, 桂南1, 杨星团1, 屠基元2, 姜胜耀11. 清华大学 核能与新能源研究院，先进反应堆工程与安全教育部重点实验室，北京 100084，中国;
2. 澳大利亚皇家墨尔本理工大学 工学院，墨尔本 VIC 3083，澳大利亚
收稿日期：2023-02-20
基金项目：国家科技重大专项(2011ZX06901-003)
作者简介：李顺洋(1997－)，男，博士研究生
通讯作者：万力，副研究员，E-mail: liwan@tsinghua.edu.cn
摘要：针对核电厂静密封泄漏率的计算，该文使用弹塑性接触理论构建了密封界面的泄漏通道模型，使用渗流理论计算泄漏通道的泄漏率。研究了载荷、密封表面形貌参数对泄漏通道的孔隙、渗流特征的影响。计算结果表明：随着静密封所受载荷不断增加，静密封界面间泄漏通道的孔隙率、渗透率不断减小，使泄漏率持续减小。在不同载荷水平下，泄漏率减小的趋势也不同。密封面的表面形貌影响密封面抵抗变形的能力，在材料属性不变的前提下，塑性指数较高的密封面会对密封产生不利影响。泄漏通道呈现自相似特征，因此可以通过泄漏通道的孔隙率推测其渗透率。
关键词：静密封弹塑性接触理论多孔介质泄漏率
Evaluation of leakage rates of static seals based on elastic-plastic contact theories and seepage theories
LI Shunyang1, WAN Li1
, GUI Nan1, YANG Xingtuan1, TU Jiyuan2, JIANG Shengyao11. Institute of Nuclear and New Energy Technology, Key Laboratory of Advanced Reactor Engineering and Safety of Ministry of Education, Tsinghua University, Beijing 100084, China;
2. School of Engineering, Royal Melbourne Institute of Technology University, Melbourne VIC 3083, Australia
Abstract: [Objective] The unintended leakage that occurs on the interface between the static seal and the flange leads to potential environmental pollution, economic loss, and safety accidents. The evaluation of leakage rates is a major concern in the industrial field. However, due to the problem's complexity, the leakage rates are usually calculated by a simplified or equivalent model, which deviates from the actual state of static seals. [Methods] In this study, a semi-analytical model is proposed to evaluate the leakage rates for static seals using the contacting model and seepage theory. The leakage rate is expressed as a function of working conditions, fluid properties, and leakage channel permeability. Working conditions, such as fluid pressure and fluid properties, including viscosity, are input parameters, while permeability needs to be inferred. Therefore, the deformation of asperities on the surfaces of static seals is calculated in advance by the elastic-plastic contact model. The porosity and permeability are calculated afterward. Several assumptions are made to simplify the calculations. First, the contacting process between the flange and the static seal is equivalent to the process of a rigid and rough surface. The distribution of asperity heights is then described using a Gaussian function, which is suitable for common materials. Finally, the leakage channel is assumed to be self-similar since the observation scale is much smaller than the characteristic scale of leakage channels. This assumption enables the relationship between permeability to porosity to be expressed explicitly. [Results] The deformation of asperities under different loads was investigated using this model. It was shown that the reduction of the dimensionless height of the leakage channel results in a lower porosity, and a larger load was required. During this process, the portion of the asperities subjected to plastic deformation also increased. The porosity of the leakage channel decreased rapidly under a lower load. However, the porosity decreased at a slower rate as the load further increased because the asperities became difficult to deform. The total deformation of the rough surface was less relative to the plasticity index compared to the pure elastic model because the former considers the rearrangement of local stress by interacting asperities and the displacement of the reference plane. The plasticity index was used to examine the deformation of the rough surface in relation to the surface topology. Although asperities with a higher plasticity index were more likely to undergo plastic deformation, the total surface deformation was reduced in this case. Several relationships between porosity and permeability were presented and validated. The relation under the assumption of self-similarity agreed well with the literature results, whereas the Kozeny-Carman relation was less accurate because it was based on an assumption deviating from the actual geometry of the leakage channel. When the load increased, the permeability of the leakage channel decreased, and thus the leakage rates reduced. [Conclusions] The value of leakage rates can be inferred by the model proposed in this study as long as the working condition and material properties are given. The model can explain the effects of load and surface topology. The model can be applied to various types of static seals, such as gaskets and rings, since it focuses on the contacting process, which is irrelevant to the structural design. However, the model's predictability decreases for seals with uneven stress or heavily worn surfaces.
