, 姜齐荣1, 毛航银21. 清华大学电机工程与应用电子技术系, 电力系统及大型发电设备安全控制和仿真国家重点实验室，北京 100084;
2. 国网浙江省电力有限公司, 杭州 310007
收稿日期：2021-09-13
基金项目：国家电网有限公司科技项目“‘双高’电力系统稳定性基础理论研究”(5100-201999525A-0-0-00)
作者简介：刘威(1994—)，男，博士研究生
通讯作者：谢小荣，教授，E-mail: xiexr@tsinghua.edu.cn
摘要：变流式新能源机组并网后可能引发次/超同步振荡。随着运行工况、电网强度和变流器控制参数的变化，次/超同步振荡频率可能逐渐接近工频，变为小扰动同步失稳引发的功率低频振荡问题。该文首先比较了次/超同步振荡和小扰动同步失稳的基本特征，指出用于次/超同步振荡分析的阻抗模型方法同样可用于分析小扰动同步失稳问题。然后，通过数学推导证明了对于同一变流式新能源机组并网系统，基于锁相环(phase-locked loop，PLL)动态方程分析和基于频率耦合阻抗模型分析的等价性，进一步为阻抗模型方法分析小扰动同步稳定性奠定理论基础。最后，通过时域仿真验证了阻抗模型方法分析变流式新能源机组小扰动同步稳定性的准确性。
关键词：变流式新能源机组小扰动同步稳定性次/超同步振荡阻抗模型锁相环(phase-locked loop, PLL)动态
Sub-/super-synchronous oscillation, small signal synchronizing stability, and impedance model analysis of converter-based renewable power generators
LIU Wei1, XIE Xiaorong1
, JIANG Qirong1, MAO Hangyin21. State Key Laboratory of Control and Simulation of Power Systems and Generation Equipment, Department of Electrical Engineering, Tsinghua University, Beijing 100084, China;
2. Zhejiang Electric Power Corporation, Hangzhou 310007, China
Abstract: Connecting converter-based renewable power generators (RPGs) to the power grid can cause serious sub-/super-synchronous oscillations (SSO). Changes in the operating conditions, grid strengths, and converter control can cause the SSO frequency to gradually approach the fundamental frequency while then leads to low-frequency small-signal synchronizing stability (SSS) oscillations. This paper compares the characteristics of SSO and SSS oscillations using the impedance model (IM)-based method that has been used to analyze SSO and is believed to be useful for analyzing the low-frequency oscillations caused by synchronous instabilities. Then, a mathematical model is used to show the equivalence between the phase-locked loop (PLL) dynamic equation-based method and the IM based method for the same grid-tied voltage source converter (VSC) system as a theoretical foundation for SSS analyses using the IM-based method. Finally, time-domain simulations verify the accuracy of the IM-based method for analyzing SSS oscillations of converter-based RPGs.
Key words: converter-based renewable power generators (RPGs)small signal synchronizing stabilitysub-/super-synchronous oscillation (SSO)impedance modelphase-locked loop (PLL) dynamic
目前风电、光伏等新能源机组主要通过变流器接入交流电网，随着其所占比例的迅速升高，由变流器参与或主导的稳定性问题凸显。例如，弱交流电网条件下，大量变流式新能源机组并网可能引发次/超同步振荡问题[1-3]。典型的如2015年新疆哈密次/超同步振荡事件，其诱因即为大规模直驱风电机组并网后网侧变流器控制与弱交流电网之间的相互作用。变流器的输出功率、采用的控制策略和参数以及电网的强度等均对次/超同步振荡特性具有显著影响[4-5]。针对此类新型稳定性问题，基于阻抗模型的分析方法被广泛采用[6]。通过在次/超同步频段内建立阻抗模型，可以结合电网参数分析新能源机组并网后的主导振荡模式，进而研究振荡频率和阻尼随机组运行工况、控制参数及电网强度的变化规律。
然而，在某些控制参数和运行工况下，变流式新能源机组并网后会监测到功率低频振荡(< 2.5 Hz)的现象，属于小扰动功角/同步稳定性问题[7-10]。但与传统汽轮机组相比，变流式新能源机组的同步稳定性存在明显差异。后者通过数字控制实现与电网的同步，一种主要的同步控制方法为采用锁相环(phase-locked loop，PLL)跟踪并网点电压相位角作为新能源机组网侧变流器控制的参考角度，从而实现自身与电网同步[9]。直驱、光伏等变流式新能源机组中的网侧变流器大都通过此种同步方式，新能源机组的小扰动失稳实为PLL锁相失败，因此常通过PLL动态方程来分析小扰动同步稳定性。在弱电网条件下，电网的等效阻抗较大，新能源机组并网点端电压对电网的扰动变得非常敏感，易引发PLL锁相失败、小扰动同步失稳，出现低频振荡现象[10-11]。显然，小扰动同步失稳与PLL结构和参数相关。此外，新能源机组网侧变流器的内环电流控制也会导致系统阻尼减小，使小扰动同步失稳风险提升[10]。
