介玉新¹, 傅志斌², 王杨强¹, 殷常运¹
1. 清华大学 水沙科学与水利水电工程国家重点实验室, 北京 100084;
2. 建设综合勘察研究设计院有限公司, 北京 100007
收稿日期：2022-11-22
基金项目：国家自然科学基金项目(52090081, 52108372);青年北京****基金(2017A30);广西岩土力学与工程重点实验室开放基金项目(15-KF-01)
作者简介：介玉新(1970—), 男, 教授。E-mail: jieyx@tsinghua.edu.cn

摘要：在大面积人工填土的地基承载力计算中, 中国现行《建筑地基基础设计规范》(以下简称《规范》)不考虑对基础宽度的修正, 得到的地基承载力偏小, 对工程安全有利, 但在一些情况下却不够经济。该文对这一问题进行探讨, 分析了地基承载力的定义、度量方法、相关理论原理和容许承载力的取值方法, 探讨并推测了此前在人工填土、软弱下卧层等地基承载力修正系数选择上的可能依据。考虑到当前施工和监测技术相较于早期规范制定时已有很大进步, 认为在满足一定条件下可考虑修正地基承载力宽度, 并且可适当提高现有的深度和宽度修正系数取值。
关键词：地基极限承载力容许承载力深度修正系数宽度修正系数
Analysis of depth and width correction factors for bearing capacity of foundation soil
JIE Yuxin¹, FU Zhibin², WANG Yangqiang¹, YIN Changyun¹
1. State Key Laboratory of Hydroscience and Engineering, Tsinghua University, Beijing 100084, China;
2. China Institute of Geotechnical Investigation and Surveying Ltd, Beijing 100007, China

Abstract: [Objective] The determination of bearing capacity of foundation soil is one of the classical research fields of soil mechanics. For large area artificial fill projects, the current specifications of China do not consider the correction factor of foundation width in the calculation of bearing capacity. This paper discusses this problem, and investigates the definition and measurement methods of the foundation bearing capacity, related theoretical principles, and the method of determining allowable bearing capacity. We also discuss and speculate the possible basis for the selection of correction factors of the bearing capacity of foundation soil made of artificial fill and soft underlying stratum. It may provides theoretical guidance for width and depth correction of bearing capacity of foundation soil in large area artificial fill under current technical conditions. [Methods] In this paper, two main approaches for calculating bearing capacity of foundation soil are studied. One is to determine the bearing capacity of the foundation soil according to the extension range of the plastic zone; the other is to use the ultimate load as the ultimate bearing capacity, and then divide it by the safety factor to obtain the bearing capacity. The width and depth correction of bearing capacity is also based on these theories. We reviews the sources of the calculation method of bearing capacity together with the width and depth correction factors in the current specifications of China. On the basis of deriving the calculation formula and analyzing the principle of bearing capacity of foundation soil, two cases are investigated in this paper: one is a homogeneous foundation soil, and the other is that the shear strength of the soil outside the foundation boundaries is lower than the foundation soil. The possible essence for the correction factors of the bearing capacity is then discussed in order to guide the determination of the width and depth correction factors for large area artificial fill. [Results] For large area artificial fill projects, the correction factor of width is not considered in current specifications of China. The main reasons may be as follows: 1) The compaction quality of the foundation soil is not be able to guarantee easily. 2) The quality control standard of the soil under the foundation is stricter than that outside the foundation boundaries. 3) Post-construction settlement may occur for artificial fill. Since that the existing construction technology and quality control level has made great progress compared to the past, it is theoretically feasible to increase the correction factors of width and depth for large area artificial fill such as in island and reef. However, the following items are needed: 1) The degree of compaction should meet the requirement in the fill site. 2) The engineering quality of the fill outside the foundation boundaries should also be guaranteed not to be lower than the foundation soil. 3) Settlement calculation of the buildings are necessary. [Conclusions] Based on the theories of determining the bearing capacity of the foundation soil, this paper investigates the method of selecting the values of correction factors of width and depth. It is thought that the correction factors of width and depth can be appropriately increased under certain conditions for large area artificial fill. This will have good economic benefits, especially for offshore islands and reefs.
Key words: foundation soilultimate bearing capacityallowable bearing capacitycorrection factor of depthcorrection factor of width
对于建筑场地来说，地基承载力是岩土工程中常用的一个术语，其定义是：地基承载力是地基承受荷载的能力，数值上用地基单位面积上所能承受的竖向荷载来度量。地基承载力决定了在一些上部结构的荷载作用下地基能处于稳定状态，保证上部结构的安全，而在另外一些情况下，地基则可能失稳，导致上部结构破坏。地基承载力可以通过生产实践和感性认识定性感知，同时需要进行量化将定性认识上升到定量认识和理论的层面，量化地基承载力便于比较大小和进行其他运算。定义中给出的度量方法为用所能承受的“竖向”荷载来度量。需要说明的是，度量方法除了用竖向荷载，也可以用水平向、或某一角度的荷载度量，甚至可以用地基所能承受的扭矩度量。采用竖向荷载是最方便的度量方式，也是地基常见的受荷方式，其具有代表性，因而地基承载力对应的荷载方向默认为竖直方向。
抗剪强度是决定地基承载力的内在因素，抗剪强度对应的度量指标是黏聚力c和内摩擦角φ。但不方便用强度指标直接判断特定地基上能否建造某一建筑物。
承载力通常指容许承载力，此外还有极限承载力。极限承载力是指地基承受荷载的极限能力，数值上用地基单位面积上所能承受的竖向极限荷载度量。在教科书中用理论公式计算地基极限承载力时，实际计算的是地基处于极限平衡状态下对应的竖向极限荷载，也就是，之所以直接用Prandtl-Reissner公式或Terzaghi公式计算所得的极限荷载作为地基的极限承载力，其逻辑上依据的是关于地基承载力度量方式的规定^[1-5]。
容许承载力在教科书中则有2种表述：一种是指保留足够安全储备，且满足一定变形要求的承载力，即能够保证建筑物正常使用所要求的地基承载力，在承载力确定时还考虑变形因素；另一种关于地基容许承载力的表述则仅指保留一定安全储备的承载力，即仅将极限承载力除以某一安全系数作为容许承载力。一般而言，实际生产中采用第一种定义，即考虑一定的变形要求。但在很多情况下，还需要在地基承载力之外进行地基沉降验算，此时容许承载力则更接近第二种定义方式。由于土的破坏可认为是变形的一种特殊形式，一般也不严格区分这2种容许承载力的定义方式。
在英文教科书中，极限承载力一般写为ultimate bearing capacity，容许承载力则有allowable / permissible / safe bearing capacity等多种称谓^[6-8]，一般而言，其含义是相同的。但Smith^[6]则把极限承载力除以一定安全系数的容许承载力称为safe bearing capacity，而把考虑强度和沉降要求，且扣除地基土自重的净荷载称为allowable bearing pressure (原文定义为：The maximum allowable net loading intensity on the soil allowing for both shear and settlement effects)。虽然此处净载荷用“pressure(荷载)”，没有用“capacity(能力)”一词，但allowable bearing pressure隐含了承载力的概念，相当于容许承载力的第一种定义方式；而safe bearing capacity则相当于容许承载力的第二种定义方式，这是Smith^[6]个人的见解。
在国内的《建筑地基基础设计规范》(GB50007—2011) (以下简称《规范》)^[9]中，因不同需要，技术术语常会随《规范》修订而变化，同一规范不同时期名称不同，同一时期不同行业规范的术语也有所不同，会导致一些说法存在分歧。在与承载力有关的术语中，就有“承载力基本值”“承载力标准值”“承载力设计值”“承载力特征值”和“修正后的承载力特征值”等不同说法。本文主要从理论上探讨承载力及其修正的相关问题，因此采用“极限承载力”表达地基承受竖向荷载的极限能力，用“承载力”或“容许承载力”表达地基承受竖向荷载的容许能力。文[10-11]深入辨析了此方面的词义。
1 地基承载力计算原理1913年，加拿大特朗斯康谷仓失稳是典型的地基承载力不足导致的事故。1940年，纽约某水泥仓也发生失稳破坏。这2起事故是一般土力学教材中常引用的经典案例，此外鲜有因地基承载力不足这一单一因素导致整体失稳的案例。它也从另一方面说明当前国内外关于地基承载力的设计计算方法是较为合理的。
1920年Prandtl利用塑性力学取得了无埋深条形基础极限荷载的理论解，1924年Reissner将其推广到有埋深的情况，这是通过直接求解偏微分方程取得的理论情况下的结果，由于忽略了土的自重这一最重要因素，因此结果无法直接应用于实际工程。1943年Terzaghi在此基础上进行改造，使其得以实用化。在这方面有较大影响的还有Meyerhof(1963年)、Hansen(1970年)、Vesic(1973年)等。
容许承载力可以通过极限荷载来计算，其优点是在求解极限荷载中可直接引入极限平衡条件，这样相当于增加了一个方程。将所得到的极限荷载除以一个合适的安全系数，即可得到容许承载力。
另一种方法是直接求解容许承载力，求解公式来源于苏联****Пуэыревский^{[10, 12]}，在国内一般的教科书中均有介绍，但在欧美的教材中未见相关内容。其基本原理是计算出地基土中的应力，其中塑性区最大发展深度z_max=0，对应临塑荷载为p_cr；最大发展深度z_max=b/4(b为基底宽度)时，则可得临界荷载p_1/4；若取z_max=b/3，也可得到相应的临界荷载p_1/3。
具体到工程设计中，容许承载力一般按以下3种方法选择：
方法1：将极限荷载除以安全系数作为容许承载力，或取临塑荷载(p_cr)、临界荷载(p_1/4或p_1/3)作为容许承载力。在中国现行的《规范》中，容许承载力是基于p_1/4计算的(也进行了局部修正)^[9]。
注意在利用极限荷载获得容许承载力时，一些文献中使用的方法是将扣除了基底以上土的自重影响的“净”极限荷载除以安全系数，而基底以上土的自重则不折减，予以直接累加^{[6-7, 13]}。
方法2：根据载荷试验确定。
方法3：根据经验确定。即根据物性指标或原位测试结果，由经验确定。显然经验确定的依据也是基于方法1和2的理论原理。
根据载荷试验和经验确定的承载力需要进行深度和宽度修正，在现行《规范》^[9]中的规定为：当基底宽度大于3.0 m或埋置深度大于0.5 m时，由载荷试验或其他原位测试、经验值等方法确定的地基承载力特征值应修正为