Key words: static sealselastic-plastic contact theoriesporous medialeakage rates
静密封被广泛应用于核电厂管道、阀门、泵等场合，用于阻止流体介质泄漏至外界，防止发生潜在的环境污染、经济损失和安全事故[1]。根据密封面与被密封面的接触状态，静密封可以分为面密封(如垫片式密封)和线密封(如环状密封)。然而，完全阻止流体泄漏几乎不可能[2]。在实际工程中，一般会根据工况设定一个最大的允许泄漏率，该泄漏率的大小标志着对所需静密封密封性能要求的高低。
作为衡量静密封密封性能最重要的指标，泄漏率除了与静密封本身的结构设计有关，还与其工作环境，如载荷、温度、流体压力等参数有关。Yanagisawa等[3]研究了介质压力、泄漏通道高度对泄漏率的影响。Arghavani等[4]研究了表面粗糙度、密封所受应力等多种因素对泄漏率的影响。除了通过试验直接获取泄漏率的计算关系式以外，研究者们也试图对静密封的泄漏规律进行建模，据此对泄漏率展开估算。由于泄漏率的影响因素众多，变化规律复杂，大多数研究以整理经验公式为主。比如，Patir等[5]提出的流量因子法使用经验公式修正预测的泄漏率。Arghavani等[4]使用指数函数描述泄漏率与密封表面应力、流体压力之间的关系。顾伯勤等[6]将泄漏率整理为温度和密封应力的幂函数。
泄漏一般发生在静密封与法兰接触面之间。在螺栓预紧力的影响下，静密封发生形变，填补法兰表面的缺陷，阻止流体进入。然而，静密封的形变能力有限，即使在工作状态下，法兰表面仍然存在部分未被填充的缺陷，这些缺陷形成相互连通的泄漏通道。一般而言，密封在正常工作时，密封面之间的流体为层流流态，这减小了求解泄漏问题时的复杂程度，但同时，密封面与被密封面表面形貌复杂，这对泄漏通道的描述造成了困难。早期研究多采用等效或简化模型描述泄漏通道，如平行圆板模型[5]、粗糙平行圆板模型[7]、考虑径向波度的泄漏模型[8]、考虑端面锥度的泄漏模型[9]。后来****们考虑将渗流模型应用于密封领域[10]。该模型将泄漏通道视为各向同性的多孔介质，使用Darcy公式求解泄漏率。
渗流模型利用泄漏通道的渗透率计算最终的泄漏率。常用的方案是利用毛细管模型或球体堆积模型得到渗透率的表达式[2, 10]。这样的处理仍然属于等效或简化的方案，忽略了密封表面的原有特征。实际上，密封表面的变形与孔隙的形成可以通过弹塑性模型描述，并且已有****尝试将其引入到泄漏率的计算中。Etsion等[11]最早利用G-W弹性接触理论对静密封的泄漏通道进行建模，详细分析了密封面的形貌参数和塑性指数对泄漏率的影响。与传统模型相比，基于接触理论的泄漏模型能完整地描述静密封的工作过程，可以借此对密封面的变形、泄漏通道的产生作出更完整的分析。
不过，G-W弹性接触理论仅考虑了密封表面的弹性变形，这与静密封的实际工作状态不符。许多****基于G-W弹性接触理论，提出了大量修正模型，这些模型考虑了微凸体的弹性及塑性变形，具有更好的普适性[12-13]。嵇正波等[14]研究了泄漏通道在弹性、弹塑性、塑性等多种状态下孔隙特征及泄漏率的变化，模型预测值与试验数据基本一致。
基于以上工作，本文提出了一种基于接触理论和渗流模型的泄漏率计算模型。首先，利用弹塑性接触模型建立泄漏通道的多孔介质模型；然后，基于渗流理论计算流体的泄漏率；最后，讨论泄漏率随多种因素的变化关系。核电厂的工作环境复杂，运行条件苛刻。建立泄漏模型，研究泄漏率的变化规律对核电站静密封的选型和设计具有重要意义。
1 模型建立1.1 泄漏通道的弹塑性接触模型泄漏通道由密封面和被密封面相互接触挤压而成，两个表面的变形能力并不相同。为了简化分析，泄漏通道由一个刚性平面和等效粗糙表面相互接触而成，两个表面都具有相同的名义面积Am。等效粗糙表面同时考虑了法兰和静密封表面的形貌和力学参数，其等效弹性模量E可计算如下：
| $E=\left(\frac{1-\nu_1^2}{E_1}+\frac{1-\nu_2^2}{E_2}\right)^{-1}.$ | (1) |
等效的粗糙表面分布着许多不同高度的微凸体和凹陷，如图 1所示。在粗糙表面的某一位置沿水平方向取一个基准平面(微凸体基准平面)，则每个微凸体的高度z可以定义为凸体最高处与微凸体基准平面之间的距离。另外，对整个粗糙表面定义另一个基准平面，即粗糙表面基准平面，该平面与微凸体基准平面的距离为ys，将刚性平面与该基准平面的平均距离h视为泄漏通道的高度。假设刚性平面最开始刚好与某个微凸体接触，当刚性平面受到总载荷Wt的影响，向下移动距离δ时，微凸体相应地被压平。此时微凸体的形变具有两个分量：一个是微凸体自身形变ω，另一个是其他微凸体形变对该微凸体造成的影响分量ug。此外，基准平面也相应的下沉距离ub。根据Zhao等[13]的理论，微凸体自身变形、刚性平面高度、微凸体最初高度满足如下关系：
