, 吴莘馨, 张作义清华大学 核能与新能源技术研究院，先进核能技术协同创新中心，先进反应堆工程与安全教育部重点实验室，北京 100084
收稿日期：2023-01-14
基金项目：国家重点研发计划资助项目(2020YFB1901600)；国家科技重大专项资助项目(ZX06901)
作者简介：苏阳(1996—)，男，博士研究生
通讯作者：李晓伟，副教授，E-mail: lixiaowei@tsinghua.edu.cn
摘要：核反应堆蒸汽发生器二次侧的流动不稳定现象不仅会影响控制系统，而且会使设备结构的压力边界疲劳损坏。两相流不稳定性的表现形式多样、影响因素众多、机理复杂、研究方法种类多，一直是蒸汽发生器和两相流领域的经典问题之一。首先，该文介绍了两相流不稳定性的常见分类和3种典型不稳定性的机理，包括流量漂移、密度波型脉动和压力降型脉动。其次，从守恒方程出发，总结了各种研究方法。再次，系统性总结了3种典型不稳定性的研究现状，并重点介绍了清华大学核能与新能源技术研究院堆工团队的工作。然后，该文提出了使用新无量纲数描述复杂过热系统，包括两相数、过热数、无量纲泵数和无量纲旁通数，明确和统一了Froude数、摩擦数、管长和管径等对密度波型脉动的影响规律，并解释了此前研究中矛盾的结论。同时，该文给出了有关模型简化和边界条件对稳定边界影响的理论推导和证明，并明确了实验室小规模单管或简化并联管试验段及工程验证试验回路与实际核电厂蒸汽发生器及二回路系统之间的替代条件。最后，该文介绍了高温气冷堆示范工程(high temperature gas-cooled reactor-pebble bed module, HTR-PM)蒸汽发生器如何通过设计来避免不稳定性问题。
关键词：高温气冷堆蒸汽发生器两相流不稳定性时域法频域法
Phenomenon, method, and application of the two-phase flow instability in a nuclear reactor steam generator
SU Yang, LI Xiaowei
, WU Xinxin, ZHANG ZuoyiKey Laboratory of Advanced Reactor Engineering and Safety of Ministry of Education, Collaborative Innovation Center for Advanced Nuclear Energy Technology, Institute of Nuclear and New Energy Technology, Tsinghua University, Beijing 100084, China
Abstract: [Significance] Two-phase flow instability is a classic problem in the field of steam generators and other two-phase flows. Therefore, it has been studied extensively. In nuclear reactor steam generators, two-phase flow instability may occur on the secondary side and interfere with the control system, causing fatigue-induced damage to the equipment. While two-phase flow instability can have different complex mechanisms and many influencing factors, there are various methods to research and analyze this phenomenon. [Progress] The phenomenon of two-phase flow instability can be classified into two types. The mechanisms of flow excursion (LE), density wave oscillation (DWO) and pressure drop oscillation (PDO) are introduced. LE and PDO can occur in conditions corresponding to the region of negative slope in the hydrodynamic characteristic curve (mass flow rate vs. pressure drop curve) in the heated tube and can be avoided by eliminating the negative slope region. However, DWO can also occur in the positive slope region due to the phase difference between two transient processes. One of these is the mass flow rate variation caused by variation in the driving pressure difference, which is controlled by the rate of momentum transfer. The other is the transient variation of the subcooled water region length and the density of saturated two-phase region fluid, which is caused by heat transfer. Changes caused by heat transfer are slower than changes in flow and pressure. Various research methods of two-phase flow instability are systematically summarized, including the theoretical time-domain method (nonlinear and linear methods), theoretical frequency-domain method, and discrete numerical method, starting from the conservation equations. The mathematical criterion obtained from the theoretical time-domain model can analyze the parameters' influence exactly over a wide range. The spatial distribution of density, enthalpy, and other physical parameters in the frequency domain can be obtained using the theoretical frequency-domain method, and the stability boundary it predicts is more accurate than that predicted by the theoretically simplified linear time-domain method. In addition, the research status of LE, DWO, and PDO is systematically summarized, with a particular focus on the work of our research group. New dimensionless numbers (two-phase number, superheated number, dimensionless pump number, and dimensionless bypass number) are proposed to describe the stability of the complex, superheated, two-phase flow boiling systems. A law unifying the influence of the Froude number, friction number, and geometric parameters (tube length, tube diameter, etc.) on DWO was developed. Previous contradictory conclusions are explained. A rigorous