于京池¹, 金爱云², 潘坚文¹, 王进廷¹, 张楚汉¹
1. 清华大学 水沙科学与水利水电工程国家重点实验室, 北京 100084;
2. 中国水利水电第九工程局有限公司, 贵阳 550081
收稿日期：2021-11-04
基金项目：国家自然科学基金项目（51725901，52022047，51639006）
作者简介：于京池(1994—), 女, 博士研究生
通讯作者：王进廷, 教授, E-mail: wangjt@tsinghua.edu.cn

摘要：拱坝在其生命周期内可能会承受强烈地震，其地震易损性引起了广泛的关注。一般而言，采用非线性有限元法进行拱坝的地震易损性分析，需要大量的计算工作量。该文提出了一种预测拱坝地震响应的方法——基于遗传算法（genetic algorithm，GA）的多层前馈（back propagation，BP）神经网络，该方法可以替代部分非线性有限元分析计算，显著减少计算成本。以大岗山拱坝的易损性分析为算例，基于已有的390个有限元非线性动力分析工况数据，将结构的响应设定为BP神经网络的输出，地震强度参数IM作为输入，进行BP神经网络的训练和验证。结果表明，该文提出的GA-BP神经网络采用390个有限元结果中的30%的数据进行训练，即可得到满足精度的预测结果，给出合理的拱坝地震易损性曲线，说明采用GA-BP神经网络后可节省70%的非线性有限元计算成本。
关键词：拱坝地震易损性分析人工神经网络遗传算法
GA-BP artificial neural networks for predicting the seismic response of arch dams
YU Jingchi¹, JIN Aiyun², PAN Jianwen¹, WANG Jinting¹, ZHANG Chuhan¹
1. State Key Laboratory of Hydroscience and Engineering, Tsinghua University, Beijing 100084, China;
2. SINOHYDRO BUREAU 9 Co., LTD., Guiyang 550081, China