| $\omega=z-h+y_{\mathrm{s}}+1.12 \frac{\sqrt{w_1 p_{\mathrm{m}}}}{E} .$ | (2) |
 |
| 图 1 粗糙表面接触模型示意图 |
| 图选项 |
其中：wl为微凸体的局部接触载荷；pm为名义整体压力，pm=Wt/Am。ys计算如下[15]：
| $y_{\mathrm{s}}=\frac{\sqrt{3}}{12 \pi \beta}.$ | (3) |
随着刚性平面不断向下移动，微凸体的变形可分为3个阶段：弹性变形、弹塑性变形和塑性变形[16]。变形阶段通过临界值ω1和ω2确定。当ω≤ω1时，微凸体经历弹性变形阶段；当ω1 < ω≤ω2时，微凸体经历弹塑性变形阶段；当ω≥ω2时，微凸体经历完全塑性变形阶段。当某个微凸体处于不同变形阶段时，其所受的载荷wl也呈现不同的规律，具体表示如下：
| $w_1=\left\{\begin{array}{l}\frac{4}{3} E R^{\frac{1}{2}} \omega^{\frac{3}{2}}, \omega<\omega_1 ; \\\pi R \omega H\left[1-(1-k) \frac{\ln \omega_2 / \omega}{\ln \omega_2 / \omega_1}\right] \cdot \\{\left[1-2\left(\frac{\omega-\omega_1}{\omega_2-\omega_1}\right)^3+3\left(\frac{\omega-\omega_1}{\omega_2-\omega_1}\right)^2\right], } \\\omega_1 \leqslant \omega \leqslant \omega_2 ; \\2 \pi R \omega H, \omega>\omega_2 .\end{array}\right.$ | (4) |
对于整个粗糙平面，如果微凸体的高度满足某一分布?(z)，那么就可以得到粗糙平面所受的总载荷, 具体表示如下：
| $\begin{aligned}& W_{{\mathrm{t}}}=\frac{4}{3} \eta A_{{\mathrm{m}}} E R^{\frac{1}{2}} \int_{h-y_{{\mathrm{s}}}}^{h-y_{{\mathrm{s}}}+\omega_1} \omega^{\frac{3}{2}} \phi(z) {\mathrm{d}} z+ \\& 2 \eta A_{{\mathrm{m}}} \pi H R \int_{h-y_{{\mathrm{s}}}+\omega_2}^{+\infty} \omega \phi(z) {\mathrm{d}} z+ \\& \eta A_{{\mathrm{m}}} \pi R \int_{h-y_{{\mathrm{s}}}+\omega_1}^{h-y_{{\mathrm{s}}}+\omega_2}\left[H-H(1-k) \frac{\ln \omega_2-\ln \omega}{\ln \omega_2-\ln \omega_1}\right] \\& {\left[1-2\left(\frac{\omega-\omega_1}{\omega_2-\omega_1}\right)^3+3\left(\frac{\omega-\omega_1}{\omega_2-\omega_1}\right)^2\right] \omega \phi(z) {\mathrm{d}} z, } \\&\end{aligned}$ | (5) |
| $ \omega_1=\left(\frac{3}{4} \times \frac{\pi k H}{E}\right)^2 R, $ | (6) |
| $ \omega_2=25 \omega_1 . $ | (7) |
| $\left\{\begin{array}{l}\frac{{\mathrm{d}}}{{\mathrm{d}} r}\left(r \frac{{\mathrm{d}} p}{{\mathrm{~d}} r}\right)=0, \quad r_{\text {in }}<r<r_{\text {out }} ; \\p=p_{\text {in }}, \quad r=r_{\text {in }} ; \\p=p_{\text {out }}, \quad r=r_{\text {out }} .\end{array}\right.$ | (8) |
| $Q=\frac{2 \pi K h\left(p_{\text {out }}-p_{\text {in }}\right)}{\mu \ln \frac{r_{\text {out }}}{r_{\text {in }}}} .$ | (9) |