$\boldsymbol{f}_{\mathrm{a}}=\boldsymbol{f}_{\mathrm{ak}}+\eta_b \boldsymbol{\gamma}(b-3)+\eta_d \boldsymbol{\gamma}_{\mathrm{m}}(d-0.5).$

(1)

其中：修正后的地基承载力特征值f_a的单位为kPa；f_ak为地基承载力特征值，即按方法2或3确定的容许承载力，kPa；η_b和η_d分别为基础宽度和埋置深度的地基承载力修正系数；γ为基础底面以下土的重度，kN/m³，地下水位以下取浮重度；γ_m为基础底面以上土的加权平均重度，kN/m³，位于地下水位以下的土层取有效重度；d为基础埋置深度，m；此公式当基础底面宽度小于3 m时，按3 m取值，大于6 m时，按6 m取值。
在《规范》所提供的表格中，η_b取值范围为0~3.0，η_d取值范围为1.0~4.4；对大面积压实填土，η_b取为0，即不考虑基础宽度对承载力的影响。《规范》所提供的取值对岛礁大面积填土情况下的承载力计算极为不利，会导致较高的工程造价。如果能结合珊瑚土内摩擦角普遍较高的事实，适当考虑基础宽度的影响，使地基承载力有所提高，就能取得很好的经济效益，尤其对于远海岛礁建设而言，其经济意义更为显著。
中国的地基承载力计算方法来源于苏联1955年版的《房屋和工业结构天然地基设计标准及技术规范》HNTY 127-55，1974年中国第一本《工业与民用建筑地基基础设计规范》TJ7-74^[14]编成。由于历史原因，目前尚不明确《规范》中深度和宽度修正系数取值的相关依据。由文[10]可知，在编制1974年版的《工业与民用建筑地基基础设计规范》时，根据大量载荷试验资料并进行统计分析，而后给出了各类土的承载力表，当时的深度和宽度修正方法也是为这批承载力表格的使用编制的。为验证这些修正系数，曾进行过一批载荷试验，但结果不理想，故而没有利用这些试验资料^[10]。历史资料还需进一步考证，本文主要从地基承载力的计算原理分析，推测二者的取值依据，并探讨提高深度和宽度修正系数的可能性。
1.1 按塑性区扩展范围确定承载力可用图 1的地基应力计算简图计算条形基础的容许承载力^[3]。在上部荷载p的作用下，地基中任一点ω所受到的附加应力为

$\left\{\begin{array}{l}\overline{\boldsymbol{\sigma}}_1=\frac{\boldsymbol{p}-\boldsymbol{\gamma}_{\mathrm{m}} d}{\pi}(2 \beta+\text{sin} 2 \beta), \\\overline{\boldsymbol{\sigma}}_3=\frac{\boldsymbol{p}-\boldsymbol{\gamma}_{\mathrm{m}} d}{\pi}(2 \beta-\text{sin} 2 \beta) .\end{array}\right.$

(2)

注：箭头指向为荷载作用方向。 图 1 地基应力计算简图

图选项

其中：$\overline{\boldsymbol{\sigma}}_1 $、$\overline{\boldsymbol{\sigma}}_3 $分别为附加压力(p-γ_md)引起的ω点的最大和最小主应力；2β为ω点与荷载两侧边缘连线的夹角，用弧度表示。
ω点处的自重应力为

$\left\{\begin{array}{l}\boldsymbol{\sigma}_{\mathrm{s} 1}=\boldsymbol{\gamma}_{\mathrm{m}} d+\boldsymbol{\gamma}z, \\\boldsymbol{\sigma}_{\mathrm{s} 3}=K_0\left(\boldsymbol{\gamma}_{\mathrm{m}} d+\boldsymbol{\gamma}z\right) .\end{array}\right.$