theoretical derivation and proof of the effects of model simplification and boundary conditions are presented. The requirements for conservatively modeling a real nuclear power plant steam generator and secondary loop system using a test section consisting of a single or multiple parallel small-scale heated tubes and a simplified engineering verification test loop in the laboratory are clarified. Finally, methods to avoid LE and DWO in the steam generator of the high-temperature gas-cooled reactor are introduced based on reactor design. To predict the stability of the high-temperature gas-cooled reactor-pebble bed module (HTR-PM) engineering test facility-steam generator (ETF-SG), theoretical time-domain method, theoretical frequency-domain method, RELAP5 model, and one-dimensional transient program are developed, which are in good agreement with the experiments. [Conclusion and Prospects] The results from the ETF-SG can conservatively predict the stability boundary of the steam generator and secondary loop of the HTR-PM nuclear power plant. The conditions for the occurrence of in-phase and out-of-phase DWO in ETF-SG are revealed, and methods for eliminating them are recommended. The above achievements are applied in the design, commissioning, and operation of the HTR-PM steam generator.
Key words: high-temperature gas-cooled reactorsteam generatortwo-phase flow instabilitytime-domain methodfrequency-domain method
高温气冷堆具有固有安全性和高温等优点[1-3]。当用于发电或者提供蒸汽时，高温气冷堆中的蒸汽发生器是关键设备。直流蒸汽发生器不仅能提高热力循环效率，提供高品质蒸汽，而且结构更加紧凑，省去了汽水分离器。相较于压水反应堆的自然循环蒸汽发生器，高温气冷堆中的直流蒸汽发生器二次侧过冷水在被加热成过热蒸汽的过程中，更易出现两相流不稳定性现象[4-5]。两相流不稳定性现象的发生，不仅会干扰控制系统，而且会使设备结构疲劳损坏。因此，研究和避免两相流不稳定性现象是高温气冷堆蒸汽发生器热工水力设计的重要内容。
两相流不稳定性现象是指当系统出现扰动后，其热工水力参数(流量、压力和温度等)出现非周期性的漂移或周期性的振荡现象。Boure等[6]首次对两相流不稳定性进行了分类，将两相流不稳定性分成了静态不稳定性(static instability, SI)和动态不稳定性(dynamic instability, DI)。SI是指系统从一个稳态变化到另一个稳态，可以用稳态理论(水动力特性曲线)来预测其稳定性边界。DI是指在不稳定运行点附近发生的周期性振荡，主要与流体惯性、传播过程中的延迟和边界条件的反馈有关。近几十年以来，许多****对两相流不稳定性现象开展了大量的理论[7-8]、数值和实验[9]研究。文[6, 10-13] 总结了此前研究的两相流不稳定性的研究工作。由于两相流不稳定性的复杂性，目前的综述文献对两相流不稳定性的现象和规律尚缺乏清晰的系统认识，难以指导实际的工程应用。例如，关于几何参数的影响规律存在矛盾且不统一，模型简化和边界条件的影响规律来源于经验，缺少严谨的推导和证明；并联管数量的影响规律也存在矛盾且不统一，并联管系统可能出现管间脉动和整体脉动的现象；实验室小规模单管或并联管试验段及简化的试验回路能否替代实际核电厂的蒸汽发生器及二回路系统等问题仍然存在争议等。
研究两相流不稳定性的方法可分为理论、数值计算和实(试)验。理论研究方法包括时域法[14]和频域法[15-19]。其中，频域法采用Laplace变换将时域方程转变成频域方程，并采用控制理论的方法判断系统的稳定性。数值研究方法包括商用软件和一维自编程序[20]等。其中，商用软件包括反应堆领域的系统程序(RELAP5[21-24])，甚至商用计算流体力学软件(FLUENT[25])也可开展两相流不稳定性计算。数值计算方法即利用物理变量随时间变化的曲线判断系统的稳定性。实(试)验研究方法包括大型的工程验证试验[4-5]和小规模的原理实验[26-28]。大型工程验证试验直接对原型样机进行试验验证，而小规模单管或并联管原理实验可验证理论模型和数值计算等方法的正确性。理论模型和数值计算可指导实(试)验研究的开展并解释实(试)验中的两相流不稳定性现象。
研究两相流不稳定性现象，从学术和工程方面都有重要的意义。只有深入了解两相流不稳定性现象的机理，才能更好地指导工程应用。本文首先介绍了两相流不稳定性的分类和3种常见的两相流不稳定性现象(流量漂移、密度波型脉动和压力降型脉动)的机理。然后，从守恒方程出发介绍两相流不稳定性的研究方法，并介绍3种常见两相流不稳定性现象的研究现状，尤其是本课题组的工作。最后，介绍研究成果在高温气冷堆示范工程(high temperature gas-cooled reactor-pebble bed module, HTR-PM)直流蒸汽发生器设计中的应用。
1 两相流不稳定性分类及机理Boure等[6]将两相流不稳定性分为SI和DI。其中，SI包括流量漂移不稳定性(Ledinegg不稳定性)、流型变迁不稳定性、间歇性喷汽和汽爆[29-32]等；DI包括声波型脉动、密度波型脉动、压力降型脉动和沸水堆不稳定性[33-35]等。在实际工程应用中，尤其是在高温气冷堆蒸汽发生器中，最常见的两相流不稳定性现象是流量漂移和密度波型脉动。本文将介绍流量漂移、密度波型脉动和压力降型脉动3种常见的两相流不稳定性现象的机理。鉴于这些机理在经典教材[36]中已有论述，下文只做简要介绍。
1.1 流量漂移流量漂移是常见的SI现象，由对流蒸发过程(内部)和泵(外部)的水动力特性曲线决定。图 1可用于分析流量漂移形成的过程。图 1a为蒸发过程的系统模型。图 1a中Tp为泵的入口温度，pp为泵的入口压力，Gp为泵的入口质量流速，Gin为加热管的入口质量流速，pin为加热管的入口压力，σ为加热功率，pout为加热管的出口压力。图 1b为蒸发管和泵的水动力特性曲线，内部水动力曲线的横纵坐标分别为加热段质量流速和加热段进出口压降，外部水动力特性曲线的横纵坐标分别为泵的质量流速和泵提供的驱动压头。图 1b中Δp为压降，G为质量流速，Gin, 0为稳定运行时加热管入口的质量流速，ΔG为质量流速的扰动值。由图 1b可知，外部水动力特性曲线B与内部水动力特性曲线一共有3个交点，分别为1，3和3′。当系统运行在负斜率区的点1时，如果质量流速突然降低ΔG，即质量流速变为Gin, 0-ΔG后，内部水动力特性曲线位于外部水动力特性曲线B的上方，即内部的压降大于外部提供的压头，质量流速会进一步降低，直到质量流速降低到内部和外部(曲线B)水动力特性曲线的交点3，系统达到新的平衡点。整个过程中，系统从点1快速到达点3，即从一个稳定点到达另一个稳定点。同理可得，当质量流速突然出现微小的增加时，系统会从点1快速到达点3′的新平衡点[36]。
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| 图 1 流量漂移机理示意图 |
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从图 1b可以看出，当外部水动力特性曲线B的斜率绝对值进一步减小变成曲线A，即恒定压降边界条件时，更容易出现流量漂移现象。当外部水动力特性曲线B的斜率绝对值进一步增加变成曲线C时，此时曲线C和内部水动力特性曲线只有一个交点，不会出现流量漂移。因此，当运行点位于内部水动力特性曲线的负斜率区，且外部水动力特性曲线斜率绝对值小于内部水动力特性曲线斜率绝对值时，系统发生流量漂移。
