功的概念，会计算磁力及磁力矩的功。

第十二章 磁介质中的磁场

1、基本内容：

磁介质及其磁化，磁化强度， 磁化电流，磁场强度，有磁介质时的安培环路定理，铁磁质。

2、考查要求：

（1）了解磁介质磁化现象及其微观解释。

（2）了解磁化强度的物理意义，了解磁感应强度、磁场强度和磁化强度的关系。

（3）理解磁介质中的安培环路定理。能应用磁介质中的安培环路定理计算某些具有对称性的磁场分布。

（4）了解铁磁质的特性。

第十三章 电磁感应和暂态过程

1、基本内容：

电磁感应的基本定律，动生电动势和感生电动势，涡旋电场，涡电流及应用，自感应与互感应，电感和电容电路的暂态过程，磁场的能量。

2、考查要求：

（1）掌握法拉第电磁感应定律和楞次定律，并能熟练应用。

（2）理解动生电动势的概念，掌握简单形状的导体在匀强和非匀强磁场中运动时产生的动生电动势的计算方法。

（3）理解感生电动势和感生电场（涡旋电场）的概念，了解感生电场与静电场的区别。能够计算简单情况下的感生电场强度与感生电动势。

（4）理解自感和互感的概念，能对简单回路的自感系数和自感电动势、互感系数和互感电动势进行计算。

（5）理解RL电路和RC电路的暂态过程，并能对简单问题进行计算。

（6）理解磁场能量和磁能密度的概念，并能计算简单情况下的磁场能量。

第十四章 麦克斯韦方程组 电磁场 电磁振荡与电磁波

1、基本内容：

位移电流，麦克斯韦方程组，电磁振荡，电磁波。

2、考查要求：

（1）理解麦克斯韦电磁场理论的两个基本假设：

① 变化的磁场激发电场；② 变化的电场激发磁场。

（2）理解位移电流和全电流的概念，会计算位移电流密度和位移电流强度。

（3）理解麦克斯韦方程组（积分形式）的物理意义。

（4）了解电磁场的物质性。

（5）理解电磁振荡原理，了解电磁波的产生与传播及其重要性质。

第十五章 机械振动

1、基本内容：

谐振动的特征及其表达式，描述谐振动的特征量，谐振动的旋转矢量图示法，谐振动的能量，用能量法解谐振动问题，阻尼振动，受迫振动，共振，同一直线上两个同频率的谐振动的合成，同一直线上两个不同频率的谐振动的合成拍，二维简谐振动的合成。

2、考查要求：

（1）掌握描述简谐振动的各个物理量的物理意义及各量间的关系。

（2）掌握简谐振动的基本特征，能建立一维简谐振动的微分方程，能根据给定的初始条件写出一维简谐振动的振动表式，并理解其物理意义。掌握描述简谐振动的解析法、旋转矢量法和图线表示法。了解阻尼振动、受迫振动。

（4）掌握同方向、同频率简谐振动的合成规律及合振幅极大、极小的条件。了解拍和相互垂直简谐运动合成的特点。

第十六章 机械波

1、基本内容：

机械波产生的条件，横波和纵波，波长、频率和波速间的关系。平面简谐波的波动表式，波的能量，波的强度，惠更斯原理，波的衍射，波的叠加原理，波的干涉，驻波，半波损失，多普勒效应。

2、考查要求：

（1）理解机械波产生与传播的条件，理解描述波动的物理量——周期、频率、波长和波速等的物理意义及其关系。

（2）掌握由质点的谐振动表式建立平面简谐波波动表式的方法和波动表式的物理意义。理解波形曲线，并会运用波形曲线分析和解决有关波动问题。

（3理解波的能量、能流及能流密度等概念，了解波动能量和振动能量的特征和不同点。

（4了解惠更斯原理，理解波的叠加原理，理解波的相干条件，能应用相位差和波程差分析、确定相干波叠加后振幅加强和减弱的条件。理解驻波及其形成条件，驻波与行波的区别，能确定波腹、波节的位置。

（5）了解多普勒效应及其产生的原因。

第十七章 波动光学

1、基本内容：

相干光源，双缝干涉，双镜、洛埃镜干涉，劈尖，牛顿环，干涉仪，干涉现象的应用；惠更斯—菲涅耳原理，单缝和圆孔的夫琅和费衍射，光学仪器的分辨率，衍射光栅；自然光和线偏振光，偏振片的起偏与检偏，马吕斯定律，反射与折射时光的偏振。

2、考查要求：

（1）理解获得相干光的方法。掌握光程的概念及光程差合相位差的关系，会判断在给定情况下有无半波损失。掌握杨氏双缝干涉和薄膜等厚干涉的规律，能分析、确定其干涉条纹的位置；理解增透膜、增反膜的工作原理和应用；了解迈克尔逊干涉仪的工作原理。

（2）了解惠更斯－菲涅耳原理，理解分析单缝夫琅禾费衍射明、暗纹分布规律的方法——半波带法，会分析缝宽及波长对衍射条纹分布的影响。理解单缝衍射条纹的光强分布曲线。理解瑞利判据，能定性分析衍射对光学仪器分辨能力的影响。

（3）掌握光栅方程，会确定光栅衍射谱线的位置；会分析光栅常量及波长对光栅衍射谱线分布的影响；理解光栅缺级现象。

（4）理解自然光和偏振光的概念及获得和检验偏振光的方法，理解反射光和折射光的偏振特性，掌握马吕斯定律和布儒斯特定律及其应用，了解光的双折射现象。

第十八章 早期量子论和量子力学基础

1、基本内容：

热辐射、绝对黑体，基尔霍夫定律，绝对黑体的辐射定律，普朗克量子假说，普朗克公式，光电效应，爱因斯坦的光子理论，康普顿效应；原子光谱的实验规律，玻尔的氢原子理论，波粒二象性，不确定度关系，波函数，薛定谔方程，势阱中的粒子, 量子力学中的氢原子问题，原子的电子壳层结构。

2、考查要求：

（1）了解黑体模型、单色辐出度的概念，了解普朗克的量子假设，掌握黑体辐射的实验规律。

（2）理解光电效应和康普顿效应的实验规律及爱因斯坦的光子理论对这两个效应的解释。能用爱因斯坦方程进行简单计算，理解光的波粒二象性及联系波粒二象性的基本公式。

（3）理解氢原子光谱的实验规律及玻尔理论的基本假设。能用玻尔理论计算简单的氢原子光谱问题。

（4）了解德布罗意物质波的概念，理解物质波的波粒二象性及联系波粒二象性的基本公式。领会不确定度关系，会做简单计算。

（5）了解波函数及其统计解释，了解一维定态薛定谔方程及其波函数解一般必须满足的条件。了解量子力学处理问题的一般概念和方法，了解定态薛定谔方程的求解方法，理解一维无限深势阱中粒子的波函数及运动特征。

（6） 理解描述原子中电子运动状态的四个量子数及其物理意义，理解泡利不相容原理，了解原子的电子壳层结构。