此前，变流式新能源机组的次/超同步振荡和小扰动同步稳定性是分开研究的，从机理解释、模型建立乃至分析方法均存在差异。然而，随着机组控制参数、运行工况和电网强度的变化，次/超同步振荡频率也将变化，而电流振荡频率逐渐接近工频时，新能源机组的次/超同步稳定性问题逐渐转变为小扰动同步稳定性问题。亦即，次/超同步稳定性和小扰动同步稳定性之间并未有明显的界限，小扰动同步失稳引发的功率低频振荡现象或可视为一种特殊的次/超同步振荡。不过，基于阻抗模型的分析方法是否可以用于小扰动同步稳定性问题，尚无明确答案。
本文首先观察比较直驱风电机组次/超同步振荡和小扰动同步失稳时电流和功率等的波形异同。然后，数学推导了基于PLL动态方程和基于阻抗模型的2种分析方法，证明了次/超同步振荡问题的阻抗模型方法同样适用于小扰动同步稳定性分析。最后，通过时域仿真验证了阻抗模型分析方法在小扰动同步稳定性分析中的准确性。
1 次/超同步振荡和小扰动同步稳定性1.1 次/超同步振荡失稳特性变流式新能源机组接入弱交流电网后，其网侧变流器控制与电网之间会产生次/超同步相互作用，在一定条件下会激发次/超同步振荡。图 1为某厂家的4.0 MW直驱风电机组控制器在基于实时数字仿真系统(real-time digital simulation system，RTDS)的控制硬件在环测试中出现的次/超同步振荡，其中电压、电流和有功功率测量点均在箱式变压器高压侧。测试时，保持风电机组输出功率标幺值为0.3不变，逐渐增大电网阻抗，即减小其短路比，当短路比减小至1.25时，系统出现次/超同步振荡。
 |
| 图 1 直驱风电机组次/超同步振荡 |
| 图选项 |
由图 1可知，次/超同步振荡发生后，风电机组输出电流中存在明显的次/超同步振荡分量。其中，次同步分量的频率为38 Hz，超同步分量的频率为62 Hz，二者满足耦合关系[11]，即频率之和为2倍的工频。风电机组的输出功率中存在12 Hz的次同步振荡分量，若使用ω表示功率中振荡分量的角频率，ω0表示工频，则电流中的主导振荡分量的角频率可表示为(ω0+ω)和(ω0-ω)。此处，ω=2π×12 rad/s。
1.2 小扰动同步失稳特性在一定条件下，变流式新能源机组可能出现小扰动同步失稳，其锁相环的输出与电网电压间的角度差呈现周期性波动。
图 2为另一家厂家的4.4 MW直驱风电机组在MATLAB/Simulink中的仿真波形。与上台风电机组相比，二者电气和控制结构相似，但控制参数选取不同。该风电机组满功率运行，逐渐减小电网短路比，当短路比减小至1.69时，机组输出电流和功率中开始出现较为明显的低频振荡。通过频域分析，得到输出电流中存在48.0和52.0 Hz的振荡分量，且2个频率分量之间幅值大小接近，其功率振荡频率为2.0 Hz，即ω=2π×2.0 rad/s。
 |
| 图 2 直驱风电机组小扰动同步失稳 |
| 图选项 |
1.3 特性比较从图 1和2的2种情况来看，次/超同步振荡和小扰动同步失稳特性十分相似。二者对外均表现为多个频率下的振荡现象。其中，功率中主要存在一个角频率为ω的振荡分量，而电流中2个主要的振荡分量(ω0+ω)和(ω0-ω)满足频率耦合关系。不过，小扰动同步失稳时，ω相对较小。除频率范围外，次/超同步振荡和小扰动同步失稳的特性基本一致，且均与新能源机组接入的电网强度密切相关，电网越弱，越易产生次/超同步振荡或小扰动同步失稳。考虑到这些相似特征，可将小扰动同步失稳视为一种特殊的次/超同步振荡现象，这也暗示小扰动同步稳定性和次/超同步稳定性存在统一的建模和分析方法。
2 小扰动同步稳定性分析方法2.1 典型变流式新能源并网系统图 3为典型变流式新能源并网系统。其网侧电压源型变流器(voltage source converter，VSC)通过PLL跟踪公共耦合点(point of common coupling，PCC)的角度，实现与电网同步。
 |
| 图 3 典型变流式新能源并网 |
| 图选项 |
图 3a中，变流式新能源机组等效为带有功率源pin供能的VSC，通过电感L和电阻R接入PCC点，电网的等效阻抗为Rg和Lg；Ug为电网相电压峰值，而uabc和iabc分别为PCC点电压和机组输出电流；S1~S6为VSC控制器产生的6路脉冲信号。
图 3b为VSC控制策略，其中，KPpll、KIpll分别为PLL中PI环节的比例、积分增益；KPdc、KIdc分别为直流电压外环PI控制的比例、积分增益，KPd、KId和KPq、KIq分别为d轴和q轴电流内环PI控制的比例、积分增益。
上述变流式新能源并网后，由于控制作用，可能引发小扰动同步失稳。此前分析变流器的小扰动同步稳定性主要采用基于PLL动态方程的分析方法，而分析次/超同步振荡则采用基于阻抗模型的分析方法。为了验证基于阻抗模型的分析方法同样适用于小扰动同步稳定性的分析，后文分别采用2种分析方法对图 3典型变流式新能源并网系统进行稳定性分析，并比较分析的结果。
2.2 基于PLL动态方程的分析方法仿照汽轮机组的摆动方程列写图 3变流式新能源机组的PLL动态方程，通过求解PLL动态方程零点，分析机组并网后是否失稳[12]。假设PLL输出的角度与电网电压Ug的角度差为δ，则根据图 3b的PLL结构，可以写出PLL动态方程:
| $\left\{\begin{array}{l}\Delta \dot{\delta}=\left(\omega+\omega_0\right)-\omega_0=\omega, \\\dot{\omega}=K_{\mathrm{Pp} l l} \Delta \dot{u}_q+K_{\mathrm{Ip} l} \Delta u_q.\end{array}\right.$ | (1) |
| $\begin{gathered}\Delta u_q=-U_{\mathrm{g}} \cos \left(\delta_0\right) \cdot \Delta \delta+\left(R_{\mathrm{g}}+s L_{\mathrm{g}}\right) \Delta i_q+ \\\omega_0 L_{\mathrm{g}} \Delta i_d+\omega L_{\mathrm{g}} I_d.\end{gathered}$ | (2) |
由式(1)和(2)可得小扰动下的PLL动态框图，如图 4所示。
 |
| 图 4 小扰动下锁相环动态 |
| 图选项 |
考虑PCC点电压和VSC的内外环控制动态，进一步可以写出上述动态方程的补充方程。为方便，补充方程直接写为频域形式:
| $\left\{\begin{array}{c}\Delta e_d=-U_{\mathrm{g}} \sin \left(\delta_0\right) \cdot \Delta \delta+\left[\left(R+R_{\mathrm{g}}\right)+s\left(L+L_{\mathrm{g}}\right)\right] \cdot \\\Delta i_d-\omega_0\left(L+L_{\mathrm{g}}\right) \Delta i_q-\omega\left(L+L_{\mathrm{g}}\right) I_q, \\\Delta e_q=-U_{\mathrm{g}} \cos \left(\delta_0\right) \cdot \Delta \delta+\left[\left(R+R_{\mathrm{g}}\right)+s\left(L+L_{\mathrm{g}}\right)\right] \cdot \\\Delta i_q+\omega_0\left(L+L_{\mathrm{g}}\right) \Delta i_d+\omega\left(L+L_{\mathrm{g}}\right) I_d, \end{array}\right.$ | (3) |
| $\left\{\begin{array}{l}\Delta e_d=G_d(s)\left[G_{\mathrm{dc}}(s) \Delta v_{\mathrm{dc}}-\Delta i_d\right]-\omega_0 L \Delta i_q+\Delta u_d, \\\Delta e_q=-G_q(s) \Delta i_q+\omega_0 L \Delta i_d+\Delta u_q.\end{array}\right.$ | (4) |
直流动态可通过以下方程获得:
| $\left\{\begin{array}{l}\Delta u_{\mathrm{dc}}=\frac{1}{C_0 V_{\mathrm{dc}}} \cdot \frac{\Delta p}{s}, \\\Delta p=-\frac{3}{2}\left(\Delta e_d I_d+\Delta e_q I_q+E_d \Delta i_d+E_q \Delta i_q\right), \\E_d=U_d+R I_d-\omega_0 L I_q, \\E_q=U_q+R I_q+\omega_0 L I_d=R I_q+\omega_0 L I_d.\end{array}\right.$ | (5) |
联立式(2)—(5)，即可得到Δid和Δiq关于Δδ和ω的表达式:
| $\left\{\begin{aligned}\Delta i_d=& G_{d 1}(s) \Delta \delta+G_{d 2}(s) \omega=\\& {\left[G_{d 1}(s)+s G_{d 2}(s)\right] \Delta \delta, } \\\Delta i_q=& G_{q 1}(s) \Delta \delta+G_{q 2}(s) \omega=\\& {\left[G_{q 1}(s)+s G_{q 2}(s)\right] \Delta \delta . }\end{aligned}\right.$ | (6) |
| $\left\{\begin{array}{l}G_{q 1}(s)=0, \\G_{q 2}(s)=\frac{-L I_d}{G_d(s)+R+s L}, \\G_{d 1}(s)=\frac{G_d(s) G_{\mathrm{dc}}(s) G_{\mathrm{dc}-\Delta \delta}(s)}{R+s L+G_d(s)-G_d(s) G_{\mathrm{dc}}(s) G_{\mathrm{id}}(s)}, \\G_{d 2}(s)=\frac{L I_q+G_d(s) G_{\mathrm{dc}}(s) G_{\mathrm{iq}}(s) G_{q 2}(s)}{R+s L+G_d(s)-G_d(s) G_{\mathrm{dc}}(s) G_{\mathrm{id}}(s)}, \end{array}\right.$ |
| $\left\{\begin{array}{l}G_{\mathrm{dc}-\Delta \delta}(s)=\frac{3 \omega_0 L_{\mathrm{g}}\left(I_d^2+I_q^2\right)+3 U_0 I_q}{2 s C_0 U_{\mathrm{dcref}}}, \\G_{\mathrm{id}}(s)=-\frac{3 V_1+3\left[\left(R_{\mathrm{g}}+s L_{\mathrm{g}}\right)+(2 R+s L)\right] I_d+3 \omega_0 L_{\mathrm{g}} I_q}{2 s C_0 U_{\mathrm{dcref}}}, \\G_{\mathrm{iq}}(s)=-\frac{3\left[\left(R_{\mathrm{g}}+s L_{\mathrm{g}}\right)+(2 R+s L)\right] I_q-3 \omega_0 L_{\mathrm{g}} I_d}{2 s C_0 U_{\mathrm{dcref}}}.\end{array}\right.$ |
| $\begin{gathered}\Delta \ddot{\delta}+K_{\mathrm{Ppll}} U_{\mathrm{g}} \cos \left(\delta_0\right) \Delta \dot{\delta}+K_{\mathrm{Ipll}} U_{\mathrm{g}} \cos \left(\delta_0\right) \Delta \delta= \\\left(s K_{\mathrm{Ppll}}+K_{\mathrm{Ipll}}\right)\left\{\left(R_{\mathrm{g}}+s L_{\mathrm{g}}\right)\left[G_{q 1}(s)+s G_{q 2}(s)\right]+\right. \\\left.\omega_0 L_{\mathrm{g}}\left[G_{d 1}(s)+s G_{d 2}(s)\right]+s L_{\mathrm{g}} I_d\right\} \Delta \delta .\end{gathered}$ |
| $\begin{aligned}&s^2+K_{\mathrm{Ppll}} K_{\mathrm{g}} s+K_{\mathrm{Ipll}} K_{\mathrm{g}}=G_{\Delta \delta}(s), \\&\mathrm{K}_{\mathrm{g}}=\mathrm{U}_{\mathrm{g}} \cos \left(\delta_0\right), \\&G_{\Delta \delta}(s)=\left(s K_{\mathrm{Ppll}}+K_{\mathrm{Ipll}}\right)\left\{\left(R_{\mathrm{g}}+s L_{\mathrm{g}}\right)\right. \\&\quad\left[G_{q 1}(s)+s G_{q 2}(s)\right]+ \\&\left.\quad \omega_0 L_{\mathrm{g}}\left[G_{d 1}(s)+s G_{d 2}(s)\right]+s L_{\mathrm{g}} I_d\right\}.\end{aligned}$ | (7) |