Abstract: Arch dams may be subjected to strong earthquakes during their lifecycle and their seismic response has attracted extensive attention in dam engineering. Nonlinear finite element seismic response analyses of arch dams require large amounts of computational effort. This paper presents a back propagation (BP) genetic algorithm (GA) method for predict the seismic responses of arch dams which replaces some of the finite element analysis calculations and significantly reduces the computational cost compared with the finite element method. A BP neural network was trained and validated for the Dagangshan arch dam based on 390 nonlinear dynamic response cases calculated using the finite element method with the structural response as the BP neural network output and the seismic intensity parameter, IM, as the input. The results show that the GA-BP neural network can properly predict the dam seismic response and give reasonable seismic response curves using 30% of the 390 cases for training which shows that the GA-BP neural network can save 70% of the nonlinear finite element cost.
Key words: arch damseismic fragility analysisartificial neural networkgenetic algorithm
众所周知，高坝大库一旦地震溃决，将可能产生灾难性的后果，因此，近年来高混凝土坝的地震易损性分析得到了广泛的关注^[1]。以往的研究中，大多采用非线性有限元法(finite element method, FEM)得到多种预设地震条件下的大坝地震易损性^[2-3]，但计算工作量巨大。随着算法数学模型的发展，一些预测方法如人工神经网络(artificial neural networks, ANNs)，作为一种可用于非线性动力学分析的强大工具^[4]，被越来越多地应用于分析结构的行为预测^[5-12]，大大降低了计算成本。采用ANNs对大坝进行地震响应分析，并给出合理的地震易损性曲线，对研究大坝的易损性，提高大坝地震易损性分析效率有着重要意义。
ANNs的发展可以追溯到20世纪40年代，McCulloch和Pitts^[13]提出了神经元的形式化数学描述和网络结构的方法。1982年，Hopfield^[14]提出了Hopfield神经网格模型，引入了“计算能量”的概念并给出了神经网络稳定性的判断。在此基础上，Rumelhar等^[15]提出了BP神经网络，解决了多层神经网络隐含层连接权的训练问题，是目前应用最广泛的人工神经网络。由于人工神经网络具有强大的自训练能力和对非线性系统的处理能力，已经被广泛用于大坝的变形预测^[9-12]。Mata^[9]以葡萄牙Alto Rabag?o拱坝为研究对象，研究了多元线性回归和人工神经网络在预测大坝动力响应方面的差异，分析了25年间库水位和温度对拱坝顶拱位移的影响，并校准了其多元线性回归模型和人工神经网络模型。Song等^[10]通过人工神经网络中的径向基函数网络(radial basis function network, RBFN), 提出了堆石料的非线性强度参数分布模型，研究了堆石体非线性强度参数信息缺失的情况下堆石坝的边坡稳定可靠度。然而，人工神经网络有两个明显的缺点：系统训练过程中存在不稳定性并且会发生局部收敛。为了解决这两个问题，一些研究中将GA引入人工神经网络来进行优化。作为一种基于生物进化模型的进化计算技术，GA可以通过并行搜索避免局部收敛问题，并且大大降低信息的检索量^[11]。在工程领域，已有一些研究者使用GA提高BP神经网络的能力。苏怀智等^[12]将BP神经网络和GA结合，建立了大坝安全监控预报模型，通过GA的进化过程为BP神经网络寻找合适的参数。Liu等^[11]采用GA来计算神经网络的权重和阈值，以水位、温度和时效为输入层神经元，在原型观测数据的基础上预测了大坝的位移。
本文以大岗山拱坝为背景，建立了BP神经网络与遗传算法相结合(GA-BP)的拱坝地震响应预测模型，以有效加速度(a_RMS)、Arias强度(I_A)、速度谱强度(velocity spectrum intensity, VSI)、改进的有效峰值加速度(improved effective peak acceleration, IEPA)、考虑前20阶加速度影响的联合谱加速度(S_a^1-to-20)和拱坝1阶自振周期T₁处的谱加速度(S_a(T₁))等地震强度参数(intensity measure, IM)为输入，以拱冠梁顶点位移、横缝开度、损伤体积比等工程需求参数(engineering demanding parameter, EDP)为输出，对神经网络进行训练。通过预测结果与有限元拱坝地震响应结果的对比，研究GA-BP神经网络在预测拱坝地震易损性分析中的可行性。
1 方法介绍1.1 BP神经网络训练过程与GA优化如前所述，BP神经网络是一种应用广泛且高效的人工神经网络，其结构包括输入层、隐藏层和输出层。输入层神经元与现实世界交互以接收输入，输出层以可视化的方式呈现，隐藏层的神经元都不可见^[4]。以图 1所示的3层BP神经网络为例，输入层神经元为a_m，隐藏层神经元为b_u，输出层神经元为c_n。设ω_mn为输入层第m个神经元和隐藏层第u个神经元之间的连接权重，ν_un为隐藏层第u个神经元和输出层第n个神经元之间的连接权重，则依次得到隐藏层神经元和输出层神经元如式(1)和式(2)：

${b_u} = f\left( {\sum\limits_u {{\omega _{mu}}} {a_m} + {k_u}} \right), $

(1)

${c_n} = f\left( {\sum\limits_n {{\nu _{un}}} {b_u} + {p_n}} \right).$

(2)

图 1 神经网络结构图

图选项

其中：激励函数为Sigmoid函数，k_u为隐藏层神经元阈值，p_n为输出层神经元阈值。将每次的输出值与期望输出进行比较，如果均方误差不满足预定要求，则进行反向传播过程，均方误差以梯度形式返回并分配给每一层的神经元。不断重复这个过程，直到均方误差收敛为止^[16]。
显然，如果仅仅使用BP神经网络，对于权值和阈值的检索工作量巨大。GA的算法定理借鉴了生物界的自然选择机制，加入到BP神经网络中可以在理论上保证权值和阈值的筛选是一个优化过程^[12]。其中，由BP网络的权值和阈值组成的实数数组就是GA的染色体种群，种群中的每个个体均代表一个神经网络的权值和阈值分布，即每一个个体长度N为神经网络的总权值与阈值数量之和，其中N如式(3)所示：