(3)

其中：σ_s1、σ_s3分别为ω点分别在竖直和水平方向上的最大和最小主应力；K₀为静止土压力系数；z为ω点到基底的垂直距离。
如果K₀≠0，则式(2)和(3)不能直接相加。假定K₀=1，自重应力就变为一个球应力，累加到式(2)，可得ω点受到的总应力为

$\left\{\begin{array}{l}\boldsymbol{\sigma}_1=\frac{\boldsymbol{p}-\boldsymbol{\gamma}_{\mathrm{m}} d}{\pi}(2 \beta+\text{sin} 2 \beta)+\boldsymbol{\gamma}_{\mathrm{m}} d+\boldsymbol{\gamma}z, \\\boldsymbol{\sigma}_3=\frac{\boldsymbol{p}-\boldsymbol{\gamma}_{\mathrm{m}} d}{\pi}(2 \beta-\text{sin} 2 \beta)+\boldsymbol{\gamma}_{\mathrm{m}} d+\boldsymbol{\gamma}z .\end{array}\right.$

(4)

按照Mohr-Coulomb理论，如果ω点处于极限平衡状态，则应该有

$\text{sin} \varphi=\frac{\boldsymbol{\sigma}_1-\boldsymbol{\sigma}_3}{\left(\boldsymbol{\sigma}_1+\boldsymbol{\sigma}_3\right)+2 \boldsymbol{c} \cdot \text{cot} \varphi} .$

(5)

将式(4)代入式(5)，可得

$z=\frac{\boldsymbol{p}-\boldsymbol{\gamma}_{\mathrm{m}} d}{\boldsymbol{\gamma} \pi}\left(\frac{\text{sin} 2 \beta}{\text{sin} \varphi}-2 \beta\right)-\frac{\boldsymbol{c} \cdot \text{cot} \varphi+\boldsymbol{\gamma}_{\mathrm{m}} d}{\boldsymbol{\gamma}}.$

(6)

其中，等式右边是与角度β有关的函数，对β求导得到

$z_{\max }=\frac{\boldsymbol{p}-\boldsymbol{\gamma}_{\mathrm{m}} d}{\boldsymbol{\gamma} \pi}\left(\text{cot} \varphi+\varphi-\frac{\pi}{2}\right)-\frac{\boldsymbol{c} \cdot \text{cot} \varphi+\boldsymbol{\gamma}_{\mathrm{m}} d}{\boldsymbol{\gamma}}.$

(7)

对应的β值为

$2 \beta=\frac{\pi}{2}-\varphi.$

(8)

取z_max=0，可得临塑荷载为

$\boldsymbol{p}_{\mathrm{cr}}=\boldsymbol{\gamma}_{\mathrm{m}} d \frac{\text{cot} \varphi+\varphi+\pi / 2}{\text{cot} \varphi+\varphi-\pi / 2}+\boldsymbol{c} \frac{\pi \cdot \text{cot} \varphi}{\text{cot} \varphi+\varphi-\pi / 2} .$

(9)

取z_max=b/4，可得临界荷载为

$\boldsymbol{p}_{1 / 4}=\boldsymbol{\gamma} b \frac{\pi}{4(\text{cot} \varphi+\varphi-\pi / 2)}+\boldsymbol{p}_{\mathrm{cr}} .$

(10)

式(10)中，φ=20°、30°和40°时，与γb相关的承载力系数分别为0.51、1.15和2.46。
内摩擦角φ=0时，式(5)对应的极限平衡条件变为

$\boldsymbol{\sigma}_1-\boldsymbol{\sigma}_3=2 \boldsymbol{c}.$

(11)

将式(11)代入式(4)，可得

$\frac{\boldsymbol{p}-\boldsymbol{\gamma}_{\mathrm{m}} d}{\pi} \cdot \text{sin} 2 \beta=\boldsymbol{c} .$

(12)

即，要使地基不出现塑性区，则p应满足的条件为

$\boldsymbol{p}<\boldsymbol{\gamma}_{\mathrm{m}} d+\frac{\pi \boldsymbol{c}}{\text{sin} 2 \beta}.$

(13)

式(13)右侧在2β=π/2时取得最小值，其对应的ω点的轨迹是以b为直径的一段圆弧。由此可得此时临塑荷载为

$\boldsymbol{p}_{\mathrm{cr}}=\boldsymbol{\gamma}_{\mathrm{m}} d+\pi \boldsymbol{c} .$

(14)

此外，一旦上部荷载大于(γ_md+πc)，其塑性区深度就会达到b/2，大于b/4，因而为避免塑性区深度超过b/4，就要求p不能大于(γ_md+πc)，由此可知，此时临界荷载p_1/4应为

$\boldsymbol{p}_{1 / 4}=\boldsymbol{\gamma}_{\mathrm{m}} d+\pi \boldsymbol{c}.$

(15)

即在内摩擦角φ=0时，临界荷载p_1/4与临塑荷载相等，且都与宽度b无关。
按文[10]的介绍，式(10)的p_1/4是采用限制基底压力的方法，将地基土限制在弹性状态，作为采用地基沉降计算的前提，且在苏联的规范中并没有将该公式计算结果作为地基承载力，但在中国的教科书和早期《工业与民用建筑地基基础设计规范》^[14]中则作为地基容许承载力使用，并沿用至今。如今暂时不明确采用此方法是误会还是经过仔细研究后的选择，但从在中国的应用情况来看，采用该方法还是合理的。
这里进一步考虑另外一种情况：假定基础宽度b之外的土体强度和模量较低，应力集中于基底以下的土层，并忽略周围土体对基底以下土层的摩擦作用，如图 2所示，基底外缘以下点ω_d处土所受到的总应力可以近似表示为

$\left\{\begin{array}{l}\boldsymbol{\sigma}_1=\boldsymbol{p}+\boldsymbol{\gamma}z, \\\boldsymbol{\sigma}_3=K_{\mathrm{h}}\left(\boldsymbol{\gamma}_{\mathrm{m}} d+\boldsymbol{\gamma}_{\mathrm{s}} z\right) .\end{array}\right.$

(16)

注：基底下虚线内土体强度和模量高于两侧土体。 图 2 地基两侧土层不均匀情况

图选项

其中：γ_s为基底下基础宽度b之外的土的重度，K_h为水平土压力系数。基底外侧土体尚未完全达到极限平衡状态，因此K_h尚达不到被动土压力系数，可以考虑取静止土压力系数。这种受力状态基本上对应复合地基或基底两侧土的压实标准低于基底以下土的情况。
将式(16)代入式(5)的极限平衡条件，可得

$z=\frac{\boldsymbol{p}(1-\text{sin} \varphi)-K_{\mathrm{h}}(1+\text{sin} \varphi) \boldsymbol{\gamma}_{\mathrm{m}} d-2 \boldsymbol{c} \;\text{cos} \varphi}{K_{\mathrm{h}}(1+\text{sin} \varphi) \boldsymbol{\gamma}_{\mathrm{s}}-(1-\text{sin} \varphi) \boldsymbol{\gamma}}.$