| $u_{\mathrm{a}}=U_0 \cos \left(\omega_0 t\right)+\Delta U_{\mathrm{s}} \cos \left[\left(\Delta \omega+\omega_0\right) t+\varphi\right] .$ |
通过分析该电压扰动下各个控制环节的动态，可以得到电流扰动的表达式，进而得到频率耦合阻抗模型[13]，即
| $\left[\begin{array}{c}\dot{U}_{\mathrm{s}}\left(s+\mathrm{j} \omega_0\right) \\\dot{U}_{\mathrm{s}}\left(s-\mathrm{j} \omega_0\right)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}Z_{11}(s) & Z_{12}(s) \\Z_{21}(s) & Z_{22}(s)\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}\dot{I}_{\mathrm{s}}\left(s+\mathrm{j} \omega_0\right) \\\dot{I}_{\mathrm{s}}\left(s-\mathrm{j} \omega_0\right)\end{array}\right] .$ |
经过推导，图 3变流式新能源机组的频率耦合阻抗模型中各元素表达式为:
| $\left\{\begin{array}{l}Z_{11}(s)=\frac{B_{11}(s)}{A(s)} , \\Z_{12}(s)=\frac{B_{12}(s)}{A(s)} , \\Z_{21}(s)=\frac{B_{21}(s)}{A(s)} , \\Z_{22}(s)=\frac{B_{22}(s)}{A(s)}, \end{array}\right.$ |
| $\begin{array}{c}A(s)=-2 G_{\mathrm{udc}}(s) G_\theta(s)\left[G_q(s)+R\right] I_d^2, \\G_{\mathrm{udc}}(s)=\frac{3 G_d(s) G_{\mathrm{dc}}(s)}{4 s C_0 U_{\mathrm{dcref}}}, \\G_\theta(s)=\frac{G_{\mathrm{pll}}(s)}{1+U_d G_{\mathrm{pll}}(s)}, \end{array}$ |
| $\left\{\begin{array}{l}B_{11}(s)=G_1(s)+G_2(s) I_d^2+\left[G_3(s)-G_4(s)-G_5(s)\right] I_d , \\B_{12}(s)=-G_1(s)+G_2(s) I_d^2+\left[G_3(s)+G_4(s)+G_5(s)\right] I_d, \\B_{21}(s)=G_1(s)+G_2(s) I_d^2+\left[G_3(s)+G_4(s)-G_5(s)\right] I_d , \\B_{22}(s)=-G_1(s)+G_2(s) I_d^2+\left[G_3(s)-G_4(s)+G_5(s)\right] I_d, \end{array}\right.$ |
| $\left\{\begin{array}{l}G_1(s)=\mathrm{j}\left(2 G_{\mathrm{udc}}+G_d G_\theta+R G_\theta\right)\left(G_q+R+s L\right) I_q / 2, \\G_2(s)=-G_{\mathrm{udc}} G_\theta(2 R+s L)\left(G_q+R\right), \\G_3(s)=-G_\theta\left(G_q+R\right)\left(G_d+2 G_{\mathrm{udc}} U_d+R+s L\right) / 2, \\G_4(s)=-G_{\mathrm{udc}}\left(G_q+R+s L\right), \\G_5(s)=-\mathrm{j} G_{\mathrm{udc}} G_\theta\left(G_q+R\right)(2 R+s L) I_q .\end{array}\right.$ | (8) |
交流电网的阻抗模型为
| $\boldsymbol{Z}_{\mathrm{g}}=\left[\begin{array}{cc}R_{\mathrm{g}}+\left(s+\mathrm{j} \omega_0\right) L_{\mathrm{g}} & 0 \\0 & R_{\mathrm{g}}+\left(s-\mathrm{j} \omega_0\right) L_{\mathrm{g}}\end{array}\right] .$ |
| $\boldsymbol{Z}_{\Sigma}=\left[\begin{array}{ll}Z_{11}(s) & Z_{12}(s) \\Z_{21}(s) & Z_{22}(s)\end{array}\right]+\boldsymbol{Z}_{\mathrm{g}} .$ |
| $D_{\Sigma}(s)=\operatorname{det}\left[\boldsymbol{Z}_{\Sigma}(s)\right]=0 .$ | (9) |
考虑弱阻尼振荡模式，可画出聚合阻抗行列式实部和虚部的频率特性曲线DΣ(jω)-ω，根据曲线过零点判断稳定性[2]。假设行列式虚部为DI(ω)，实部为DR(ω)，若DI(ωz)=0，则系统小扰动稳定的条件为ωz处DI斜率与DR乘积为正，即
| $\left.D_{\mathrm{R}}\left(\omega_{\mathrm{z}}\right) \frac{\mathrm{d} D_{\mathrm{I}}(\omega)}{\mathrm{d} \omega}\right|_{\omega=\omega_{\mathrm{z}}}>0 .$ | (10) |
2.4 分析方法对比将式(9)与(7)进行移相、合并等变换，可将二者转化成一致的形式，表明2.3和2.4节的2种方法具有等价性。不失一般性，下面从理论上说明二者的等价关系。