$N=mu+un+u+n.$

(3)

在搜索最优权值和阈值过程中，用均方误差函数判断个体的生存能力，每一次新的个体都是根据一定的交叉概率和变异概率生成^[16]。
1.2 GA-BP神经网络预测拱坝地震响应用GA-BP神经网络预测大坝的地震响应实际上就是通过解释变量来预测被解释变量，如果模型预测和实际的坝体响应存在差异，则要调整解释变量直到混凝土坝的响应与过去已经存在的响应有同样规律。大坝的地震易损性受许多因素的影响，除了地震本身，还有自身的材料参数等。研究表明大坝的地震易损性中的不确定性主要受到地震不确定性影响，材料不确定性不占主导地位^[17]，因此本文以地震强度参数为解释变量。
地震易损性曲线代表的是不同地震强度等级下结构发生不同破坏程度的概率，IM能在一定程度上代表地震的强弱^[18]。根据以往研究^[17]，可以将所有IM分为3大类：1) 与地震记录相关、与反应谱无关的地震动IM；2) 与反应谱相关、且与结构特性无关的地震动IM；3) 与结构特征和反应谱相关的地震动IM。不同的地震动IM组合作为解释变量会影响预测结果，结合已有研究成果，经过试算选取3类地震动IM中的如下组合：2个第一类型参数(有效加速度a_RMS^[19]、Arias强度I_A^[20])、2个第二类型参数(速度谱强度VSI^[21]、改进的有效峰值加速度IEPA^[19])、以及2个第三类型参数(考虑前20阶谱加速度影响的联合谱加速度S_a^1-to-20[22]、拱坝第1阶自振周期T₁处的谱加速度S_a(T₁))共6个地震动IM。这6个IM具体定义如表 1所示，都是各类IM中的最优IM^[17]，其中a(t)为地震记录的加速度时程，t_D为地震记录时长，S_V(T)和S_a(T)分别为速度反应谱和加速度反应谱，T_p^a为加速度反应谱中谱加速度峰值对应的周期, S_a(T_i)为某个自振周期所对应的谱加速度，w_{i, 20}为第i阶振型的有效质量在前20阶振型有效质量总和中的占比，m_i^eff为结构第i阶振型在顺河向的有效质量。
表 1 地震强度参数IM表达式

编号	描述	表达式
1	aRMS	$ {a_{{\rm{RMS}}}} = {\left( {\frac{1}{{{t_D}}}\int_0^{{t_D}} a {{(t)}^2}{\rm{d}}t} \right)^{1/2}}$
2	IA	$ {I_{\rm{A}}} = \frac{{\rm{ \mathsf{ π} }}}{{2g}}\int_0^t {{a^2}} (t){\rm{d}}t$
3	VSI	$ {\rm{VSI}} = \int_{0.1}^{2.5} {{{{S}}_V}} (T){\rm{d}}T$
4	IEPA	$ {\rm{IEPA}} = \frac{1}{{2.5}} \times \frac{{\int_{T_p^a - 0.2}^{T_p^a{ + 0.2}} {{S_a}} (T){\rm{d}}T}}{{0.4}}$
5	Sa1-to-20	$ S_a^{1 - {\rm{to}} - 20} = \sum\limits_{i = 1}^{20} {{{\left[ {{s_a}\left( {{T_i}} \right)} \right]}^{{w_{i, 20}}}}} , {w_{i, 20}} = \frac{{m_i^{{\rm{eff}}}}}{{\sum\limits_{j = 1}^{20} {m_j^{{\rm{eff}}}} }}$
6	Sa(T1)	1阶自振周期T1处的谱加速度