1.2 密度波型脉动密度波型脉动可发生在水动力特性曲线的正斜率区，主要与扰动在传播过程中的延迟和入口质量流速的反馈相关。图 2可用于分析密度波型脉动形成的过程和机理。图 2a展示了加热管内的对流蒸发过程，由于A、B、C点的位置不定，因此不随脉动变化。图 2b展示了在发生密度波型脉动时，入口质量流速、过冷水段长度、过冷水段压降、饱和两相段和过热蒸汽段压降随时间变化的曲线。图 2c和2d展示了入口质量流速、3个典型位置处的流体平均密度和质量流速随时间变化的曲线。图 2b—2d是根据数值计算方法得到的典型参数随时间变化的脉动曲线。为了方便对比脉动曲线，对脉动幅值进行了归一化处理。
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| 图 2 密度波型脉动机理示意图 |
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扰动施加时刻：当入口质量流速(图 2b中黑色实线)突然减小，由于过冷水段近似不可压缩，过冷水段的流速和压降(图 2b中绿色点划线)会立即减小，饱和两相段和过热蒸汽段总压降(图 2b中蓝色双点划线)会立即增加(恒定压降边界条件)。由于热量传递过程稍缓慢，过冷水段流速降低，导致过冷水段长度(图 2b中红色虚线)逐渐减小，从而使饱和两相段和过热蒸汽段总长度逐渐增加。由于热量传递比压力传递慢，过冷水段长度脉动相位滞后于质量流速和压降脉动。
质量流速最低点附近：当入口质量流速减小后，由于热流密度不变，A点处的流体平均密度(图 2c中的红色虚线)会逐渐降低，即沸腾边界前移，低密度的流体也逐渐向下游传播，使得B和C点处的流体平均密度脉动相位滞后于A点。如图 2d所示，受密度的影响，当低密度流体不断进入饱和两相段，饱和两相段的质量流速(图 2d中红色虚线)不断降低，进而饱和两相段和过热蒸汽段总压降会逐渐减小。因此，过冷水段的压降从逐渐减少变为逐渐增加(恒定压降边界条件)，入口质量流速也会随压降的变化而变化，即从逐渐减小变为逐渐增加(压降驱动单相段的流动)。
质量流速最高点附近：当入口质量流速增加后，过冷水段的长度会逐渐增加，A点处的流体平均密度会逐渐增加，即沸腾边界后移，并且高密度的流体逐渐向下游传播。当入口处形成的高密度流体不断流入饱和两相段时，饱和两相段和过热蒸汽段总压降会增加，而过冷水段压降和入口质量流速会减小。
周而复始，加热系统的入口处质量流速、过冷水段压降、饱和两相段压降、过热蒸汽段压降、过冷水段长度和管道内各点的密度等会出现连续性脉动。密度波型脉动的本质在于加热效应的滞后性，即流动和压降的响应速度与传热引起的过冷水段长度和饱和两相段密度的响应速度不一致，这两者形成了耦合振荡。
1.3 压力降型脉动压力降型脉动的发生需要同时满足运行点在水动力特性曲线的负斜率区和上游区均存在可压缩容积。图 3可用于分析压力降型脉动形成的过程和机理。图 3a展示了压力降型脉动的系统模型。图 3a中p0为稳压器的压力。图 3b中内部水动力特征曲线的横纵坐标分别为加热段入口质量流速Gin和加热段进出口压降pin-pout，而外部水动力特性曲线的横坐标和纵坐标分别为泵的质量流速Gp和泵提供的驱动压头。图 3b中Gp, 0为稳定运行时泵入口的质量流速，Δpd为压降的扰动值。假设系统工作于蒸发管水动力特性曲线的负斜率区，且泵的水动力特性曲线斜率绝对值大于蒸发管水动力特性曲线斜率绝对值，不会发生流量漂移不稳定性的现象，如图 3b所示。在稳态时，Gp, 0=Gin, 0。当加热段入口压力pin突然增加Δpd，Gp, 0变为Gp，Gin, 0变为Gin，Gp, 0和Gin, 0均会减小，且Gin小于Gp。此时，部分流体会进入图 3a中的稳压器，稳压器内的液位上升，使p0增大，此时可近似认为pin和p0相等，同时pin也继续增加。当pin-pout不断增加到图 3b中点A时，如果pin-pout继续上升，运行点会从点A突变至点B，然后Gin会突然大于Gp，使图 3a中的稳压器液位下降，且pin也会降低。pin-pout不断降低到图 3b中点C时，运行点会从点C突变至点D，然后Gin会突然小于Gp。这种周期性地变化将使得运行点沿图 3b中的A、B、C和D 4个点周期性运行，进而导致泵的入口质量流速、稳压器的液位、加热段入口质量流速和压力等出现周期性地振荡[36]。
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| 图 3 压力降型脉动机理示意图 |
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通过机理分析可知，消除加热系统水动力特性曲线的负斜率区可以消除流量漂移和压力降型脉动。而对于恒定加热功率的高压系统，这是比较容易实现的，可通过增加入口节流阻力系数和减小预热段过程管径来实现。对于中低压系统而言，完全消除3次曲线可能需要非常大的入口节流阻力系数，因此在工程中较难实现。如果系统设计工作点处于负斜率区，可采用具有较大水动力特性斜率曲线的泵组消除流量漂移，同时只有消除了泵与加热系统间的可压缩空气容积，才能消除压力降型脉动。由于密度波型脉动可发生在水动力特性曲线的正斜率区，因此需要进行更深入的分析。
2 两相流不稳定性研究方法有关两相流不稳定性的研究方法有很多，包括瞬态程序、时域理论法和频域理论法等。管道内流体密度和压力分布对两相流不稳定性起决定性作用，因此通过一维守恒方程即可准确描述两相流不稳定性现象和机理，并且目前多数****均采用此方法进行研究。另外，目前的大型商用CFD程序可以直接求解三维两相流体控制方程，也有****尝试进行两相流稳定性的模拟。
从一维守恒方程出发，第2章详细介绍了两相流不稳定性的研究方法及其关联，具体内容如图 4所示。描述管内一维瞬态流动换热现象的质量、动量和能量守恒方程属于偏微分方程的范畴。对于此类方程，处理方法主要有3种。第1种方法是直接对空间和时间变量进行离散化，再进行数值模拟[37-41]。该方法通常在反应堆领域需要使用系统程序(RELAP5)或自己开发的一维瞬态程序等。第2种方法是采用积分和Leibniz公式，将偏微分方程组转变成非线性常微分方程组，然后在时域内处理常微分方程组。根据是否进行线性化处理，该方法又分为线性和非线性理论方法，但均属于时域理论法。常微分方程组可以采用数值方法求解，在数值计算方面，第2种方法比第1种方法更简单。第3种方法采用Laplace变换将偏微分方程从时域变换到频域进行研究，被称为频域理论法。
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| 图 4 两相流不稳定性研究方法分类 |
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过冷水段的质量、能量和动量守恒方程可表示如下：
| $\frac{\partial G(z, t)}{\partial z}=0, $ | (1) |
| $\rho_1 \frac{\partial h(z, t)}{\partial t}+\rho_1 j_{\text {in }}(t) \frac{\partial h(z, t)}{\partial z}=\frac{q P_{\mathrm{H}}}{A}, $ | (2) |
| $\begin{gathered}\frac{\partial}{\partial t} G(z, t)+\frac{\partial}{\partial z}\left(\frac{G^2(z, t)}{\rho_1}\right)=-\frac{\partial p(z, t)}{\partial z}- \\\frac{f_1}{2 D_{\mathrm{H}}} \frac{G^2(z, t)}{\rho_1}-\rho_1 g \sin \varphi-\frac{K_{\text {in }}}{2} \frac{G^2(z, t)}{\rho_1} \delta_{\mathrm{d}}(z) .\end{gathered}$ | (3) |
饱和两相段的质量、能量和动量守恒方程可表示如下：
| $\frac{\partial \rho(z, t)}{\partial t}+\frac{\partial G(z, t)}{\partial z}=0, $ | (4) |
| $\rho(z, t) \frac{\partial h(z, t)}{\partial t}+\rho(z, t) j(z, t) \frac{\partial h(z, t)}{\partial z}=\frac{q P_{\mathrm{H}}}{A}, $ | (5) |
| $\begin{gathered}\frac{\partial}{\partial t} G(z, t)+\frac{\partial}{\partial z}\left(\frac{G^2(z, t)}{\rho(z, t)}\right)=-\frac{\partial p(z, t)}{\partial z}- \\\frac{f_{2 \phi}}{2 D_{\mathrm{H}}} \frac{G^2(z, t)}{\rho(z, t)}-\rho(z, t) g \sin \varphi .\end{gathered}$ | (6) |