令x1=[ω Δδ]T，x2=[Δid Δiq]T，x3表示除了上述ω、Δδ、Δid和Δiq外的其他状态变量构成的向量，而输入变量为系统dq轴电压增量u=[Δusd Δusq]T。则对于变流式新能源机组并网系统，其小信号状态空间方程x=Ax+Bu可以表示为
| $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\left[\begin{array}{l}\boldsymbol{x}_1 \\\boldsymbol{x}_2 \\\boldsymbol{x}_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{lll}\boldsymbol{a}_{11} & \boldsymbol{a}_{12} & \boldsymbol{a}_{13} \\\boldsymbol{a}_{21} & \boldsymbol{a}_{22} & \boldsymbol{a}_{23} \\\boldsymbol{a}_{31} & \boldsymbol{a}_{32} & \boldsymbol{a}_{33}\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}\boldsymbol{x}_1 \\\boldsymbol{x}_2 \\\boldsymbol{x}_3\end{array}\right]+\left[\begin{array}{l}\boldsymbol{b}_1 \\\boldsymbol{b}_2 \\\boldsymbol{b}_3\end{array}\right] \boldsymbol{u} .$ | (11) |
根据式(11)可以得到
| $\left\{\begin{array}{c}\frac{\mathrm{d} \boldsymbol{x}_1}{\mathrm{~d} t}=\boldsymbol{a}_{11} \boldsymbol{x}_1+\left[\begin{array}{ll}\boldsymbol{a}_{12} & \boldsymbol{a}_{13}\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}\boldsymbol{x}_2 \\\boldsymbol{x}_3\end{array}\right]+\boldsymbol{b}_1 \boldsymbol{u}, \\{\left[\begin{array}{l}\boldsymbol{x}_2 \\\boldsymbol{x}_3\end{array}\right]=\left(s \mathrm{I}-\left[\begin{array}{ll}\boldsymbol{a}_{22} & \boldsymbol{a}_{23} \\\boldsymbol{a}_{32} & \boldsymbol{a}_{33}\end{array}\right]\right)^{-1} \cdot} \\\left(\left[\begin{array}{l}\boldsymbol{a}_{21} \\\boldsymbol{a}_{31}\end{array}\right] \boldsymbol{x}_1+\left[\begin{array}{l}\boldsymbol{b}_2 \\\boldsymbol{b}_3\end{array}\right] \boldsymbol{u}\right) .\end{array}\right.$ | (12) |
| $\left| {s \boldsymbol{I}-\left[\begin{array}{ll}\boldsymbol{a}_{22} & \boldsymbol{a}_{23} \\\boldsymbol{a}_{32} & \boldsymbol{a}_{33}\end{array}\right] } \right| \neq 0 .$ | (13) |
| $\begin{gathered}\frac{\mathrm{d} \boldsymbol{x}_1}{\mathrm{~d} t}=\boldsymbol{a}_{\Delta \delta} \boldsymbol{x}_1+\boldsymbol{b}_{\Delta \delta} \boldsymbol{u}, \\\boldsymbol{a}_{\Delta \delta}=\boldsymbol{a}_{11}+\left[\begin{array}{ll}\boldsymbol{a}_{12} & \boldsymbol{a}_{13}\end{array}\right]\left(s \boldsymbol{I}-\left[\begin{array}{ll}\boldsymbol{a}_{22} & \boldsymbol{a}_{23} \\\boldsymbol{a}_{32} & \boldsymbol{a}_{33}\end{array}\right]\right)^{-1}\left[\begin{array}{l}\boldsymbol{a}_{21} \\\boldsymbol{a}_{31}\end{array}\right], \\\boldsymbol{b}_{\Delta \delta}=\boldsymbol{b}_1+\left[\begin{array}{ll}\boldsymbol{a}_{12} & \boldsymbol{a}_{13}\end{array}\right]\left(s \boldsymbol{I}-\left[\begin{array}{ll}\boldsymbol{a}_{22} & \boldsymbol{a}_{23} \\\boldsymbol{a}_{32} & \boldsymbol{a}_{33}\end{array}\right]\right)^{-1}\left[\begin{array}{l}\boldsymbol{b}_2 \\\boldsymbol{b}_3\end{array}\right].\end{gathered}$ |
另外，根据式(11)还可以得到