(17)

取z=0，可得此时的临塑荷载p_cr^′为

$\begin{array}{c}\boldsymbol{p}_{\mathrm{cr}}^{\prime}=\boldsymbol{\gamma}_{\mathrm{m}} d K_{\mathrm{h}} \frac{1+\text{sin} \varphi}{1-\text{sin} \varphi}+\boldsymbol{c} \frac{2 \text{cos} \varphi}{1-\text{sin} \varphi}= \\\boldsymbol{\gamma}_{\mathrm{m}} d \frac{K_{\mathrm{h}}}{K_{\mathrm{a}}}+\frac{2 \boldsymbol{c}}{\sqrt{K_{\mathrm{a}}}} .\end{array}$

(18)

其中，系数K_a与内摩擦角有关，K_a=tan²(π/4-φ/2)。
取z=b/4，可得此时的临界荷载p_1/4^′为

$\boldsymbol{p}_{1 / 4}^{\prime}=\boldsymbol{\gamma} b \frac{K_{\mathrm{h}} \boldsymbol{\gamma}_{\mathrm{s}} /\left(\boldsymbol{\gamma} K_{\mathrm{a}}\right)-1}{4}+\boldsymbol{p}_{\mathrm{cr}}^{\prime}.$

(19)

忽略γ_s与γ的差别，即取γ_s= γ，则

$\boldsymbol{p}_{1 / 4}^{\prime}=\boldsymbol{\gamma} b \frac{K_{\mathrm{h}} / K_{\mathrm{a}}-1}{4}+\boldsymbol{p}_{\mathrm{cr}}^{\prime} .$

(20)

式(20)中近似取K_h= 1，在φ=20°、30°和40°时，与γb相关的算式(K_h/K_a-1)/4的数值分别为0.26、0.50和0.90。由此可知，在基底两侧土体较软弱时，该算式数值会小于1.00，此时甚至可忽略宽度b的影响。此外，与γ_md相关的算式(K_h/K_a)数值分别为2.04、3.00、4.60，仍然有不低于2.00的取值。
如果取一种对地基承载力极端有利的情况，即取K_h=tan²(π/4+φ/2)=1/K_a，则在φ=20°、30°和40°时，与γb相关的算式(K_h/K_a-1)/4的数值分别为0.79、2.00和5.04, 与文[9]中采用的系数M_b(0.51、1.90、5.80)在φ=30°和40°时较为接近(但更多的可能是巧合)。
1.2 按极限荷载确定极限承载力Prandtl-Reissner公式是通过求解偏微分方程组解析解的方法得到的地基极限荷载公式，由此也能引出滑移线场理论。该极限荷载公式也可以利用常规的极限平衡分析得到，通常在土力学书上均有介绍。图 3是Prandtl-Reissner滑动面简图，图 4是利用力矩平衡方法求解的简图^[1-2]。

注：图中ΔABC围成的是Rankine主动区，ACGA和BCFB为过渡区，ΔAGE和ΔBFD围成的是Rankine被动区；r0、r1分别为AC和AG的长度；r为滑移线CG上的点与A点之间的长度。 图 3 Prandtl-Reissner滑动面简图

图选项

注：图中ξ=π/4+φ/2，ζ=π/4-φ/2；pa、pp分别为两侧土体对隔离体的压强；R为底部土体对隔离体法向力与摩擦力的合力。 图 4 力矩平衡方法求解简图[1-2]

图选项

Prandtl-Reissner的极限承载力公式为：

$\boldsymbol{p}_{\mathrm{u}}=\boldsymbol{\gamma}_{\mathrm{m}} d \cdot N_q+\boldsymbol{c} \cdot N_c, $

(21)

$N_q=K_{\mathrm{p}} \mathrm{e}^{\pi \text{tan} \varphi}, $

(22)

$N_c=\left(N_q-1\right) \text{cot} \varphi, $

(23)

$K_{\mathrm{p}}=1 / K_{\mathrm{a}}=\text{tan} ^2(\pi / 4+\varphi / 2).$

(24)

当φ= 0时，有

$\boldsymbol{p}_{\mathrm{u}}=\boldsymbol{\gamma}_{\mathrm{m}} d+\boldsymbol{c} \cdot(\pi+2) .$

(25)

其中：N_q、N_c分别为相应于基础侧荷载q(q = γ_md)和黏聚力c的地基极限承载力系数。
Prandtl-Reissner公式忽略了地基土自重这一最主要的因素，使其结果无法直接用于实际工程。Terzaghi假定存在如图 5的滑动面，将其推广使用到考虑地基土自重的情况。

注：图中ΔABH围成的是刚性核，AHGA和BHFB为过渡区，ΔAGE和ΔBFD围成的是Rankine被动区。 图 5 Terzaghi滑动面及计算简图

图选项

在图 5中，ΔABH为刚性核，在基底完全粗糙时，边AH和BH与基底的夹角为土的内摩擦角φ。倒置该图并观察可发现：ΔABH可视为一个砂锥，φ也对应于砂锥的天然休止角。刚性角概念的发现和提出，体现了Terzaghi对理论和日常生活的理解。
针对Terzaghi公式，文[15]指出需要注意以下2点：1) 当内摩擦角φ>30°后，每增加1°，N_γ、N_q值增加很多(N_γ为相应于基础宽度b的地基极限承载力系数)，超出了砂的内摩擦角测定误差的范围，使计算值不可靠。2) 基础宽度增加，计算值增加量很大，则难以从试验证实。因此应用时需慎重。
除了Terzaghi，Meyerhof、Hansen和Vesic等都提出了相应的极限承载力计算方法。后三者计算方法的主要特点是在基本公式基础上进行基础形状、埋深、宽度、荷载倾斜、地面倾斜和基底倾斜等修正。
极限承载力p_u的通式可表示为

$ \boldsymbol{p}_{\mathrm{u}}=\frac{1}{2} \boldsymbol{\gamma} b N_\gamma S_\gamma+\boldsymbol{q} N_q S_q+\boldsymbol{c} N_c S_c \text {. } $

(26)

其中：S_γ、S_q和S_c分别为基础宽度b、侧荷载q和黏聚力c的修正系数，一般是基础形状、埋深、宽度、荷载倾斜、地面倾斜和基底倾斜等各分项修正系数的乘积。
在N_γ、N_q、N_c 3个承载力系数中，与基础宽度相关的系数N_γ的取值变化最大，文[5]中指出，当φ=40°时，一些****发现，N_γ在很大范围内变动，即

$38 \leqslant N_\gamma \leqslant 192 .$

(27)

需要说明的是，文[1]关于系数N_c的地面倾斜修正中，地面倾斜修正系数g_c存在笔误，即将147.0°写成了14.7°，正确的公式为

$g_{\mathrm{c}}=1-\beta / 147 \cdot 0^{\circ} .^{[2]}$

(28)