过热蒸汽段的质量、能量和动量守恒方程可表示如下：
| $\begin{gathered}\frac{\partial G(z, t)}{\partial z}=0, \end{gathered}$ | (7) |
| $\rho_{\mathrm{g}} \frac{\partial h(z, t)}{\partial t}+\rho_{\mathrm{g}} j_{\text {out }}(t) \frac{\partial h(z, t)}{\partial z}=\frac{q P_{\mathrm{H}}}{A}, $ | (8) |
| $\begin{gathered}\frac{\partial}{\partial t} G(z, t)+\frac{\partial}{\partial z}\left(\frac{G^2(z, t)}{\rho(z, t)}\right)=-\frac{\partial p(z, t)}{\partial z}- \\\frac{f_{\mathrm{g}}}{2 D_{\mathrm{H}}} \frac{G^2(z, t)}{\rho(z, t)}-\rho_{\mathrm{g}} g \sin \varphi-\\\frac{K_{\text {out }}}{2} \frac{G^2(z, t)}{\rho_{\mathrm{g}}} \delta_{\mathrm{d}}\left(z-L_{\mathrm{H}}\right) .\end{gathered}$ | (9) |
第2种方法(时域理论法)采用积分和Leibniz公式(处理时间偏导数的积分项)得到描述稳定性的非线性常微分方程组。对非线性常微分方程组的处理共有3种方式。第1种是采用数值计算方法直接求解，得到随时间变化的各物理量，并根据瞬态曲线判断稳定性。可使用MATLAB软件的SIMULINK工具箱来求解非线性常微分方程组。入口流量的脉动幅值可用于判断是否发生两相流不稳定性。结合入出口流量和各区域的压降等脉动曲线分析流动不稳定性的形成过程。第2种是采用Lyapunov稳定性判据[42-47]直接分析非线性稳定性。比如Mishra和Singh[48]基于Hopf分岔给出的超临界和亚临界Hopf分岔。上述2种方式均可用于分析蒸汽发生器的非线性稳定性或大扰动下蒸汽发生器的稳定性。第3种是采用小扰动线性化，处理非线性常微分方程组(处理非线性项)，得到线性常微分方程组，再分析蒸汽发生器的线性稳定性。可通过线性方程组系数矩阵的特征值直接判断系统的稳定性。若所有特征值的实部都小于0，则蒸汽发生器稳定。也可以基于Routh判据给出蒸汽发生器稳定性的简单数学判据。例如Takitani[49]和Su等[50]给出了亚临界和超临界蒸汽发生器稳定性的简单数学判据。
第3种方法(频域理论法[51-52])针对质量和能量守恒方程(时域内偏微分方程)，先采用小扰动线性化方法处理非线性项，再利用Laplace变换处理时间导数项，得到描述物理量小扰动值在频域内空间分布的一阶线性偏微分方程。求解该方程，可得频域内质量流含气率、焓值、速度和密度等物理量小扰动值的空间分布。针对动量守恒方程，则依次采用积分、小扰动线性化方法、Leibniz公式(处理小扰动下时间偏导数的积分项)和Laplace变换，并代入上述物理量小扰动值的空间分布，可得入口流量和进出口压降的传递函数，最后采用Nyquist曲线判断蒸汽发生器的稳定性。
除了上述通过对守恒方程处理方法得到稳定性边界外，也有一些****在相似理论的基础上采用拟合方法分析实验数据。采用该方法可得描述稳定性边界的经验关系式或图表，例如文[53-56]和线算图法[57-58]等。
数值计算方法可以得到各物理量随时间的变化趋势，还能直观分析不稳定性发生的机理等。时域理论法得到的数学判据可以较简单地计算稳定性边界，理论推导(比如Froude数[50])或大范围内分析参数的影响规律。频域理论法可以得到密度、焓值等在频域内的空间分布，预测的稳定性边界比简化的线性时域理论法更加准确。
2.1 时域理论法首先，以过冷水段的能量守恒方程为例，阐述如何从偏微分方程得到非线性常微分方程组；然后，介绍非线性常微分方程组的非线性分析方法和数值求解；最后，介绍如何从非线性常微分方程组得到线性常微分方程组，以及如何从线性常微分方程组得到稳定性的数学判据。
将式(2)的过冷水段的能量守恒方程从z=0到沸腾边界z=λ(t)进行积分，可表示如下：
| $\begin{gathered}\rho_1 \int_0^{\lambda(t)} \frac{\partial h(z, t)}{\partial t} \mathrm{~d} z+ \\\rho_{\mathrm{l}} j_{\text {in }}(t) \int_0^{\lambda(t)} \frac{\partial h(z, t)}{\partial z} \mathrm{~d} z=\frac{q P_{\mathrm{H}}}{A} \lambda(t) .\end{gathered}$ | (10) |
| $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \lambda(t)=\frac{2 q P_{\mathrm{H}}}{\rho_1 A\left(h_{\mathrm{in}}-h_{\mathrm{ls}}\right)} \lambda(t)+\frac{2}{\rho_1} G_{\mathrm{in}}(t) .$ | (11) |
采用类似的方法处理其他守恒方程，如式(1)—(9)，可得描述直流过热蒸汽发生器稳定性的非线性常微分方程组，可表示如下：
| $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\left[\begin{array}{c}G_{\mathrm{in}}(t) \\\lambda(t) \\\eta(t)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}f_1\left(G_{\text {in }}(t), \lambda(t), \eta(t)\right) \\f_2\left(G_{\text {in }}(t), \lambda(t), \eta(t)\right) \\f_3\left(G_{\text {in }}(t), \lambda(t), \eta(t)\right)\end{array}\right] .$ | (12) |
可采用MATALB工具箱SIMULINK求解方程组式(12)，得到Gin(t)，λ(t)和η(t)随时间的变化曲线。SIMULINK的模型图如图 5所示。
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| 图 5 SIMULINK模型图 |
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通过构造Lyapunov函数来分析方程组式(12)的非线性稳定性。构造Lyapunov函数的方法包括Balbashin公式等。例如：构造一个负定二次函数W，代入Balbashin公式，可得对应的Lyapunov函数V。通过求解Lyapunov函数的最小值，可得运行点的保守吸引域。Lyapunov函数可表示如下：
| $\begin{gathered}V\left(\Delta G_{\mathrm{in}}(t), \Delta \lambda(t), \Delta \eta(t)\right)= \\f_{\mathrm{v}}\left(\Delta G_{\mathrm{in}}(t), \Delta \lambda(t), \Delta \eta(t), w_{i j}, c_{i j}\right) .\end{gathered}$ | (13) |
除了上述2种非线性分析方法外，也可采用小扰动线性化方法处理方程组，得到描述直流过热蒸汽发生器稳定性的线性常微分方程组，可表示如下：
| $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\left[\begin{array}{c}\delta G_{\mathrm{in}}(t) \\\delta \lambda(t) \\\delta \eta(t)\end{array}\right]=\boldsymbol{C}\left[\begin{array}{c}\delta G_{\mathrm{in}}(t) \\\delta \lambda(t) \\\delta \eta(t)\end{array}\right], \quad \boldsymbol{C}=\left[\begin{array}{ccc}c_{11} & c_{12} & c_{13} \\c_{21} & c_{22} & c_{23} \\c_{31} & c_{32} & c_{33}\end{array}\right] .$ | (14) |