| $\left\{\begin{array}{l}\boldsymbol{x}_2=\boldsymbol{a}_{22} \boldsymbol{x}_2+\left[\begin{array}{ll}\boldsymbol{a}_{21} & \boldsymbol{a}_{23}\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}\boldsymbol{x}_1 \\\boldsymbol{x}_3\end{array}\right]+\boldsymbol{b}_2 \boldsymbol{u}, &(\text{14a})\\{\left[\begin{array}{l}\boldsymbol{x}_1 \\\boldsymbol{x}_3\end{array}\right]=\left(s \boldsymbol{I}-\left[\begin{array}{ll}\boldsymbol{a}_{11} & \boldsymbol{a}_{13} \\\boldsymbol{a}_{31} & \boldsymbol{a}_{33}\end{array}\right]\right)^{-1}\left(\left[\begin{array}{l}\boldsymbol{a}_{12} \\\boldsymbol{a}_{32}\end{array}\right] \boldsymbol{x}_2+\left[\begin{array}{l}\boldsymbol{b}_1 \\\boldsymbol{b}_3\end{array}\right] \boldsymbol{u}\right)}.&(\text{14b})\end{array}\right.$ |
| $\left|s \boldsymbol{I}-\left[\begin{array}{ll}\boldsymbol{a}_{11} & \boldsymbol{a}_{13} \\\boldsymbol{a}_{31} & \boldsymbol{a}_{33}\end{array}\right]\right| \neq 0$ | (15) |
| $\begin{gathered}\boldsymbol{G}_x \boldsymbol{x}_2=\boldsymbol{G}_{\boldsymbol{u}} \boldsymbol{u}, \\\boldsymbol{G}_{\boldsymbol{x}}=s \boldsymbol{I}-\boldsymbol{a}_{22}-\left[\begin{array}{ll}\boldsymbol{a}_{21} & \boldsymbol{a}_{23}\end{array}\right] \cdot \\\left(s \boldsymbol{I}-\left[\begin{array}{ll}\boldsymbol{a}_{11} & \boldsymbol{a}_{13} \\\boldsymbol{a}_{31} & \boldsymbol{a}_{33}\end{array}\right]\right)^{-1}\left[\begin{array}{l}\boldsymbol{a}_{12} \\\boldsymbol{a}_{32}\end{array}\right] , \\\boldsymbol{G}_{\boldsymbol{u}}=\left[\begin{array}{ll}\boldsymbol{a}_{21} & \boldsymbol{a}_{23}\end{array}\right]\left(s \boldsymbol{I}-\left[\begin{array}{ll}\boldsymbol{a}_{11} & \boldsymbol{a}_{13} \\\boldsymbol{a}_{31} & \boldsymbol{a}_{33}\end{array}\right]\right)^{-1}\left[\begin{array}{l}\boldsymbol{b}_1 \\\boldsymbol{b}_3\end{array}\right]+\boldsymbol{b}_2.\end{gathered}$ |
| $\boldsymbol{Z}=\boldsymbol{G}_{\boldsymbol{u}}^{-1} \boldsymbol{G}_x.$ | (16) |
将行列式|sI-A|展开可以得到
| $\begin{array}{c}|s \boldsymbol{I}-\boldsymbol{A}|=\left|s \boldsymbol{I}-\left[\begin{array}{ll}\boldsymbol{a}_{22} & \boldsymbol{a}_{23} \\\boldsymbol{a}_{32} & \boldsymbol{a}_{33}\end{array}\right]\right|\left|s \boldsymbol{I}-\boldsymbol{a}_{\Delta \delta}\right|=\\\left|s \boldsymbol{I}-\left[\begin{array}{ll}\boldsymbol{a}_{11} & \boldsymbol{a}_{13} \\\boldsymbol{a}_{31} & \boldsymbol{a}_{33}\end{array}\right]\right|\left|\boldsymbol{G}_{\boldsymbol{x}}\right| .\end{array}$ |
表 1给出了系统输出功率为0.5 MW时，基于PLL动态方程和基于阻抗模型的分析结果，即式(7)系统特征方程的零点和式(9)聚合阻抗模型行列式的零点。采用的变流器控制参数和电网参数如表 2所示。
表 1 PLL动态方程和阻抗模型分析方法比较
| 序号 | PLL动态方程方法式(7)零点 | 阻抗模型方法式(9)零点 |
| 1 | -47.18+j2π×32.17 | -47.18+j2π×32.17 |
| 2 | -47.18-j2π×32.17 | -47.18-j2π×32.17 |
| 3 | -50.04+j2π×30.82 | -50.04+j2π×30.82 |
| 4 | -50.04-j2π×30.82 | -50.04-j2π×30.82 |
| 5 | -6.91+j2π×2.18 | -6.91+j2π×2.18 |
| 6 | -6.91-j2π×2.18 | -6.91-j2π×2.18 |
| 7 | -0.11+j2π×1.67 | -0.11+j2π×1.67 |
| 8 | -0.11-j2π×1.67 | -0.11-j2π×1.67 |
表选项
表 2 变流式新能源并网系统参数
| 参数 | 数值 | 参数 | 数值 | |
| ω0 | 100π rad/s | KPpll | 1 | |
| R | 0.1 mΩ | KIpll | 200 | |
| L | 5 mH | KPdc | 1 | |
| C0 | 50 mF | KIdc | 20 | |
| Rg | 0.01 Ω | KPd | 0.5 | |
| Lg | 0.2 mH | KId | 200 | |
| Ug | 506 V | KPq | 0.5 | |
| Udcref | 1.2 kV | KIq | 200 |
表选项