其中, β的单位为°。
文[3]与文[1-2]中的Hansen公式也有所不同，其原因可能是引用了不同时期Hansen的相关文献。另外，文[1-2]的修正公式，是综合Hansen(1970)、De Beer(1970)和Vesic(1973)的资料组成的^[1]，并不是简单完全取自Hansen的工作。
此外，也有一些简易的公式，虽然不常用，但有助于帮助加深对问题的认识。文[5]中介绍了一种基于破坏楔体的分析方法。仿照该推导方法，考虑基础外侧土体性质与基底下地基土性质不同，可以推导类似的公式。如图 6所示，楔体ΔABC切入土体，使ΔAQU受到挤压破坏。AQ面上受力相当于被动土压力，其合力P_p为：

$\boldsymbol{P}_{\mathrm{p}}=\frac{1}{2} \boldsymbol{\gamma}_{\mathrm{s}} h^2 K_{\mathrm{s}}+\boldsymbol{q} h K_{\mathrm{s}}+2 \boldsymbol{c}_{\mathrm{s}} h \sqrt{K_{\mathrm{s}}} \text {. }$

(29)

$K_{\mathrm{s}}=\text{tan} ^2\left(\pi / 4+\varphi_{\mathrm{s}} / 2\right) .$

(30)

注：图中ξ=π/4+φ/2，ζ=π/4-φ/2；h为OC的长度，l为AC的长度；cl为AC上黏聚力的合力；W′为ΔACQ的自重；R为CQ面上所受到的力。 图 6 简化的地基极限承载力计算

图选项

其中：K_s为基础外侧土体的被动土压力系数，c_s为基础外侧土的黏聚力；φ_s为基础外侧土的内摩擦角。
考虑ΔAOC在竖直方向上的平衡(ΔAOC自重W = γbh/4)，得到

$\boldsymbol{p}_{\mathrm{u}} \frac{b}{2}=\boldsymbol{c} l \text{cos} \beta+\frac{\boldsymbol{P}_{\mathrm{p}}}{\text{cos} \varphi}-\frac{1}{4} \boldsymbol{\gamma} b h.$

(31)

从而得到

$\begin{array}{c}\boldsymbol{p}_{\mathrm{u}}=\frac{\boldsymbol{\gamma} b}{4}\left(\frac{\boldsymbol{\gamma}_{\mathrm{s}}}{\boldsymbol{\gamma}} \frac{K_{\mathrm{s}} \sqrt{K_{\mathrm{p}}}}{\text{cos} \varphi}-1\right) \sqrt{K_{\mathrm{p}}}+ \\\boldsymbol{q} \frac{K_{\mathrm{s}} \sqrt{K_{\mathrm{p}}}}{\text{cos} \varphi}+\boldsymbol{c}\left(\frac{\boldsymbol{c}_{\mathrm{s}}}{\boldsymbol{c}} \frac{2 \sqrt{K_{\mathrm{s}} K_{\mathrm{p}}}}{\text{cos} \varphi}+\sqrt{K_{\mathrm{p}}}\right) .\end{array}$

(32)

式(31)等号右边第2项是AC上所受法向力与摩擦力的合力P在竖直方向上的分量，即Pcosζ，但文[5]中关于P的推导不够严格，应为由近似关系推导出的结论。推测文[5]中采用的ΔACQ的受力简图是如图 6b右侧的形式，利用ΔACQ水平方向力的平衡，可得

$\boldsymbol{P}^{\prime}=\frac{\boldsymbol{P}_{\mathrm{p}}}{\text{cos} \zeta}.$

(33)

其中，P^′为P在AC法向的分量。得到

$\boldsymbol{P}=\frac{\boldsymbol{P}^{\prime}}{\text{cos} \varphi}=\frac{\boldsymbol{P}_{\mathrm{p}}}{\text{cos} \varphi ~\text{cos} \zeta} .$

(34)

进一步由P可得到其竖向分量Pcosζ= P_p/cosφ，即式(31)等号右边第2项的来源。显然，这是一个近似的公式，但较为简洁。
如果基础外侧土体性质与基底下地基土性质相同，即取γ_s= γ、c_s = c、φ_s=φ，则可得如下与文[5]中相同的极限承载力计算公式：

$\begin{array}{c}\boldsymbol{p}_{\mathrm{u}}=\frac{\boldsymbol{\gamma} b}{4}\left(\frac{K_{\mathrm{p}}^2}{\text{cos} \varphi}-\sqrt{K_{\mathrm{p}}}\right)+\boldsymbol{q} \frac{K_{\mathrm{p}} \sqrt{K_{\mathrm{p}}}}{\text{cos} \varphi}+ \\\boldsymbol{c}\left(\frac{2 K_{\mathrm{p}}}{\text{cos} \varphi}+\sqrt{K_{\mathrm{p}}}\right) .\end{array}$

(35)

其中，K_p=1/K_a=tan²(π/4+φ/2)。
使用上述方法推导的公式低估了地基承载力，但对理解地基承载力的相关影响因素有一定意义。如果φ= 0，可由式(35)进一步得到

$\boldsymbol{p}_{\mathrm{u}}=\boldsymbol{q}+3 \boldsymbol{c} .$

(36)

可以看出式(36)的结果比式(25)小，但与式(15)较为接近。
如果考虑基础外侧土体性质较软弱，取c_s=0、K_s=1，由式(32)可得

$\boldsymbol{p}_{\mathrm{u}}=\frac{\boldsymbol{\gamma} b}{4}\left(\frac{\boldsymbol{\gamma}_{\mathrm{s}}}{\boldsymbol{\gamma}} \frac{\sqrt{K_{\mathrm{p}}}}{\text{cos} \varphi}-1\right) \sqrt{K_{\mathrm{p}}}+\boldsymbol{q} \frac{\sqrt{K_{\mathrm{p}}}}{\text{cos} \varphi}+\boldsymbol{c} \sqrt{K_{\mathrm{p}}} \text {. }$

(37)

可以看出，N_γ>0的条件是

$\text{tan} (\pi / 4+\varphi / 2)>\frac{\boldsymbol{\gamma}}{\boldsymbol{\gamma}_{\mathrm{s}}} \text{cos} \varphi.$

(38)

这一条件通常较易满足，但在φ接近于0时则不容易保证与宽度有关的承载力系数大于0。
取γ_s= γ，且取φ=20°、30°和40°时，由式(37)得到N_γ分别为0.19、0.43、0.96；与深度有关的极限承载力系数为1.52、2.00、2.80。可以看出，在基础两侧土体强度不足时，与深度有关的承载力系数还能保持接近于2.00，而N_γ则小于1.00，除以一定的安全系数(如2.00)，则其系数不超过0.50。即在大面积填土中，如果基础两侧压实度不足，使c_s、φ_s偏小，会极大降低N_γ的数值。由此推测，此即大面积填土宽度修正系数取0的原因。由图 4和5的滑动面简图可知，如果基础两侧土体强度不足，损失最明显的也是N_γ。
需要说明的是，关于地基承载力的公式计算及推导方法，远不止这里介绍的几种，如，Jumikis^[16]在其《土力学》书中就介绍了一些不同的方法；Taylor假定地基土体的自重引起极限荷载的增加值可以换算为一个黏聚力，以此对Prandtl-Reissner公式进行改进^[3]；文[17-18]采用上下限极限分析方法，给出了更多、更复杂的地基承载力计算方法。文[19]引用Chen^[17]的工作，采用如下的公式计算N_γ：