Costa[18]针对一般的分形泄漏通道提出了渗透率与孔隙率ε满足的关系：
| $K=C \frac{\varepsilon^{n+1}}{1-\varepsilon} .$ | (10) |
孔隙率本身可以通过粗糙表面的Abbott曲线和PMRC曲线计算获得。Abbott曲线又称支承面曲线，代表某一高度的水平面与粗糙表面相交时，截面所占名义面积的比例[19]。PMRC曲线则根据Abbott曲线对横坐标进行缩放获得。一般的粗糙平面满足Gauss平面假设，那么其PMRC曲线为一条直线[20], 可表示为
| $z=-\sigma x_{\mathrm{PMRC}}.$ | (11) |
| $x_{\mathrm{PMRC}}=\sqrt{2} {\mathrm{erf}}^{-1}\left(-1+2 x_{\mathrm{MRC}}\right).$ | (12) |
| $x_{\mathrm{MRC}}=\frac{1}{2}\left[1+{\rm{erf}}\left(-\frac{\sqrt{2}}{2} \frac{z}{\sigma}\right)\right] .$ | (13) |
| $V=A_n \int_{z_{\min }}^{z_{\max }} x_{\mathrm{MRC}} {\mathrm{d}} z .$ | (14) |
| $\begin{gathered}\varepsilon=1-\frac{1}{z_{\max }-z_{\min }-\delta} \times \\\int_{z_{\min }}^{z_{\max }} \frac{1}{2}\left[1+{\mathrm{erf}}\left(-\frac{\sqrt{2}}{2} \frac{z}{\sigma}\right)\right] {\mathrm{d}} z .\end{gathered}$ | (15) |
| $\begin{gathered}\varepsilon=1-\frac{1}{h-z_{\min }} \times \\\int_{z_{\min }}^{z_{\max }} \frac{1}{2}\left[1+{\mathrm{erf}}\left(-\frac{\sqrt{2}}{2} \frac{z}{\sigma}\right)\right] {{\mathrm{d}}} z.\end{gathered}$ | (16) |
2 结果与讨论2.1 数据处理为了便于与文献结果比较，计算结果需要进行相应的无量纲处理。对于某个长度变量L，定义相应的无量纲量
| $\hat{L}=\frac{L}{\sigma} .$ | (17) |
定义无量纲载荷
| $\hat{W}_{\mathrm{t}}=\frac{W_{\mathrm{t}}}{A_{\mathrm{m}} E} .$ | (18) |
| $\psi=\frac{2 E}{\pi k H}\left(\frac{\sigma}{R}\right)^{0.5}\left(1-\frac{3.717 \times 10^{-4}}{\beta^2}\right)^{0.25} .$ | (19) |
?的计算方式如下[12]：
| $\phi(\hat{z})=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \frac{\sigma}{\sigma_{\mathrm{s}}} \exp \left[-\frac{1}{2}\left(\frac{\sigma}{\sigma_{\mathrm{s}}}\right)^2 \hat{z}^2\right], $ | (20) |
| $\frac{\sigma}{\sigma_{\mathrm{s}}}=\left(1-\frac{3.717 \times 10^{-4}}{\beta^2}\right)^{0.25} .$ | (21) |
表 1 表面形貌参数[13]
| ψ | β=ησR | σ/R |
| 0.7 | 0.033 9 | 0.000 16 |
| 1.5 | 0.047 6 | 0.000 66 |
| 2.5 | 0.060 1 | 0.001 77 |
表选项
2.2 载荷对微凸体形变的影响当刚性平面与粗糙表面基准平面的距离h不断减少时，发生形变的微凸体数量变多，微凸体形变程度增加；与此同时，为了对抗增加的微凸体内应力，对刚性平面施加的载荷也需要相应增加。无量纲距离与无量纲载荷的变化关系如图 2所示。为进一步说明微凸体的变形特征，图 2还同时展示了在相同表面参数下，使用弹性模型计算的结果。与弹塑性模型相比，弹性模型仅考虑微凸体的弹性变形，即ω1=ω2=∞。轻载条件下，弹性模型与弹塑性模型计算结果基本相同，说明微凸体此时以弹性形变为主。随着载荷增加，弹性模型与弹塑性模型的计算结果出现了较大的差异，说明有大量的微凸体发生了弹塑性和塑性形变。