由表 1可知，对于同一变流式新能源并网系统，基于阻抗模型分析小扰动稳定性与基于PLL动态方程的结论完全一致，说明阻抗模型法可应用于小扰动同步稳定性的研究。
传统基于PLL动态方程分析小扰动同步稳定性，需在建模时同时考虑新能源机组VSC的控制和电网参数。而且，在电网参数或VSC控制参数未知时，无法准确获得其PLL动态方程，该方法应用受限。而在使用阻抗模型方法时，新能源机组和电网是分别建模，之后再联立分析系统稳定性。即使电网参数和VSC控制参数未知，也可通过扰动测试得到机组和电网的阻抗模型，进而开展分析。因此，相比基于PLL动态方程的分析方法，基于阻抗模型的分析方法在分析小扰动同步稳定性时的应用限制较小。
3 阻抗模型分析小扰动同步稳定性在PSCAD/EMTDC中建立图 3的新能源机组并网系统，采用表 2中列出的参数。在机组输出功率为0.5 WM (对应标幺值0.2)时测量其阻抗模型，用于小扰动同步稳定性的分析，所得阻抗曲线如图 5所示。由于主要关注小扰动同步稳定性，因此可只关注ω较小时的阻抗模型。图 5中仅画出|ω| < 2π×5 rad/s范围内的Z11和Z12，Z22和Z21可通过关系式Z22(jω)=[Z11(-jω)]*，Z21(jω)=[Z12(-jω)]*得到。图 5中阻抗曲线测量值与理论值在|ω| < 2π×3 rad/s的范围内误差较小，可满足小扰动同步稳定性分析的需要。
 |
| 图 5 阻抗曲线 |
| 图选项 |
取电网参数Rg=0.01 Ω不变，Lg分别为0.2和0.4 mH时聚合阻抗行列式的频率特性曲线如图 6所示(仅展示过零点附近曲线)。
 |
| 图 6 聚合阻抗行列式频率特性 |
| 图选项 |
Lg=0.2 mH时，短路比为2.44，根据图 6a聚合阻抗行列式频率特性曲线可得，此时行列式虚部过零点处虚部曲线斜率与实部乘积为正，满足式(10)，系统小扰动稳定；而Lg=0.4 mH时，短路比为1.22，根据图 6b聚合阻抗行列式频率特性曲线可知，此时行列式虚部过零点处虚部曲线斜率与实部乘积为负，即系统小扰动不稳定。2种情况下，求解PLL动态方程得到的主导零点分别为(-0.11± j2π×1.67)Hz和(0.03± j2π×1.72)Hz(其他零点分别参见表 1和3)。
表 3 Lg=0.4 mH时PLL动态方程零点
| 序号 | 零点 | 序号 | 零点 | |
| 1 | -47.17+j2π×32.16 | 5 | -6.98+j2π×2.14 | |
| 2 | -47.17-j2π×32.16 | 6 | -6.98-j2π×2.14 | |
| 3 | -50.06+j2π×30.82 | 7 | 0.03+j2π×1.72 | |
| 4 | -50.06-j2π×30.82 | 8 | 0.03-j2π×1.72 |
表选项
保持机组输出功率和参数不变，调整电网参数，运行仿真。1 s之前，Lg为0.2 mH，1 s后调整为0.4 mH，仿真时域波形及其频谱分析如图 7所示。
 |
| 图 7 时域仿真结果 |
| 图选项 |
从图 7可以看出，将Lg从0.2 mH增加至0.4 mH后，系统从稳定状态开始出现1.7 Hz的低频振荡，且逐渐发散。这与阻抗模型分析结果和PLL动态方程的分析结果基本一致，表明阻抗模型方法可用于小扰动同步稳定性的分析。此外，由于小扰动同步失稳仅在接近工频的较窄频率范围内，因此可仅考虑工频附近(即ω较小)新能源机组的阻抗建模，这一点与分析次/超同步振荡稳定性不同。
为进一步考虑并网条件对小扰动同步稳定性的影响，基于阻抗模型方法分析电网参数Lg连续变化时系统振荡发散率(对应阻抗行列式零点的实部)和振荡频率的变化情况，如图 8所示。分析结果表明，在Lg增大至约0.35 mH时，发散率由负变为正，即系统从振荡衰减变为振荡发散，开始出现不稳定；且随着Lg的增大，振荡频率逐渐增大。
 |
| 图 8 不同电网参数下阻抗模型分析结果 |
| 图选项 |
为了验证上述结果，分别在不同的电网参数下进行仿真。为了清楚地反映振荡特性变化趋势，图 9列出了在0 s时Lg从0.2 mH增大至不同目标电感值时机组直流侧电容电压动态变化。可以看出: 当Lg增大至0.35 mH时，振荡幅值基本不变，即此时发散率接近0；当Lg增大至0.40、0.45或0.50 mH时，系统出现发散的低频振荡，且目标电感值越大，发散速度越快；随着目标电感值的增大，系统的振荡频率也略有增大，这与图 8分析结果一致。
 |
| 图 9 不同电网参数下时域仿真结果 |
| 图选项 |
4 结论本文针对典型的变流式新能源机组并网系统，比较了新能源机组小扰动同步失稳和次/超同步振荡的基本特征，主要结论如下:
1) 变流式新能源机组小扰动同步失稳特性与次/超同步振荡特性相似，且均与变流器控制、电网参数和运行工况等密切相关，可将小扰动同步失稳引发低频振荡视为一种电流振荡频率接近工频的特殊次/超同步振荡现象。
2) 基于PLL动态方程和基于阻抗模型的方法在理论上是等价的，可采用阻抗模型方法分析小扰动同步稳定性，换言之，阻抗模型方法适用于较低频率的功率振荡分析。
3) 即使新能源机组变流器控制结构和参数等未知，也可通过扰动测试建立其在工频附近范围内的阻抗模型，进而分析机组并网后的小扰动同步稳定性。
参考文献
| [1] | 杨超然, 辛焕海, 宫泽旭, 等. 变流器并网系统复电路分析与广义阻抗判据适用性探讨[J]. 中国电机工程学报, 2020, 40(15): 4744-4757. YANG C R, XIN H H, GONG Z X, et al. Complex circuit analysis and investigation on applicability of generalized- impedance-based stability criterion for grid-connected converter[J]. Proceedings of the CSEE, 2020, 40(15): 4744-4757. (in Chinese) |
| [2] | 刘威, 谢小荣, 黄金魁, 等. 并网变流器的频率耦合阻抗模型及其稳定性分析[J]. 电力系统自动化, 2019, 43(3): 138-146. LIU W, XIE X R, HUANG J K, et al. Frequency-coupled impedance model and stability analysis of grid-connected converter[J]. Automation of Electric Power Systems, 2019, 43(3): 138-146. (in Chinese) |
| [3] | 李绍阶, 王玮, 唐芬, 等. 基于阻抗模型的并网变流器低频振荡机理研究[J]. 电网技术, 2018, 42(9): 2787-2796. LI S J, WANG W, TANG F, et al. Low frequency oscillation mechanism of grid-connected converter based on impedance model[J]. Power System Technology, 2018, 42(9): 2787-2796. (in Chinese) |