$ \begin{array}{c}N_\gamma=\frac{1}{2}\{-\text{tan} |\xi|+ \\\frac{\text{cos} \eta\left[(3 \text{tan} \varphi \text{cos} \eta-\text{sin} |\eta|) \mathrm{e}^{\frac{3}{2} \pi \text{tan} \varphi}+3 \text{tan} \varphi \text{cos} \xi+\text{sin} |\xi|\right]}{\text{cos} ^2 \xi \text{cos} \varphi\left(1+9 \text{tan} ^2 \varphi\right)}+ \\\left.\frac{\text{cos} ^2 \eta \text{sin} |\eta| \mathrm{e}^{\frac{3}{2} \pi \text{tan} \varphi}}{\text{cos} 3 \xi}\right\} .\end{array} $

(39)

其中: ξ=±(π/4+φ/2)，η=±(π/4－φ/2)，并且认为可简化为

$ N_\gamma=2\left(N_q-1\right) \text{tan} \varphi . $

(40)

其中，N_q仍由式(22)得到。
但需说明的是，文[17-18]中并没有式(39)或与其对应的公式，可能是文[19]引用有误，或是仿照文[17]中的上限解方法自行进行了推导。
在众多研究中，N_q、N_c的取值方法较为一致，一般就按式(22)和(23)取值。N_γ的取值则有较大不同，比如Hansen取N_γ为^{[1-2, 5-6]}

$N_\gamma=1.5\left(N_q-1\right) \text{tan} \varphi .$

(41)

文[3, 20]中引用的Hansen公式则取N_γ为

$N_\gamma=1.8\left(N_q-1\right) \text{tan} \varphi=1.8 N_c \text{tan} ^2 \varphi .$

(42)

其中，N_c的值由式(23)取得。
Meyerhof(1976)取N_γ为^[5-7]

$N_\gamma=\left(N_q-1\right) \text{tan} (1.4 \varphi) .$

(43)

Vesic^[5-7](1973)和文[13]均取N_γ为

$N_\gamma=2\left(N_q+1\right) \text{tan} \varphi .$

(44)

文[6]中列出了式(40)—(41)和式(43)—(44)中的取值公式。另外给出了式(40)的条件为基底与土的摩擦角大于等于φ/2。在上述公式中，文[6]倾向于使用式(40)。
文[7]也列出了式(43)和(44)，但倾向于采用Davis和Booker(1971)建议的公式，即基底粗糙和基底光滑时，分别取N_γ为：

$N_\gamma=0.105\;4 \text{exp} (9.6 \varphi), $

(45)

$N_\gamma=0.066\;3 \text{exp} (9.3 \varphi).$

(46)

根据式(45)和(46)，可估算基底粗糙程度的影响。同样取φ=20°、30°和40°，可得基底粗糙和光滑情况下二者N_γ的比值分别为1.77、1.86、1.96。
式(45)和(46)计算出的粗糙和光滑的比例关系显然对φ较小时不太适用。在土体强度接近于水，即c =0、φ=0时，基底不存在“粗糙”问题，2个公式的结果应该相等，但由式(45)和(46)依旧可得二者比例为0.105 4/0.066 3=1.59，此时该公式得出了不一致的结果。
N_γ的这种不确定性以及诸多研究中倾向性的不统一，反映了地基承载力的复杂性。由于地基的侧向约束，地基承载力是一个超静定特征比较强的问题，对地基土自身的前期形成条件和当前的受力状态都很敏感，这可能是其测试离散性较大的原因之一，也是难以准确计算的原因，但具体设计计算时应当按现行《规范》计算地基承载力。在一些特殊情况下，需要考虑其他方法时，推荐采用国内教材或手册中普遍建议的方法，如Terzaghi公式、Hansen公式和Vesic公式，应用时要注意其不足之处^[15]，不要超出相应的适用范围。
2 中国《规范》中的承载力计算2.1 容许承载力计算方法在中国规范中，地基承载力特征值计算公式为

$\boldsymbol{f}_{\mathrm{a}}^{\prime}=M_b \boldsymbol{\gamma} b+M_d \boldsymbol{\gamma}_{\mathrm{m}} d+M_c \boldsymbol{c}_{\mathrm{k}} .{ }^{[9]}$

(47)

其中：f_a^′为由土的抗剪强度指标确定的地基承载力特征值，kPa；M_b、M_d、M_c分别为与基础宽度、埋深和地基土黏聚力有关的承载力系数，其数值由土的内摩擦角标准值φ_k确定，可查表(文[9]表5.2.5)；c_k为基底下一倍短边宽的深度范围内土的黏聚力标准值。式(47)中当基础宽度b>6 m时按6 m取值；对于砂土，当b < 3 m时按3 m取值。查表时φ_k也是取基底下一倍短边宽度的深度范围内土的内摩擦角标准值。
式(47)的来源是式(10)。《规范》的表格中，与宽度有关的承载力系数M_b在内摩擦角小于20°时与p_1/4的相应承载力系数基本相同，大于20°时则有显著提高；而与深度和黏聚力有关的系数始终与p_1/4的相应承载力系数数值相等。
在φ=20°、30°和40°时，《规范》给出的M_b分别为0.51、1.90、5.80，根据临界荷载定义可反算出对应的z_max分别为0.25b(b/4.04)、0.41b(b/2.41)和0.59b(b/1.70)，可见随着内摩擦角增大，对塑性区最大扩展深度允许取较大值。由此可进一步作粗略比较：依据图 3和6计算，极限荷载下的深度H(H=(b/2)tan(π/4+φ/2))分别为0.71b、0.87b、1.07b，对应的H/z_max则为2.84、2.12、1.81，即此时与极限荷载对应的深度相比，依旧保留了大于1.8倍的安全裕度。
对基础宽度范围的限制，是针对与宽度有关的承载力系数随基础宽度b的变化而变化这一现象而进行的处理，且这种变化是非线性的，这也属于地基承载力的基础尺寸效应问题^[21-23]。
由文[15]可知，对于砂类土的承载力，当基础宽度较小时，载荷试验结果较p_1/4理论公式计算出的值高很多；但宽度增加后，理论计算值增加过快过大。因此中国《规范》根据载荷试验结果，对系数作了调整，以减小基础宽度较小时造成的计算误差。同时，对宽度较大时理论计算值增加太大的情况作了限制，即宽度大于6 m时按6 m考虑。此即为中国《规范》中承载力系数M_b的取值原因。此外，用临塑荷载作为地基承载力进行地基设计时，尚需进行变形验算^[15]。
2.2 地基承载力修正系数中国《规范》规定^[9]，当基础宽度大于3.0 m或埋置深度大于0.5 m时，采用载荷试验或其他原位测试、经验值等方法确定的地基承载力特征值需用式(1)进行修正。但要注意在1974年版的《规范》中，埋置深度是1.5 m，而不是0.5 m，这与荷载取值变化与承载力取值的匹配等原因有关^[10]。其他一些规范中，也取埋置深度为1.5 m^{[3, 14, 24]}，甚至3.0 m^[3]。也有规范将与宽度有关的3.0 m取为2.0 m^[3]。文[25]中提供了一些行业和地方规范中的承载力计算和修正方法，各自取法也有所不同。
《规范》中，η_b最小值为0，最大值为3.0；η_d最小值为1.0，最大为4.4。η_d即使在最不利情况下，也不应低于1.0。当c =0、φ=0时，土的强度相当于水，此时上部荷载就全部由基础埋深所产生的“浮力”来支撑，对应的M_d和η_d为1。
由于历史原因，《规范》中修正系数η_b和η_d的取值依据尚不明了，本文推测了修正系数的一些取值线索。
假定取得原位测试或经验承载力对应的基础宽度和埋深分别为b₀和d₀，承载力系数为M_b0、M_d0，参考式(47)，有