表选项






如1.1节所述，带有一个隐藏层的3层神经网络结构能够处理此类预测问题，在输入层中，设置6个神经元分别对应6个IM：a_RMS、I_A、VSI、IEPA、S_a^1-to-20和S_a(T₁)，隐藏层在测试后选择了12个神经元。考虑到每个输入变量的幅度差异较大，为了获得更好的训练结果，在预处理过程中对训练样本集进行归一化处理。
相应地，工程需求参数EDP分别考虑了拱冠梁顶点位移(上游方向)、横缝开度和混凝土损伤体积比作为输出层节点参数。
2 工程概况与有限元模拟2.1 工程概况本文以大岗山双曲混凝土拱坝为研究对象。大岗山拱坝位于大渡河，最大坝高210 m，坝顶高程1 135 m，正常蓄水位高程1 130 m，坝体由28条横缝分为29个坝段^[23]。设计地震和校核地震水平向PGA(peak ground acceleration)分别为0.558和0.663 g。

图 2 大岗山拱坝及其有限元模型示意图

图选项

2.2 拱坝有限元模型大岗山拱坝非线性分析采用有限元软件ABAQUS模拟，有限元模型如图 3所示，其中地基延伸范围为2倍坝高。大坝-地基模型由37 120个C3D8单元和53 817个节点组成，其中坝体划分为26 235个单元和41 862个节点，且网格大小在垂直方向上约为2 m。横缝的模拟基于接触边界模型^[24]。无限地基的辐射阻尼效应采用黏弹性人工边界^[25]模拟。为了考虑库水的可压缩性，采用流固耦合的方式模拟库水相互作用，模型共建立了40 584个流体单元用于模拟库水，如图 3b所示。计算中考虑坝体混凝土的非线性行为，采用Lee和Fenves^[26]提出的混凝土塑性损伤本构模型模拟坝体混凝土的损伤开裂。坝体混凝土密度取2 400 kg/m³，初始弹性模量36.6 GPa，泊松比0.17，抗拉强度f_t取3.64 MPa，断裂能G_f依经验估计为280 N/m。根据地质勘测资料，对地基中的重要断层和岩层进行建模。考虑的岩层有二类岩(Rock 2)和三类岩(Rock 3)，考虑到有限元模型中非线性因素过多可能引起的计算收敛问题，因此断层采用四类岩(Rock 4)来模拟。考虑部分地基材料的非线性，其非线性本构关系通过Drucker-Prager弹塑性模型(D-P模型)^[27]模拟，由于D-P模型屈服准则和摩尔-库伦模型屈服准则有密切联系，其强度参数可以由摩尔-库伦屈服准则中的摩擦系数(f)和黏聚强度(c)转换得到。表 2给出了地基各材料的参数，其中基岩置换体采用混凝土的静力材料参数。坝体-地基系统阻尼采用Rayleigh阻尼形式，坝体阻尼比取5%，忽略地基材料阻尼。

图 3 大岗山拱坝有限元模型

图选项

表 2 材料参数统计

材料	弹性模量/GPa	密度/(kg·m-3)	泊松比	摩擦系数	黏聚强度/MPa
二类岩(Rock 2)线弹性	20.0	2 650	0.25	—	—
二类岩(Rock 2)非线性	20.0	2 650	0.25	1.3	2.0
三类岩(Rock 3)	9.0	2 620	0.30	1.1	1.3
断层(Rock 4)	2.0	2 580	0.35	0.8	0.7
基岩置换体	24.0	2 400	0.17	0.8	3.1

表选项






2.3 地震记录本研究选择用云分析法(cloud analysis，CLA)来生成易损性曲线，该方法通常与概率抗震需求分析结合使用，用于探究EDP与IM之间的相关关系，在极限状态下对应的地震易损性函数为^[28]：

$P{\rm{[EDP}} > {\mathop{\rm edp}\nolimits} \mid {\rm{IM}} = {\rm{im}}] = \phi \left( {\frac{{\ln ({\rm{im}}) - \ln \left( {{\mu _{{\rm{im}}}}} \right)}}{{{\beta _{{\rm{im}}}}}}} \right).$