 |
| 图 2 无量纲载荷与无量纲距离的变化关系 |
| 图选项 |
与纯弹性模型相比，弹塑性模型预测下的微凸体变形程度与塑性指数的相关性变得更低。这是因为在弹塑性模型中，微凸体间的相互作用和基准平面的位移释放了部分微凸体所受的应力，从而增强了微凸体抵抗变形的能力，在塑性指数较小的表面，这种影响尤为明显。一方面，如果微凸体发生了较大的形变，其可以将部分形变传递给周围的微凸体，这样微凸体的总体形变程度将减小；另一方面，粗糙平面的基准平面在载荷影响下下沉，这使微凸体的形变得到进一步的恢复。如果粗糙表面不容易发生塑性变形，那么微凸体之间以及微凸体向基准平面传递载荷的过程更为容易，弹塑性模型预测的距离值低于弹性模型的预测值。
如果粗糙平面的塑性指数较大，微凸体将更容易发生塑性变形。在相同的载荷下，塑性模型给出的微凸体形变程度将更高，从而弥补了上述两个效应的影响，使两个平面更靠近，无量纲距离将低于弹性模型计算值。
2.3 载荷与孔隙率的关系泄漏通道的孔隙率与无量纲距离的关系如图 3所示。在粗糙平面形貌分布函数?的影响下，孔隙率与无量纲距离呈现非线性关系。泄漏通道的孔隙率与无量纲载荷的关系如图 4所示。随着载荷增加，泄漏通道孔隙率的变化分为两个阶段。第一个阶段是当载荷水平较低时(
 |
| 图 3 孔隙率与无量纲距离的关系 |
| 图选项 |
 |
| 图 4 孔隙率与无量纲载荷的关系 |
| 图选项 |
静密封在安装时会预先使用螺栓施加一定的载荷，迫使密封表面发生形变以降低泄漏通道的孔隙率。从上述讨论的结果看，随着载荷增加，泄漏通道孔隙的封闭将相应变得困难，同时较高的螺栓载荷也对材料的性能极限提出了更高的要求。因此通过增加载荷实现泄漏通道的完全封闭不可行。
粗糙平面抵抗变形的能力不仅由材料的力学参数决定，还与表面的形貌特征有关。由式(19)可知，塑性指数的值由参数σ/R和β控制，其值增加会使塑性指数增加，平面更容易发生塑性变形。但另一方面，较高的塑性指数使粗糙平面总体抵抗变形的能力增强。图 4反映出在相同的载荷条件下，塑性指数较高的粗糙平面反而具有较高的孔隙率。从式(5)可以看出，对于给定的
图 5给出了在塑性指数相同的条件下，β的变化对孔隙率的影响。其中，β值增加使泄漏通道的孔隙率更小。同时，当β增加到一定程度后，其对孔隙率的影响又可以忽略。β的增加代表σ/R减小，说明σ/R对孔隙率的影响更为显著。
 |
| 图 5 不同形貌参数对孔隙率和无量纲载荷关系的影响 |
| 图选项 |
对于静密封，选用合适的密封材料是其中一个方面，密封的表面形貌对密封性能也有着重要的影响。密封表面的塑性指数不应该通过改变表面形貌提高，否则不利于缺陷的填充和孔隙的封闭。合理的表面形貌可以实现静密封密封性能的进一步提升。
2.4 泄漏通道渗透率与孔隙率的关系一般而言，泄漏通道的渗透率与其形貌特征有着紧密的联系。泄漏通道的渗透率与孔隙率的关系已由式(10)给出。该式基于分形假设，即泄漏通道的孔隙具有自相似性。式中n代表了泄漏通道迂曲度对渗透率的影响。现有的静密封渗流模型多使用球体堆积模型或毛细管模型，没有考虑静密封泄漏通道的实际状态。如果泄漏通道由微凸体堆积而成，那么其渗透率和孔隙率应满足Konezy-Carman(KC)关系式，即
| $K=C \frac{\varepsilon^3}{(1-\varepsilon)^2}$ | (22) |
泄漏通道的自相似特征可以借助渗流理论的相关原理说明。根据渗流理论，泄漏通道由一个个相互连通的孔隙构成。当泄漏通道的孔隙率从零开始增加，达到某个临界值时，这些相互连通的孔隙将连通介质和外界，导致泄漏发生。在这个临界值下，泄漏通道的特征尺度为无穷[22]，即此时的泄漏通道具有尺度不变性，也称自相似性。一般而言，泄漏通道的孔隙率会显著高于临界值，此时只需要选择观测尺度，使其小于特征尺度，那么特征尺度就可以近似认为是无穷的。静密封发生泄漏时，泄漏通道贯穿静密封面，其特征尺度与静密封的几何尺寸相近，而本文的泄漏模型基于微凸体的接触过程，微凸体的几何尺度远小于泄漏通道的特征尺寸。因此在该观测尺度下，静密封的泄漏通道基本满足自相似特征。
利用文献记载的实验数据可以进一步支持这个结论。Nitta等[23]测量了密封介质为氮气，垫片宽度分别为2、3和5 mm时密封的泄漏率。利用Nitta等[23]的实验数据(表 2)可以验证哪种渗透率-孔隙率关系式适用于静密封。3种渗透率-孔隙率关系式对实验数据的拟合结果如表 3所示，与实验数据的对比如图 6所示。由图 6可知，指数函数和Costa关系式与实验数据吻合，而Kozeny-Carman关系式则高估了泄漏通道的渗透率。虽然在弹塑性模型中，微凸体通常被认为是球形，但是粗糙表面的微凸体是随机分布在基准平面上，而不是相互堆叠。这使泄漏通道的渗透率与孔隙率的关系偏离了KC关系式。Costa关系式与实验数据较为契合，说明泄漏通道满足自相似特征。当垫片厚度为5 mm时，由于垫片变宽，应力分布不再均匀，3个公式的拟合效果同时下降。