可根据系数矩阵C的特征值直接判断直流过热蒸汽发生器的稳定性，也可采用Routh判据得到稳定性代数判据I1~I4。结合两相流不稳定性发生的机理可进一步识别出，流量漂移由I3决定，密度波型脉动由I4决定，可表示如下：
| $I_1\left(N_{\text {sub }}, N_{\text {sup }}, N_{\text {pch }}, \varLambda, K_{\text {in }}, K_{\text {out }}\right) <0, $ | (15) |
| $I_2\left(N_{\text {sub }}, N_{\text {sup }}, N_{\text {pch }}, F r, \varLambda, K_{\text {in }}, K_{\text {out }}\right)>0 \text {, }$ | (16) |
| $I_3\left(N_{\text {sub }}, N_{\text {sup }}, N_{\text {pch }}, F r, \varLambda, K_{\text {in }}, K_{\text {out }}\right)>0, $ | (17) |
| $\begin{gathered}I_4\left(N_{\text {sub }}, N_{\text {sup }}, N_{\text {pch }}, F r, \varLambda, K_{\text {in }}, K_{\text {out }}\right)= \\I_3-I_1 I_2>0 .\end{gathered}$ | (18) |
2.2 频域理论法首先，以饱和两相段的能量守恒方程为例，阐述如何从偏微分方程得到一阶线性偏微分方程，进而得到参数(如质量流含气率小扰动值)在频域内的空间分布。然后，以过冷水段的动量守恒方程为例，阐述如何从动量守恒方程得到压降-质量流速的传递函数(如过冷水段)。最后，介绍整个加热段的压降-质量流速传递函数。
首先介绍参数分布的求解。当饱和两相段采用均相流模型时，饱和两相段的密度ρ(z, t)和焓值h(z, t)可表示如下：
| $\begin{aligned}\rho(z, t)=\frac{1}{v_1+x(z, t) v_{\mathrm{lg}}}, \end{aligned}$ | (19) |
| $h(z, t)=h_{\mathrm{ls}}+x(z, t) h_{\mathrm{lg}} .$ | (20) |
将式(19)和(20)代入饱和两相段的能量守恒方程式(5)，得到以质量流含气率表示的能量守恒方程，可表示如下：
| $\begin{gathered}\frac{\partial}{\partial t} x(z, t)+j(z, t) \frac{\partial}{\partial z} x(z, t)- \\\varOmega_0 x(z, t)=\varOmega_0 \frac{v_1}{v_{\lg }}, \end{gathered}$ | (21) |
| $\varOmega_0=\frac{q P_{\mathrm{H}} {v}_{\mathrm{lg}}}{A h_{\mathrm{lg}}} .$ | (22) |
稳态下饱和两相段能量守恒方程表示为
| $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} z} x_0(z)-\frac{\varOmega_0}{j_0(z)} x_0(z)=\frac{\varOmega_0 v_1}{j_0(z) v_{\lg }} .$ | (23) |
对式(21)进行小扰动线性化，并对小扰动后的方程进行Laplace变换，结合式(23)，得到描述质量流含气率小扰动值的一阶线性偏微分方程，可表示如下：
| $\begin{gathered}\frac{\partial}{\partial z} \delta x(z, s)+\frac{s-\varOmega_0}{j_{\text {in }, 0}+\varOmega_0\left(z-\lambda_0\right)} \delta x(z, s) \\=\frac{\varOmega_0}{G_{\text {in }, 0 v_{\mathrm{lg}}}} \frac{1}{j_{\text {in }, 0}+\varOmega_0\left(z-\lambda_0\right)} \delta j(s) .\end{gathered}$ | (24) |
求解一阶线性偏微分方程式(24)，得到质量流含气率小扰动值在频域内的空间分布，可表示如下：
| $\begin{gathered}\delta x(z, s)=\left(\frac{j_{\text {in }, 0}+\varOmega_0\left(z-\lambda_0\right)}{j_{\text {in }, 0}}\right)^{1-\frac{s}{\varOmega_0}} \delta x\left(\lambda_0, s\right)+ \\\frac{\varOmega_0}{G_{\text {in }, 0} v_{\mathrm{lg}}\left(s-\varOmega_0\right)}\left(\left(\frac{j_{\text {in }, 0}+\varOmega_0\left(z-\lambda_0\right)}{j_{\text {in }, 0}}\right)^{1-\frac{s}{\varOmega_0}}-1\right) \delta j(s) .\end{gathered}$ | (25) |
| $\delta\left(\Delta p_{1 \Phi}(s)\right)=G_1(s) \delta G_{\mathrm{in}}(s).$ | (26) |
| $\begin{aligned}& G_1(s)=s \lambda_0+\frac{f_1}{D_{\mathrm{H}}} j_{\text {in }, 0} \lambda_0+K_{\text {in }} j_{\text {in }, 0}+ \\& \frac{1}{s}\left(\frac{f_1}{2 D_{\mathrm{H}}} j_{\text {in }, 0}^2+g \sin \varphi\right)\left(1-\mathrm{e}^{-\frac{s}{j_{\text {in }, 0}} \lambda_0}\right) .\end{aligned}$ | (27) |
| $\delta(\Delta p(s))=\left[G_1(s)+G_2(s)+G_3(s)\right] \delta G_{\mathrm{in}}(s) .$ | (28) |
将式(28)变换为相应的开环传递函数，便可计算Nyquist曲线，进而判断过热蒸汽发生器的稳定性。
2.3 数值模拟方法数值模拟方法指对偏微分守恒方程组直接进行离散，结合相应的流动换热公式数值求解离散后的方程，得到各物理量随时间的变化曲线。离散的方法包括有限差分法和有限体积法等，本节不再详细介绍数值模拟方法。
3 两相流不稳定性研究现状本章主要介绍3种常见的两相流不稳定性现象，即流量漂移、密度波型脉动和压力降型脉动，并对其研究现状进行了总结。在此基础上，指出现有研究存在的矛盾和不足之处，以及本课题组在解决这些问题上的贡献和创新性工作。
3.1 流量漂移Ledinegg[60]最早开始研究流量漂移，因此流量漂移也被称为Ledinegg不稳定性。对于单根管系统，结合上文流量漂移机理的讨论，若内部水动力特性曲线存在负斜率区且工作点恰好位于该区，同时外部水动力特性曲线斜率的绝对值小于内部水动力特性曲线斜率的绝对值，那么该系统会出现流量漂移不稳定性。对于多根并联管系统，Yang等[61]给出了流量漂移的稳定性判据，可表示如下：
| $\alpha_1 \geqslant 0, \quad \alpha_2>0, \quad \alpha_3>0, \quad \cdots, \quad \alpha_n>0 .$ | (29) |
| $\begin{gathered}\sum\limits_{i=1}^n \frac{1}{\alpha_i}<\frac{1}{\alpha_{\text {pump }}}, \\\left(\alpha_1<0, \alpha_2>0, \alpha_3>0, \cdots, \alpha_n>0\right) .\end{gathered}$ | (30) |
Li等[62]和范弘毅等[63]编写了针对高温气冷堆直流/超临界蒸汽发生器管壳侧耦合一维热工水力程序，可准确计算蒸汽发生器二次侧的内部水动力特性曲线。Ju等[64]研究了电加热(均匀热流密度分布)和氦气加热(非均匀热流密度分布)2种加热方式下的内部水动力特性曲线，得出在电加热时内部水动力特性曲线未出现负斜率区，但在氦气加热时内部水动力特性曲线出现了负斜率区。另外，朱宏晔等[65]为研究高温气冷堆螺旋管式蒸汽发生器的流量漂移现象，编写了一维对流换热瞬态程序，研究表明增大入口过冷度可使稳定边界左移，有助于避免流量漂移，但在不稳定区间未得到明显缩小的结论。