$\begin{array}{c}M_b \boldsymbol{\gamma} b+M_d \boldsymbol{\gamma}_{\mathrm{m}} d+M_c \boldsymbol{c}_{\mathrm{k}}=M_{b 0} \boldsymbol{\gamma} b_0+M_{d 0} \boldsymbol{\gamma}_{\mathrm{m}} d_0+ \\M_c \boldsymbol{c}_{\mathrm{k}}+\eta_b \boldsymbol{\gamma}(b-3)+\eta_d \boldsymbol{\gamma}_{\mathrm{m}}(d-0.5).\end{array}$

(48)

由式(48)可得:

$\eta_b=\frac{M_b b-M_{b 0} b_0}{b-3}, $

(49)

$\eta_d=\frac{M_d d-M_{d 0} d_0}{d-0.5} .$

(50)

以平板载荷试验为例，取载荷板宽度0.8 m，埋深0 m，式(49)和(50)变为:

$\eta_d=\frac{M_b b-0.8 M_{b 0}}{b-3}, $

(51)

$\eta_d=\frac{M_d d}{d-0.5}.$

(52)

一般情况下式(51)和(52)总有η_b>M_b，η_d>M_d，但修正系数η_b和η_d会随b的变化而变化，在b接近于3.0 m和d接近于0.5 m时，η_b和η_d甚至接近无穷大，不利于分析。因此本文进一步假定M_b=M_b0，并将(b-0.8)/(b-3)和d/(d-0.5)都近似取为1。则有

$\eta_b \approx M_b ; \quad \eta_d \approx M_d.$

(53)

2个修正系数可取各自相应的承载力系数，且这种取值方式偏于保守，因为M_b和M_d相当于各自对应的修正系数的下限。
《规范》中，对中砂、粗砂、砾砂和碎石土的修正系数η_b和η_d分别取3.0和4.4^[9]。结合式(53)，认为此时M_b=3.0，M_d=4.4；进一步根据《规范》所提供的承载力系数与内摩擦角的对照表(文[9]表5.2.5)，可反算出二者对应的内摩擦角约为33.0°和26.1°。对粉砂、细砂(不包括很湿与饱和时的稍密状态)，η_b和η_d分别取2.0和3.0，可反算出对应的内摩擦角为30.3°和19.6°，虽仍推测不出此前研究对修正系数取值的依据，但可知对修正系数的取值是较为保守和谨慎的。
对大面积人工压实填土则更为谨慎，不但η_b取0，且对“最大干密度大于2.1×10³ kg/m³的级配砂石”，《规范》规定η_d的值也仅为2.0(M_d对应的内摩擦角为12.5°)^[9]。
由于确定容许承载力时也考虑到变形以及破坏形式的影响：即整体剪切破坏、局部剪切破坏和冲剪破坏(地基越松软、基础宽度越小，越容易发生局部剪切破坏和冲剪破坏)，目前还无法考证天然地基η_b和η_d取值的依据。但可尝试推测人工填土地基η_b和η_d取值偏小的原因为：
1) 地基的压实质量不容易保证。
20世纪50年代，中国工业不发达，缺乏合适的碾压和夯实机械。如20世纪60年代密云水库大坝建设主要依靠人工夯实，夯实质量和均匀性难以保证。这可能是人工填土地基宽度和深度修正系数取值偏小的原因之一。
2) 技术或经济方面。
出于技术或经济方面考虑，基底部分土体质量控制标准较高，基础宽度两侧之外的填土质量控制标准则有所降低。这种取不同标准的做法显然可以减小工作量并降低造价，在经济技术条件有限的情况下是可被考虑的选项。第2.1节从式(20)容许承载力和式(37)极限承载力2个角度分别探讨了这种情况下的承载力系数，可知此时与宽度有关的承载力系数M_b会受很大影响，即使基底以下土的内摩擦角达40°，也会小于1.0。这一点可能是《规范》中大面积填土下宽度修正系数取0更为重要的原因。复合地基不进行宽度修正，推测也出于该原因，因为在复合地基之外的土体通常不作处理。在《建筑地基处理技术规范(JGJ 79—2012)》关于第3.0.4节的条文说明中，从破坏模式上进一步指出复合地基由于其处理范围有限，增强体的设置改变了基底压力的传递路径，其破坏模式与天然地基不同。复合地基承载力修正的研究成果较少，为安全起见，基础宽度的地基承载力修正系数取0，基础埋深的地基承载力修正系数取1.0^[26]。
3) 对基础沉降的考虑。
虽然表面上地基容许承载力计算中只涉及土的抗剪强度，但事实上隐含了对基础沉降的考虑。颗粒材料的强度本身可视为变形的一种极端形式。在平板载荷试验中，终止加载的标准之一就有对变形的规定：总沉降量超过承压板直径或宽度的6%^[27]。相同的含水率和干密度下，重塑土的力学性质不如天然土。天然土层在漫长的地质历史过程中已沉降稳定，但在相同含水率和干密度条件下的人工填土却还会出现工后沉降等问题。
理论上，即使沉降量很大，只要均匀沉降，对建筑物稳定的影响也不大。但是由于问题的随机性，无法保证只发生均匀下沉。尤其在沉降量较大时，发生不均匀沉降的概率会更大，这可能是在实践中控制总沉降量保持较小数值的原因。
此外，在天然地基软弱下卧层的验算中也不考虑宽度修正，其原因可能是：
1) 用于验算的下卧层地基与直接处于基础之下的地基不同，破坏模式也会有所不同，计算理论本身也不完善。
2) 在上部附加压力“扩散”的计算中已经隐含了下卧层地基“宽度”的影响，即下卧层越软弱，扩散角越大，基础扩散到下卧层处的宽度也越大，由此计算得到的软弱下卧层顶面的附加压力越小，这就从减小上部荷载方面间接考虑了宽度的影响。
3) 由于软弱下卧层本身的“软弱”特性而使其内摩擦角通常不大，对应的M_b不高(如φ=20°时，M_b=0.51)，从保守方面考虑也可以忽略。
这里用一个简单算例进一步予以解释。假设条形基础底部附加压力为p_z，与下卧层之间距离为z，压力扩散角为θ，由宽度增加(压力扩散)引起的附加压力减小量为