表 2 Nitta等[23]实验条件
| 参数设置 | 数值 |
| E/MPa | 82 272.6 |
| H/MPa | 420 |
| 压差pin-pout/MPa | 0.101 |
| 实验温度T/℃ | 20 |
| 垫片直径D/mm | 31 |
表选项
表 3 不同渗透率模型对实验数据的拟合关系式
| 垫片宽度/mm | 拟合参数值 | ||||||
| 指数关系式K=aexp(bε) | KC关系式 | Costa关系式 | |||||
| a/m2 | b | C/m2 | C/m2 | n | |||
| 2 | 3.04×10-20 | 45.99 | 2.52×10-13 | 3.65×10-8 | 11.98 | ||
| 3 | 2.44×10-21 | 62.22 | 2.20×10-12 | 2.08×10-4 | 17.18 | ||
| 5 | 2.02×10-18 | 34.47 | 4.69×10-12 | 6.37×10-8 | 11.92 | ||
表选项
 |
| 图 6 不同渗透率-孔隙率关系式对文[23]数据的拟合效果 |
| 图选项 |
虽然Costa的渗透率-孔隙率关系式能较好地描述泄漏通道的渗透规律，但也有一些不足。在载荷的影响下，除了孔隙率，其他孔隙特征也会相应发生变化。这使关系式中的C和n将随载荷变化，不利于事先估计。根据表 3的拟合结果，3 mm实验数据的拟合参数与其他实验条件相比变化较大，说明Costa关系式对实验数据的偶然误差较为敏感。实际使用时，可以限制n或C的取值范围，通过牺牲准确性获得较稳定的参数取值，以实现对泄漏率的估计。
2.5 载荷与泄漏率的关系载荷的变化将最终影响泄漏率的变化。使用文[23]的密封参数，结合表 3 Costa关系式计算密封的泄漏率，结果如图 7所示。当无量纲载荷不大时，泄漏率下降较快；当无量纲载荷较大时，泄漏率下降速率放缓，这与孔隙率的变化一致。同时，高塑性指数的粗糙平面抵抗变形的能力更强，使泄漏率比低塑性指数平面更高。根据Costa关系式，如果载荷较大，使泄漏通道的孔隙率小于一定值，此时泄漏通道的渗透性能急剧下降，泄漏率迅速减小。如当ψ=0.1，无量纲载荷
 |
| 图 7 无量纲载荷对泄漏率的影响 |
| 图选项 |
3 结论本文基于弹塑性接触模型建立了静密封界面泄漏通道模型，使用渗流模型求解静密封的泄漏率。讨论了载荷、密封面表面形貌对泄漏通道的孔隙率、渗透率和泄漏率的影响。主要结论如下：
(1) 随着静密封载荷增加，密封面微凸体出现两个阶段的整体变形过程。当静密封载荷较小时，密封表面的微凸体更容易发生变形，泄漏通道孔隙率快速减小；当静密封载荷较大时，密封表面的微凸体不容易发生变形，泄漏通道孔隙率变化速率放缓。
(2) 密封面微凸体的形变受表面形貌参数的影响。即使密封表面的塑性指数较大，表面的微凸体更容易发生塑性变形，如果微凸体分布更不均匀，密封面名义载荷更容易分散，密封面整体抵抗变形的能力反而更高，更不利于密封。
(3) 泄漏通道呈现自相似特征，因此可以利用泄漏通道的孔隙参数推测渗流参数，实现泄漏率的计算。随着密封载荷增加，密封面泄漏通道的孔隙率下降，渗透性能变差，泄漏率也相应降低。
综上所述，本文的静密封泄漏模型可以解释载荷、密封表面形貌对静密封泄漏率的影响。同时，在给定的载荷下，如果密封的尺寸、形貌参数、密封介质的类型已知，利用本文的泄漏模型也可以预测相应的泄漏率。由于该模型仅关注密封面之间的接触过程，与密封结构无关，因此该模型可以用于常见的垫片式密封，也可以用于线密封，如O型、C型环，这使该模型可以为核电厂静密封的选型和设计提供参考。该模型也存在一些不足，如与文献的对比验证结果表明，当密封出现较大的应力分布不均时，该模型的预测能力下降；另外，为了保证Gauss分布函数的适用性，该模型不适用于高度磨损的表面。
参考文献
| [1] | SOTOODEH K. Prevention of valve fugitive emissions in the oil and gas industry[M]. Amsterdam, the Netherlands: Elsevier, 2021. |
| [2] | BOUZID A H. A study on liquid leak rates in packing seals[J]. Applied Sciences, 2021, 11(4): 1936. DOI:10.3390/app11041936 |