在自然循环系统中也会出现流量漂移现象。文[66-67]采用正流和倒流的全特性水动力特性曲线分析了自然循环蒸汽发生器并联倒U形管内的倒流现象机理。姜胜耀等[68-69]分析了5 MW低温供热堆的流量漂移现象，得到了在流量漂移过程中会诱发流量振荡的结论。
还有部分****从无量纲数的角度分析了流量漂移。例如Ishii[70]给出了描述饱和两相系统流量漂移的无量纲数，分别为过冷数(subcooling number，Nsub)、相变数(phase change number，Npch)、摩擦数(friction number，Λ)、Fr、入口阻力系数(Kin)和出口阻力系数(Kout)。随后，文[50, 71-72]采用其他方法也得到了一致的结论。其中，Su等[50]给出了恒定压降条件下单根均匀热流密度加热管的稳定性判据，并分析了不同参数对流量漂移的影响。增加入口阻力系数有利于系统的稳定性，而增加出口阻力系数则不利于系统的稳定性。此外，增加加热管的倾斜角有利于系统的稳定性，即相同条件下竖直向上管比水平管更稳定，水平管比竖直向下管更稳定。
针对三根加热管的小扰动下流量漂移问题，Baikin等[73]研究了从一个稳定运行点快速变化到另一个稳定运行点的瞬态过程，并发现这与基于水动力特性曲线得出的结论一致。此类有关流量漂移的研究是在小扰动的条件下开展的，属于系统线性稳定性研究。文[74-76]建立了描述加热段两端压降和加热段入口流量的二元非线性常微分方程组，分析了运行点在不同程度扰动下系统的稳定性，研究结果表明在小扰动下系统是稳定的，但在大扰动下系统出现了流量漂移。
3.2 密度波型脉动密度波型脉动是两相流中较常见且研究较广泛的不稳定性现象。一般情况下，蒸汽发生器内出现的两相流不稳定性表现为密度波型脉动。根据引起密度波型脉动压降类型的不同，Fukuda和Kobori[77]将密度波型脉动进一步分为3种类型：由加热段重力压降引起的密度波型脉动(DWOI, H)、由加热段摩擦压降引起的密度波型脉动(DWOII, H)和由加热段加速压降引起的密度波型脉动(DWOIII, H)。此外，密度波型脉动也可以根据出口含气率分成第一类和第二类密度波型脉动[57]。Fukuda和Kobori[77]结合Masini等[78]的实验证明：由加热段重力压降引起的密度波型脉动通常发生在低出口含气量的情况下，也被称为第一类密度波型脉动；由加热段摩擦压降引起的密度波型脉动通常发生在高出口含气率的情况下，也被称为第二类密度波型脉动；由加热段加速压降引起的密度波型脉动则发生在摩擦压降和重力压降比较小的情况下[77]。另外，Achard等[71]进一步验证了该结论，并指出在低摩擦数下也会出现DWOIII, H。
3.2.1 无量纲数和无量纲数图文[79]从无量纲数的角度研究了密度波型脉动。Ishii[70]提出了描述饱和两相系统密度波型脉动的无量纲数，它与描述流量漂移的无量纲数相同。这些无量纲数包括过冷数、相变数、摩擦数、Fr、入口阻力系数和出口阻力系数。此后，许多****通过其他方法也得到了相同的结论，包括Su等[50]，Achard等[71]，Delmastro等[72]。过冷数由入口温度和运行压力决定，相变数由加热功率、流量和运行压力决定，过冷数和相变数仅与运行参数有关。Fr与流速、倾斜角、管长等有关，而摩擦数与摩擦阻力系数、管长、管径等有关。Fr和摩擦数不仅与运行参数有关，还与几何参数有关。对于一个饱和两相系统，过冷数和相变数描述加热效应，而Fr、摩擦数、入口阻力系数和出口阻力系数描述压降效应。过冷数用于描述过冷水段的加热效应，相变数用于描述整个加热段的加热效应，因此相变数和过冷数的差值用于描述饱和两相段的加热效应。Fr用于描述重位压降效应，摩擦数用于描述摩擦压降效应，入口阻力系数用于描述入口局部阻力压降效应，出口阻力系数用于描述出口局部阻力压降效应。
过冷数、相变数、摩擦数、Fr、入口阻力系数和出口阻力系数分别表示如下：
| $\begin{gathered}N_{\mathrm{sub}}=\frac{h_{\mathrm{ls}}-h_{\mathrm{in}}}{h_{\mathrm{lg}}} \frac{v_1}{v_{\mathrm{lg}}}=\frac{\lambda_0}{L_{\mathrm{H}}} N_{\mathrm{pch}}, \end{gathered}$ | (31) |
| $N_{\mathrm{pch}}=\frac{\sigma}{M h_{\mathrm{lg}}} \frac{v_1}{v_{\mathrm{lg}}}, $ | (32) |
| $F r=\frac{u_{\mathrm{in}, 0}^2}{g \sin \varphi L_{\mathrm{H}}}, $ | (33) |
| $\begin{aligned}\varLambda =f \frac{L_{\mathrm{H}}}{2 D_{\mathrm{H}}}, \end{aligned}$ | (34) |
| $K_{\text {in }} =\frac{2 \Delta p_{\mathrm{in}}}{\rho_1 u_{\mathrm{in}, 0}^2}, $ | (35) |
| $K_{\text {out }} =\frac{2 \Delta p_{\text {out }}}{\rho_{\text {out }} u_{\text {out }, 0}^2} .$ | (36) |
Fukuda和Kobori[77]也从无量纲数的角度对密度波型脉动的类型进行了划分，划分的依据是Fr和摩擦数哪一个占主导，或者都不占主导。当Fr占主导时，对应的是DWOI，H或第一类密度波型脉动。当摩擦数占主导时，对应的是DWOII, H或第二类密度波型脉动。当Fr和摩擦数的影响都很小时，对应的是DWOIII, H。这些结论与Fukuda和Kobori[77]的结论一致。
对于过热系统的稳定性，Takitani[49]提出了一个数学判据，但所用的无量纲数与上述提到的无量纲数差异较大，因此无法有效比较饱和系统和过热系统的差异。相比于饱和两相系统，过热两相系统需要考虑过热段对密度波型脉动的影响，因此需要新的无量纲数来描述饱和两相段和过热蒸汽段的加热效应，Su等[59]提出了两相数和过热数。过冷数描述过冷水段的加热效应，两相数描述饱和两相段的加热效应，过热数描述过热段的加热效应，相变数描述整个加热段的加热效应。过冷数、两相数和过热数的和等于相变数。因此，与饱和两相系统相比，过热两相系统需要增加一个无量纲数，即两相数或过热数。针对过热系统的稳定性，Su等[59]基于两相数和过热数，给出了一个与饱和系统兼容性较好的无量纲数判据。
两相数Ntph和过热数分别表示如下：
| $N_{\mathrm{tph}}=\frac{h_{\mathrm{gs}}-h_{\mathrm{ls}}}{h_{\mathrm{lg}}} \frac{v_1}{v_{\mathrm{lg}}}=\frac{v_1}{v_{\mathrm{lg}}}=\frac{\eta_0-\lambda_0}{L_{\mathrm{H}}} N_{\mathrm{pch}} \text {, }$ | (37) |
| $N_{\text {sup }}=\frac{h_{\text {out }, 0}-h_{\mathrm{gs}}}{h_{\mathrm{lg}}} \frac{v_1}{v_{\mathrm{lg}}}=\frac{L_{\mathrm{H}}-\eta_0}{L_{\mathrm{H}}} N_{\mathrm{pch}} \text {. }$ | (38) |
采用无量纲数Nsub和Npch进行作图已被广泛应用于描述密度波型脉动的稳定性边界。然而，在一些****的研究[80-81]中，不合理地采用Nsub和Npch无量纲数图分析流量或压力对密度波型脉动的影响，导致了不合理的参数影响规律。当流量或者压力变化时，会对过冷数和相变数的值产生影响，因此无法利用稳定性边界的相对位置或者稳定性区域的大小来分析这2个参数的影响规律。若要分析流量或者压力对密度波型脉动的影响，可以采用临界热流密度随入口温度的变化图，以便更准确地描述流量和压力对密度波型脉动的影响。由于Fr、摩擦数、管长、管内径等不会影响过热数和相变数的数值，因此可以运用Nsub和Npch无量纲数图来分析这些参数的影响规律。
3.2.2 运行参数和几何参数影响密度波型脉动的参数有很多，包括入口温度、运行压力、流量、加热功率和入出口阻力系数等运行参数，以及管长、管径、倾斜角、螺旋直径等几何参数，等等。本节主要介绍单相水段、饱和两相段和过热蒸汽段等各个区域的压降对稳定性的影响，并研究运行参数和几何参数的影响规律。增加单相水段的摩擦压降有利于系统的稳定性，而增加饱和两相段和过热蒸汽段的摩擦压降不利于系统的稳定性。与HTR-PM螺旋管式直流蒸汽发生器的等管径设计相比，10 MW高温气冷试验堆(HTR-10)的螺旋管式直流蒸汽发生器采用变管径设计，即单相水段的管内径小于饱和两相段和过热段，以提高系统的稳定性[82]。相对于等管径的设计，减小单相水段的管径可增加单相水段的压降，有利于蒸汽发生器的稳定性。例如，对于HTR-10蒸汽发生器，单相水段采用12 mm内径，两相段和过热段采用14 mm内径，在30%功率时，稳定的入口节流阻力系数可以降低约100[82]。但这也会额外增加传热管(一回路压力边界)的焊口。