$\Delta \boldsymbol{p}=\boldsymbol{p}_z-\frac{\boldsymbol{p}_z b}{b+2 z\; \text{tan} \theta}=\frac{\boldsymbol{p}_z}{b /(2 z\; \text{tan} \theta)+1} .$

(54)

取p_z=150.0 kPa，z=1 m，θ=15°，b=4 m，可得Δp =17.7 kPa。如果此时下卧层重度取10.0 kPa(由于通常下卧层可能在地下水位以下，此数值合理)，可反算出等价的宽度修正系数为1.77。考虑到b越小，应力扩散对压力减小的效果越明显，而即使在一般地基中宽度小于3 m时也不予宽度修正，这种扩散对压力减小的效果就更显著，大幅超过η_b对承载力的影响。因此，《规范》中不对软弱下卧层进行宽度修正是合适的。
3 大面积填土地基承载力修正系数第2.2节论述了地基承载力修正系数η_b和η_d，虽然具体的取值原因暂无法考证，但这些推测也有一定意义。本章进一步讨论大面积人工填土的修正系数问题。
随着技术发展，施工设备、施工技术、施工监测和质量控制水平已远超20世纪60、70年代，而且现在大面积填土施工的范围也更大，如一些削山填沟的造城工程和岛礁的大面积填土工程。若能在保证安全的前提下结合具体情况适当提高地基的承载力，会获得很大的技术经济效益。尤其对于远洋岛礁，这种经济价值更加明显。
岛礁填土的土料主要是珊瑚砂。珊瑚砂的特点是内摩擦角较大，通常不低于40°，现在的施工机械和监测技术也能保证基础周围填土的压实质量和均匀性，且珊瑚砂的变形模量一般也较大，已有的工程建设表明：岛礁地基沉降量都较小，且几乎没有工后沉降问题。在此情况下，可将大面积人工填土地基等同于天然地基，类比天然地基选取承载力修正系数，在理论上可行。
为谨慎起见，工程中也应满足如下条件：
1) 填土场地应满足相应的压实度要求。
如果平均压实度等参数满足要求，而最小值不满足要求，即存在离散性，可以考虑根据变异系数在修正系数基础上乘以一个折减系数。
2) 场地均匀性。
场地的均匀性，尤其在基础宽度之外一定范围内，也应保证土的性质与基底以下土的性质相同或强度指标不低于基底以下土的强度指标，其范围按图 3的滑动面估算单侧长度L等于图 3中AE或BD的长度，为

$ \begin{array}{c}L=\frac{b}{2} \frac{1}{\text{cos} (\pi / 4+\varphi / 2)} \mathrm{e}^{\frac{\pi}{2} \text{tan} \varphi} \cdot 2 \text{sin} (\pi / 4+\varphi / 2)= \\b \text{tan} (\pi / 4+\varphi / 2) \mathrm{e}^{\frac{\pi}{2} \text{tan} \varphi}=b \sqrt{N_q} \cdot\end{array} $

(55)

其中，N_q按式(22)计算；当φ=40°时，L=8.01b。
如果按图 6的计算简图(大体对应于局部剪切或冲剪破坏情况)，计算所得的长度会大为减小，即

$L=\frac{b}{2} \text{tan} ^2(\pi / 4+\varphi / 2)=\frac{b}{2} K_p .$

(56)

在φ= 40°时，L=2.30b。
参考《规范》中的要求(宽度大于6 m时取值为6 m，小于3 m时取值为3 m)，由式(55)和(56)可得，φ=40°时，L的取值为24.0~48.0 m和6.9~13.8 m。
3) 进行建筑物的沉降验算。
满足上述要求，对大面积人工填土地基，根据土性按天然地基选择承载力修正系数η_b和η_d在理论上是可行的。
另外，由于大面积填土地基承载力修正系数的选取是一个新的课题，目前经验有限，也需要加强后期监测，以积累经验。
4 结论地基承载力、挡土墙土压力和边坡稳定分析是土力学的三大经典课题。其中，地基承载力问题较复杂，原因之一是侧向约束，使其超静定特征更为突出；原因之二是虽然在公式计算上只显示抗剪强度指标，但在地基承载力的确定中却间接考虑了变形的影响。再加上存在整体剪切破坏、局部剪切和冲剪破坏等多种破坏形式，使地基容许承载力的确定更为复杂。
正如现在仍有很多关于挡土墙土压力的研究并提出了大量计算公式一样，地基承载力从开始提出至今也一直不断有****研究，将来也会继续研究下去。在相关专著中，从不同情况和不同角度分析，有很多繁难艰苦的推导和冗长复杂的理论公式，其均有一定理论基础，且经过了相应的检验，都值得尊重。但作为针对初****的土力学普及教材和针对实践应用的大众化的《规范》，通常需进行大量去粗取精、化繁为简的选择工作，挑选简单易懂、方便实用的部分予以普及。表面上看很简单，甚至有些简陋和粗糙，其实过程中包含了几代人的艰苦探索，因此不能倒因为果。不能因为易懂就忽视前人的思考和努力；更不能看到简单方便的理论公式就加以轻视，而看到繁难冗长的推导分析则斥之无用，把个人的思想认识流于表面化和粗糙化，失去看待理论与实际问题的认真精神和严肃态度。
除了早期的一些个别案例，没有出现新的仅因承载力不足引起建筑物失稳的案例，体现了现行的承载力计算理论和《规范》规定的有效性。针对地基承载力修正系数，此前研究的选择均较为谨慎，尤其对宽度修正系数，其变化范围很大，难以准确计算，也不易通过试验确定。
对软弱下卧层，不考虑宽度修正的原因可能是验算使用的理想化的地基与一般意义上的地基有所区别，而且在上部附加压力的扩散计算中也包含了宽度的影响。此外，下卧层宽度的增加是其软弱性导致的；内摩擦角一般较小，对应的宽度修正系数也不大，也可以忽略。
对于经过地基处理形成的复合地基，《规范》中不考虑宽度修正的原因之一是对其破坏模式的研究还需深入，其次是在仅处理基底以下土层的情况下，基础宽度外侧的土体由于未经处理，强度仍较低。通过本文的分析可发现：在此类水平向不均匀的地基中，基础宽度外侧土体的强度较低对与埋深相关的承载力系数的影响不大，但对与宽度相关的承载力系数影响较大。大面积填土地基可能也存在类似现象，即能够很好保证基础以下的填土性质，而基础宽度之外的填土可能由于经济或技术原因，不能很好保证其压实质量。此外人工填土地基不同于天然地基，存在一定的工后沉降现象。综合以上因素，可能可作为《规范》中将人工填土地基承载力宽度修正系数取为0的原因解释。
随着科技发展，当前的施工设备和监测手段能保证大面积填土的压实质量，在满足一定要求的情况下，适当提高大面积填土地基的承载力修正系数是可行的，同时也具有较大的经济效益。其中需满足的要求主要是压实质量的均匀性，尤其是基础两侧一定距离范围内的压实质量不应低于基底以下填土的压实质量；此外要进行上部建筑物的沉降验算。只要沉降验算满足要求，宽度修正系数和深度修正系数都可以在现有《规范》基础上适当提高。

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