| [3] | YANAGLSAWA T, SANADA M, KOGA T, et al. The influence of designing factors on the sealing performance of C-seal[J]. SAE transactions, 1991(100): 651-657. |
| [4] | ARGHAVANI J, DERENNE M, MARCHAND L. Effect of surface characteristics on compressive stress and leakage rate in gasketed flanged joints[J]. The International Journal of Advanced Manufacturing Technology, 2003, 21(10-11): 713-732. DOI:10.1007/s00170-001-1120-2 |
| [5] | PATIR N, CHENG H S. An average flow model for determining effects of three-dimensional roughness on partial hydrodynamic lubrication[J]. Journal of Lubrication Technology, 1978, 100(1): 12-17. DOI:10.1115/1.3453103 |
| [6] | 顾伯勤, 陈晔. 高温螺栓法兰连接的紧密性评价方法[J]. 润滑与密封, 2006(6): 39-41, 44. GU B Q, CHEN Y. Tightness assessment method of bolted flanged connections at elevated temperature[J]. Lubrication Engineering, 2006(6): 39-41, 44. DOI:10.3969/j.issn.0254-0150.2006.06.012 (in Chinese) |
| [7] | MAYER E. Mechanical seals[M]. Oxford, UK: Butterworth-Heinemann, 2013. |
| [8] | LEBECK A O. Contacting mechanical seal design using a simplified hydrostatic model[J]. Tribology International, 1988, 21(1): 2-14. DOI:10.1016/0301-679X(88)90121-1 |
| [9] | 彭旭东, 顾永泉. 不同相态下端面形貌和流体惯性对机械密封性能的影响[J]. 石油大学学报(自然科学版), 1990, 14(3): 62-70. PENG X D, GU Y Q. The effects of coning face and fluid inertia on the performance of mechanical face seals at various phase states[J]. Journal of the University of Petroleum, China, 1990, 14(3): 62-70. (in Chinese) |
| [10] | 顾伯勤. 多孔介质气体流动模型在垫片密封中的应用[J]. 南京化工大学学报, 1999, 21(1): 20-24. GU B Q. Application of model of gases flowing through porous media to gasket sealing[J]. Journal of Nanjing University of Chemical Technology, 1999, 21(1): 20-24. (in Chinese) |
| [11] | ETSION I, FRONT I. A model for static sealing performance of end face seals[J]. Tribology Transactions, 1994, 37(1): 111-119. DOI:10.1080/10402009408983273 |
| [12] | CHANG W R, ETSION I, BOGY D B. An elastic-plastic model for the contact of rough surfaces[J]. Journal of Tribology, 1987, 109(2): 257-263. DOI:10.1115/1.3261348 |