对于加热管而言，使用电加热时，热流密度的分布近似均匀，而采用对流加热会导致热流密度分布不均匀，这会影响密度波型脉动的稳定性边界。在HTR-10和HTR-PM直流蒸汽发生器中，二次侧的过冷水被加热成过热蒸汽的过程中，过冷水段的热流密度比较小，而饱和两相段和过热段的热流密度较大。因此，与热流密度分布均匀的情况相比，对流加热会导致氦气流通在蒸汽发生器的过冷水段更长。随着过冷水段的增加或者过冷水段摩擦压降的增大，蒸汽发生器的稳定性将得到提高，因此，采用均匀热流密度分布假设，可以保守地预测HTR-10和HTR-PM直流蒸汽发生器的稳定性[83]。
目前，不同****就运行压力、流量、加热功率、入口阻力系数和出口阻力系数对密度波型脉动影响规律的结论是一致的[84-85]。辛亚飞等[85]认为增加运行压力、流量和入口阻力系数会增加过冷水段的相对压降，有利于系统的稳定性；而增加加热功率和出口阻力系数会增加饱和两相段和过热蒸汽段的压降，不利于系统的稳定性。至于入口温度的影响，有****认为增加入口温度不利于系统的稳定性。然而，也有****认为入口温度的影响是非单调的，即在低入口温度下增加入口温度，不利于系统的稳定性，但在高入口温度下增加入口温度，有利于系统的稳定性。实际上，入口温度的影响是非单调的，无论是数值还是实验方法，均难以准确地预测非单调转折点的位置。例如，在Saha[27]的实验中，第2和第5组的实验表明入口温度的影响是单调的，而其他5组实验入口温度的影响是非单调的。
在关于几何参数对密度波型脉动的影响的研究中，不同****得到矛盾结论[4, 5, 12, 22, 71]的原因在于，几何参数对稳定性的影响是非单调的，而不同的****只在很小的区域研究参数的影响规律，同时缺乏相应的理论支持。然而，在保持运行参数(加热功率和流量)不变的情况下，管长和管径的变化只会影响Fr和摩擦数的大小。因此，可以在Fr和摩擦数影响规律的基础上分析管长和管径的影响。当Fr和摩擦数的影响不一致时，管径和管长的影响规律取决于占主导地位的是Fr还是摩擦数，即取决于密度波型脉动的类型。为了更好地理解这一现象，Su等[50]给出了不同参数范围内Fr和摩擦数的非单调影响规律，并进一步给出了不同入口阻力系数和摩擦数下管长、管径的影响规律。此外，在倾斜角变化时，仅有Fr发生变化。因此，倾斜角对密度波型脉动的影响和Fr的倒数对密度波型脉动的影响是一致的。当功率流量等比例变化时，不同功率工况下，只有摩擦数和Fr发生变化，因此可以基于Fr和摩擦数的影响规律探讨系统的稳定性。与倾斜直管相比，受螺旋效应影响的摩擦压降的变化可归纳到摩擦阻力系数的计算式中[82]。螺旋效应或螺旋直径变化对密度波型脉动的影响规律与摩擦数对密度波型脉动的影响规律是一致的[82]，当螺旋曲率较小时，这个效应是可以忽略的。
3.2.3 模型简化和边界条件在实际系统中，除了一定数量的加热管[86]，还有其他组件，如泵、旁通、非加热段和冷凝器等。这些组件均会影响系统的两相流稳定性边界。关于并联管数量对稳定性边界的影响，不同****得出了相互矛盾的结论[86-89]。正确的结论应是：恒定压降下的单根或多根加热管的稳定性相同，含入口非加热段的单根管系统更加稳定。恒定流量下多根加热管的稳定性与恒定压降下单根加热管或多根加热管的稳定性相同。泵驱动的边界条件可以等效成恒定压降边界条件下在加热管入口增加一个局部阻力系数，该局部阻力系数等于无量纲泵数。当无量纲泵数趋于0时，边界条件趋于恒定压降；当无量纲泵数趋于正无穷时，边界条件趋于恒定流量[90]。
旁通对边界条件的影响在于旁通会减小泵流量扬程特性曲线斜率的绝对值，或减小无量纲泵数。当无量纲旁通数趋于0时，边界条件趋于恒定压降边界条件；当无量纲旁通数趋于无穷时，旁通对泵驱动边界条件不会产生影响。
泵驱动的单根管系统比恒定压降的单根加热管更加稳定。泵驱动含非加热段的单根管系统比泵驱动单根管系统更加稳定。无论是否包括总管的入口非加热段，泵驱动的多根管系统的稳定性与恒定压降下单根或多根加热管的稳定性相同。由于饱和两相系统和过热两相系统的线性常微分方程组形式是相同的，上述流体驱动条件(泵驱动、恒定流量和恒定压降)、旁通、入口非加热段、并联管数量等，对稳定性边界的影响规律适用于饱和两相系统和过热两相系统。
无量纲泵数、无量纲旁通数、旁通对边界条件的影响，分别表示如下：
| $N_{\text {pump }}=\frac{g A_{\mathrm{H}}}{u_{\mathrm{in}, 0}}\left|\mathrm{~d} Y / \mathrm{d} Q_{\mathrm{v}}\right|, $ | (39) |
| $N_{\text {bypass }}=\frac{K_{\text {bypass }} u_{\text {bypass, o }}}{g A_{\text {bypass }}\left|\mathrm{d} Y / \mathrm{d} Q_{\mathrm{v}}\right|}, $ | (40) |
| $N_{\text {pump+bypass }}=N_{\text {pump }}\left(1-\frac{1}{1+N_{\text {bypass }}}\right) \text {. }$ | (41) |
3.2.4 非线性稳定性除了采用线性稳定性方法分析密度波型脉动外，还可以采用非线性稳定性方法，例如脉动曲线和Lyapunov稳定性方法等。本课题组基于描述直流蒸汽发生器稳定性的非线性常微分方程组，得到了入口流量、密度分布、速度分布和压降等随时间的脉动曲线，并解释了密度波型脉动的机理。Mishra和Singh[48]使用Hopf分岔理论研究了非线性稳定性，并使用超临界和亚临界Hopf分岔将Nsub和Npch无量纲数图分成超临界区和亚临界区。在超临界区域中，小扰动下稳定的系统在大扰动下仍然是稳定的，而在亚临界区域中，小扰动下稳定的系统在大扰动下可能会失去稳定性。本课题组使用Balbashin公式构建Lyapunov函数，并给出了高温气冷堆直流蒸汽发生器满功率工况下，运行工作点的保守吸引域，对于入口质量流速，其最大容许变化量为36.8%。
针对密度波型脉动的研究，本课题组有以下几点创新之处：
(1) 首次提出了两相数和过热数，用于描述过热系统饱和两相段和过热蒸汽段的加热效应。同时，进一步给出了描述过热系统的数学判据，并与饱和系统兼容。
(2) 基于严谨的数学推导，给出了不同条件下Fr和摩擦数的参数影响规律。在此基础上，统一了管长、管径和倾斜角等几何参数的影响规律，解释了此前研究矛盾的结论。主要原因在于此前****只在一个小范围进行研究，而几何参数的影响规律是非单调的，因此出现了影响规律的结论不统一且矛盾的现象。
(3) 给出了Nsub和Npch无量纲数图的应用范围。该无量纲数图不能用于研究流量和压力的影响，但可以用于研究Fr、摩擦数、管长、管径和倾斜角等的影响。
(4) 针对泵和旁通的影响，首次提出了无量纲泵数和无量纲旁通数，可以描述实际条件下泵驱动边界条件的影响。
(5) 针对模型简化和边界条件的影响，给出了严谨的理论推导和证明，解释了此前研究关于并联管数量对稳定性影响矛盾的结论。
3.3 压力降型脉动根据压力降型脉动发生的条件和机理，消除水动力特性曲线的负斜率区，可避免压力降型脉动的发生。因此，增加入口阻力系数可以有效地消除负斜率区，从而消除压力降型脉动[52]。
bakhshan和Kazemi等[90]总结了压力降型脉动的数值和实验研究、并联通道和微通道的压力降型脉动等工作，并指出了Maulbetsch和Griffith[91]中当管长与管内径之比大于150时，便不需要上游的可压缩容积(管内的气体可以提供足够的可压缩性)的结论有待进一步研究。Ruspini[92]和Manavela等[93]详细研究了出入口流体惯性和出入口罐体内流体的可压缩性对压力降型脉动的影响。其中，入口流体的惯性有利于系统的稳定性，出口流体的惯性不利于系统的稳定性。另外，入口罐体内流体的可压缩性不利于系统的稳定性，而出口罐体内流体的可压缩性有利于系统的稳定性。
4 高温气冷堆蒸汽发生器两相流不稳定性清华大学核能与新能源技术研究院先后设计了HTR-10[64, 94-95]和HTR-PM[4-5]的直流蒸汽发生器，并开展了相应的工程验证试验，验证了蒸汽发生器两相流稳定性的设计。在前面有关现象规律和研究方法的基础上，本章主要介绍如何在工程设计上避免直流蒸汽发生器两相流不稳定性的发生。