| [4] | 徐路遥, 兰洲, 陈飞, 等. 弱电网下无功控制对并网变流器稳定性影响分析[J]. 电力系统自动化, 2019, 43(15): 56-63. XU L Y, LAN Z, CHEN F, et al. Analysis on impact of reactive power control on stability of grid-connected converter in weak grid[J]. Automation of Electric Power Systems, 2019, 43(15): 56-63. (in Chinese) |
| [5] | 辛焕海, 李子恒, 董炜, 等. 三相变流器并网系统的广义阻抗及稳定判据[J]. 中国电机工程学报, 2017, 37(5): 1277-1292. XIN H H, LI Z H, DONG W, et al. Generalized-impedance and stability criterion for grid-connected converters[J]. Proceedings of the CSEE, 2017, 37(5): 1277-1292. (in Chinese) |
| [6] | 李光辉, 王伟胜, 刘纯, 等. 直驱风电场接入弱电网宽频带振荡机理与抑制方法(一): 宽频带阻抗特性与振荡机理分析[J]. 中国电机工程学报, 2019, 39(22): 6547-6561. LI G H, WANG W S, LIU C, et al. Mechanism analysis and suppression method of wideband oscillation of pmsg wind farms connected to weak grid (part I): Analysis of wideband impedance characteristics and oscillation mechanism[J]. Proceedings of the CSEE, 2019, 39(22): 6547-6561. (in Chinese) |
| [7] | WANG X F, TAUL M G, WU H, et al. Grid- synchronization stability of converter-based resources: An overview[J]. IEEE Open Journal of Industry Applications, 2020, 1: 115-134. DOI:10.1109/OJIA.2020.3020392 |
| [8] | 姜齐荣, 赵崇滨. 并网逆变器的电磁暂态同步稳定问题[J]. 清华大学学报(自然科学版), 2021, 61(5): 415-428. JIANG Q R, ZHAO C B. Electromagnetic transient synchronization stability with grid-connected inverters[J]. Journal of Tsinghua University (Science and Technology), 2021, 61(5): 415-428. (in Chinese) |
| [9] | 徐政. 电力系统广义同步稳定性的物理机理与研究途径[J]. 电力自动化设备, 2020, 40(9): 1-9. XU Z. Physical mechanism and research approach of generalized synchronous stability for power systems[J]. Electric Power Automation Equipment, 2020, 40(9): 1-9. (in Chinese) |
| [10] | 胡祺, 付立军, 马凡, 等. 弱电网下基于锁相控制并网变换器小扰动同步稳定分析[J]. 中国电机工程学报, 2021, 41(1): 98-108. HU Q, FU L J, MA F, et al. Small signal synchronizing stability analysis of PLL-based VSC connected to weak AC grid[J]. Proceedings of the CSEE, 2021, 41(1): 98-108. (in Chinese) |
| [11] | 张宇, 蔡旭, 张琛, 等. 并网变换器的暂态同步稳定性研究综述[J]. 中国电机工程学报, 2021, 41(5): 1687-1701. ZHANG Y, CAI X, ZHANG C, et al. Transient synchronization stability analysis of voltage source converters: A review[J]. Proceedings of the CSEE, 2021, 41(5): 1687-1701. (in Chinese) |
| [12] | 张琛, 蔡旭, 李征. 全功率变换风电机组的暂态稳定性分析[J]. 中国电机工程学报, 2017, 37(14): 4018-4026. ZHANG C, CAI X, LI Z. Transient stability analysis of wind turbines with full-scale voltage source converter[J]. Proceedings of the CSEE, 2017, 37(14): 4018-4026. (in Chinese) |
| [13] | SHAH S, PARSA L. Impedance modeling of three-phase voltage source converters in dq, sequence, and phasor domains[J]. IEEE Transactions on Energy Conversion, 2017, 32(3): 1139-1150. |
| [14] | WANG X F, HARNEFORS L, BLAABJERG F. Unified impedance model of grid-connected voltage-source converters[J]. IEEE Transactions on Power Electronics, 2018, 33(2): 1775-1787. |