| [13] | ZHAO Y W, CHANG L. A model of asperity interactions in elastic-plastic contact of rough surfaces[J]. Journal of Tribology, 2001, 123(4): 857-864. DOI:10.1115/1.1338482 |
| [14] | 嵇正波, 孙见君, 陆建花, 等. 基于逾渗理论的机械密封界面静态泄漏预测方法[J]. 摩擦学学报, 2017, 37(6): 734-742. JI Z B, SUN J J, LU J H, et al. Predicting method for static leakage of contacting mechanical seals interface based on percolation theory[J]. Tribology, 2017, 37(6): 734-742. (in Chinese) |
| [15] | MCCOOL J I. Predicting microfracture in ceramics via a microcontact model[J]. Journal of Tribology, 1986, 108(3): 380-385. DOI:10.1115/1.3261209 |
| [16] | JACKSON R L, GREEN I. A statistical model of elasto-plastic asperity contact between rough surfaces[J]. Tribology International, 2006, 39(9): 906-914. DOI:10.1016/j.triboint.2005.09.001 |
| [17] | 孔祥言. 高等渗流力学[M]. 2版. 合肥: 中国科学技术大学出版社, 2010. KONG X Y. Advanced mechanics of fluid flow in porous media[M]. 2nd ed. Hefei, China: University of Science and Technology of China, 2010. (in Chinese) |
| [18] | COSTA A. Permeability-porosity relationship: A reexamination of the Kozeny-Carman equation based on a fractal pore-space geometry assumption[J]. Geophysical Research Letters, 2006, 33(2): L02318. |
| [19] | ISO. Geometrical product specifications (GPS)—surface texture: Profile method; Surfaces having stratified functional properties — part 2: Height characterization using the linear material ratio curve: ISO 13565-2: 1996[S]. Geneva: International Organization Standardization, 1996. |
| [20] | WILLIAMSON J B P. Paper 17: Microtopography of surfaces[J]. Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers, Conference Proceedings, 1967, 182(11): 21-30. |
| [21] | GREENWOOD J, WILLIAMSON J. Contact of nominally flat surfaces[J]. Proceedings of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences, 1966, 295(1442): 300-319. |
| [22] | HUNT A. Percolation theory for flow in porous media[M]. Berlin, Germany: Springer, 2005. |
| [23] | NITTA I, MATSUZAKI Y. Experimental study of the performance of static seals based on measurements of real contact area using thin polycarbonate films[J]. Journal of Tribology, 2010, 132(2): 022202. |