4.1 流量漂移若内部水动力特性曲线没有出现负斜率区，则不会发生流量漂移。本文研究团队采用RELAP5计算蒸汽发生器在恒定热流密度分布下的水动力特性曲线，并得出当入口阻力系数为1 000时，在满功率工况和部分功率(75%、50%和30%)工况下，均未出现负斜率区。范弘毅等[63]基于螺旋管式直流蒸汽发生器管壳侧耦合的一维稳态热工水力程序，计算了对流加热条件下蒸汽发生器的内部水动力特性曲线，以及消除内部水动力特性曲线负斜率区的最小入口节流阻力系数。在保持蒸汽发生器一次侧氦气的入口温度、流量、压力和二次侧水的入口温度、压力不变的情况下，不断改变二次侧的入口流量，计算不同入口流量对应的压降，便可得到内部水动力特性曲线。当入口阻力系数为0时，满功率和部分功率(75%、50%和30%)工况的内部水动力特性曲线均出现了负斜率区。对于满功率工况，为了消除负斜率区，入口阻力系数需要增加到2 400。而对于部分功率工况，为了消除负斜率区，则需要更大的入口阻力系数。为了完全消除负斜率区，与恒定热流密度边界条件相比，对流加热条件下需要更大的入口阻力系数。这是由于在氦气对流加热条件时需要固定氦气流量和入口氦气的温度，因此总加热功率随二次侧流量的增加而增加。即在二次侧流量较低时，加热功率较低；在二次侧流量较高时，加热功率较高。
然而，过大的入口阻力系数会导致节流孔太小、节流件太长，在实际工程中难以应用。为避免流量漂移的发生，只需保证内部水动力特性曲线的斜率绝对值小于外部水动力特性曲线的斜率绝对值。范弘毅等[63]给出了满功率工况下入口阻力系数等于0和1 000的内外部水动力特性曲线，得知当入口阻力系数等于0时，外部水动力特性曲线的斜率绝对值大于内部水动力特性曲线的斜率绝对值，且内、外部水动力特性曲线只有一个交点，可避免直流蒸汽发生器发生流量漂移。但在运行点附近，流量变化引起的压降变化较小，即压降对流量的变化不敏感，不利于并联传热管间的流量分配。当入口阻力系数增加到1 000时，运行点附近压降对流量的变化相当敏感，可保证各管道在相同压降下流量分配的均匀性。因此，当入口阻力系数为1 000时，虽然采用对流加热边界条件的内部水动力特性曲线有负斜率区，但直流蒸汽发生器不会出现流量漂移，同时也能保证在运行点附近的水动力特性曲线具有足够的斜率。
4.2 密度波型脉动新设计的蒸汽发生器需进行工程验证试验。与高温气冷堆核电站蒸汽发生器和其二回路相比，工程验证试验有3点不同之处：第1点，高温气冷堆核电站蒸汽发生器二次侧出口的高温蒸汽直接推动汽轮机发电，而工程验证试验由于试验台架空间和规模的限制，只能采用高压冷凝的方式来冷凝高温蒸汽。因此，工程验证试验台架除蒸汽发生器(加热系统)外，还包括与其直接串联的回热器和冷凝器(冷凝系统)。第2点，核电站二回路采用主给水泵，压升可达14.0 MPa以上，而工程验证试验采用循环水泵，压升仅约为2.0 MPa。第3点，核电站蒸汽发生器主给水管道较长且复杂，相比之下，在工程验证试验中从泵出口到蒸汽发生器入口的总管长度和阻力环节较小。
本课题组在之前的研究中建立了加热管和冷凝管的时域理论模型，得出在相同条件(加热或冷却功率，流量、管长和管径等)下，冷凝系统比加热系统更加稳定的结论。因此，在相同条件下工程验证试验中的蒸汽发生器更容易出现不稳定性，即回热器或冷凝器对试验中得到的蒸汽发生器的稳定边界没有影响。实际核电站主给水泵和工程验证试验循环泵的压升区别对稳定性无影响。不同的是，两者的流量扬程特性曲线斜率不同，这会对稳定性产生影响，并且可以归结为等效入口阻力系数的差异。值得注意的是，入口非加热段或入口阻力系数有利于蒸汽发生器的稳定性。鉴于核电站蒸汽发生器的入口非加热段和入口阻力系数大于工程验证试验，因此，工程验证试验的结果可以保守地预测核电站蒸汽发生器的稳定性边界。
在工程验证试验台架上，对HTR-PM直流蒸汽发生器开展了部分功率工况两相流不稳定性试验[4-5]，验证了蒸汽发生器在部分功率工况(30%、50%和75%)下均能稳定运行。试验期间，通过减小系统运行压力探索了蒸汽发生器的稳定性边界。其中，50%功率工况下的稳定性边界在4.0 MPa附近，30%功率工况下的稳定性边界在6.0 MPa附近，10%功率工况下的稳定性边界在10.0 MPa附近。
文[4-5, 20, 52, 59]研究了HTR-PM直流蒸汽发生器，并开发了时域理论法、频域理论法和一维瞬态程序，同时还使用RELAP5程序预测了稳定性边界。在满功率和部分功率的工况下，当系统运行压力为14.0 MPa、入口阻力系数约为1 000时，采用上述4种方法均得到蒸汽发生器可稳定运行的结论。接着，采用时域理论法、频域理论法和RELAP5进行了进一步分析。时域理论法显示在10%功率工况下，稳定性边界对应的压力范围为7.0~10.0 MPa。在30%和50%功率工况下，稳定性边界对应的压力范围为3.5~7.0 MPa。频域理论法显示在10%、30%和50%功率工况下，稳定性边界对应的压力范围分别为7.0~10.0、3.5~7.0和3.5~7.0 MPa。RELAP5程序计算得到了10%功率工况下的稳定性边界对应的压力范围为7.0~ 10.0 MPa。图 6为直流蒸汽发生器稳定性边界的实验值、时域理论法预测值、频域理论法预测值、RELAP5预测值和一维瞬态程序预测值的对比，可知开发的各种方法和RELAP5软件能够与直流蒸汽发生器稳定性边界的测量值较好地吻合。
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| 图 6 HTR-PM直流蒸汽发生器稳定性边界测量结果与预测值对比 |
| 图选项 |
在降低压力探索稳定性边界时，蒸汽发生器(并联管系统)出现了2种密度波型脉动现象，即管间脉动和整体脉动[96-97]。其中，管间脉动是指总管流量几乎不变，每根分管的入口流量出现一定相位差的脉动；整体脉动是指总管流量和每个分管入口流量脉动的相位差一致。
在10%、30%和50%功率工况下，当循环泵的旁通阀开启时，系统会出现整体脉动，然而通过增加总管节流系数，可以消除整体脉动[96-97]。根据式(39)—(41)的无量纲泵数和无量纲旁通数，当旁通阀开启后，无量纲旁通数减小，泵和旁通共同作用下的无量纲数Npump+bypass减小。这会造成边界条件趋于恒定压降边界条件，导致出现整体脉动。此外，当出现整体脉动时，每根分管的脉动行为是相同的。因此，可以采用含一定入口阻力系数和入口非加热段的单根加热管来研究蒸汽发生器的稳定性。对于单根加热段而言，增加入口阻力系数有利于提高系统的稳定，即增加总管节流系数可消除不稳定现象。
在30%和50%功率工况下，当旁通阀关闭时，系统出现了管间脉动，通过增加分管节流系数可消除该脉动[96-97]。当旁通阀关闭时，边界条件主要由无量纲泵数(泵的流量扬程特性曲线)决定。在工程验证试验中，边界条件更趋于恒定流量边界条件，因此导致产生了管间脉动。此外，对于每根分管而言，增加入口阻力系数有利于提高系统的稳定性。因此，增加每根传热管入口节流阻力系数即可消除不稳定现象。
5 结论本文系统总结并介绍了两相流不稳定性的分类、机理、模型、研究方法、研究现状和工程应用。两相流不稳定性可分为SI(流量漂移)和DI(密度波型脉动和压力降型脉动)。其中，流量漂移和压力降型脉动发生在加热管内部水动力特性曲线的负斜率区，可通过消除该区域来消除流量漂移和压力降型脉动。与此相反，密度波型脉动可发生在正斜率区，本质在于流动和压降的变化与传热引起过冷水段长度和饱和两相段密度的变化(热量传递慢与流动和压力变化)存在相位差。研究方法包括时域理论法(非线性方法和线性方法)、频域理论法和离散数值求解法等。
本课题组的理论研究成果包括无量纲数、代数判据、参数影响规律、无量纲数图、边界条件和模型简化等。为描述过热系统饱和两相段和过热蒸汽段的加热效应，本文提出了两相数和过热数，并进一步给出了描述过热系统的数学判据。基于数学判据，给出了不同条件下Fr和摩擦数对密度波型脉动的影响规律，并在Fr和摩擦数参数影响规律的基础上，统一了几何参数(管长、管径和倾斜角等)对密度波型脉动的影响规律，解释了此前研究矛盾的结论。此外，本文提出了Nsub和Npch无量纲数图的应用范围，该无量纲数图不能用于研究流量和压力对稳定边界的影响，但可以用来研究Fr、摩擦数、管长、管径和倾斜角等。本文还提出了使用无量纲泵数和无量纲旁通数来描述泵和旁通对稳定边界的影响，并理论推导和证明了模型简化和边界条件对稳定性的影响，解释了此前研究有关并联管数量对稳定性影响矛盾的结论。最后，本文探究了如何利用实验室小规模单管或者并联管实验段及简化的工程验证试验回路来替代实际电厂蒸汽发生器及二回路系统的条件。
除了上述理论研究成果外，本课题组还进行了高温气冷堆直流蒸汽发生器两相流稳定性分析，从设计上避免了两相流不稳定性的发生，并给出了稳定运行边界。此外，本课题组还开发了高温气冷堆直流蒸汽发生器两相流稳定性分析的时域理论法、频域理论法、RELAP5模型和一维瞬态程序。这些程序和方法与蒸汽发生器工程验证试验结果吻合较好。基于模型简化和边界条件对稳定性的影响规律，以及加热冷凝耦合系统的稳定性规律，本文得出了蒸汽发生器工程验证试验可保守地预测HTR-PM核电站蒸汽发生器两相流稳定性的结论。同时，揭示了蒸汽发生器工程验证试验中管间脉动和整体脉动2种密度波型脉动出现的条件，并提出了消除脉动的方法。
不同于加热系统，冷凝系统的稳定性研究相对较少，机理研究也不够充分。目前大多数研究都是在地球重力的影响下开展的，未来可在微重力或超重力的条件下开展重力效应对稳定性的研究。
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