(4)

CLA方法为了充分考虑地震的不确定性，在地震记录的选择上，考虑了以下几个重要因素^[29]：首先将震级M与震中距R作为地震参数，选定M和R的临界值，以7级为界，震中距考虑15 km为界，所选的地震记录均匀分布；第二，剪切波速V_s30满足结构的场址条件要求，需大于500 m/s；第三，地震强度参数(本研究选取拱坝1阶自振周期谱加速度S_a(T₁))的分布范围足够广；第四，避免从同一地震事件中选择过多的地震记录。选取的地震记录共390条，由于真实地震记录不足，390条地震记录中包含87条真实地震记录、153条人工合成地震记录和150条进行合理缩放的地震记录，其中真实地震记录来自太平洋地震工程研究中心提供的1978—2010年间发生的真实地震事件，所有地震记录的S_a(T₁)分布范围为4.29~24.01 m/s²。
3 GA-BP神经网络预测结果3.1 GA-BP神经网络预测结果与有限元结果对比本研究针对有限元计算得到的2.3节中地震记录下的390个工况的拱坝响应作为训练数据和总体参考数据，利用1.2节所述3层神经网络的GA-BP神经网络进行训练。训练集数目由低至高递增，从低至高进行训练10%、30%、50%、70%和90%数据。图 4为3个EDP(拱冠梁顶点上游方向位移、横缝开度与损伤体积比)在不同训练数据下，得到的390个预测值与有限元计算值的拟合结果，其中横坐标表示有限元计算值，纵坐标表示GA-BP神经网络预测值。可以看出：1) 对于3个EDP来说，随着训练集的增加，GA-BP神经网络预测值与有限元计算值的线性相关系数逐渐增大。注意图 4c训练50%数据时，相关系数高于0.7的情况，因为神经网络预测过程中的不确定性，所以偶尔能观测到两个变量相关系数随训练数据增加反而减小的情况，但整体来看，线性相关性仍然随着训练数据增加而增大，说明拟合精度逐渐提高。2) 对于3个EDP来说，两个变量的相关性随着训练集的增加越来越好。具体来说，训练30%数据时，3个EDP下两个变量的相关系数均在0.84以上，有较强的线性相关性；训练50%和70%数据时，3个EDP下两个变量的相关系数均在0.9以上，说明GA-BP神经网络预测值与有限元计算值线性相关关系显著；训练90%数据时，3个EDP下两个变量的相关系数均在0.95以上，说明GA-BP神经网络预测值与有限元计算值线性相关关系十分显著。

图 4 训练不同数量案例的预测值与有限元计算值拟合结果

图选项

3.2 GA-BP神经网络预测拱坝地震易损性曲线为了保证GA-BP神经网络训练结果的可靠性，对同一训练数量下的神经网络训练与预测重复10次，最终的易损性曲线取10次训练的易损性曲线均值，训练样本的选取应保证包含强度范围内的所有情况，并且每个强度选的地震条数比例与整体地震记录中的比例相似，如图 5b给出了训练30%案例的某次随机选取训练样本，地震记录在强度范围4.29~24.01 m/s²内均有选取，与图 5a的390条地震记录强度参数分布情况相似。

图 5 所用Sa(T1)分布情况

图选项

由于在工程实际的运用中，如果以已有的有限元计算结果作为训练样本，预测未进行过有限元计算的工况时，已有的有限元结果可以作为已知量与预测结果相结合，生成拱坝在地震下的易损性曲线。故在本节中，将给出训练10%案例、预测90%案例；训练30%案例、预测70%案例；训练50%案例、预测50%案例；训练70%案例，预测30%案例；预测90%案例，预测10%案例的结果，将预测的部分与训练所用的有限元结果结合作易损性曲线，并与完整有限元结果给出的易损性曲线相对比。以拱冠梁顶点位移大于7 cm的易损性曲线为例，图 6给出了训练数据从30%~90%时，10次训练的平均易损性曲线，即红色实线，并给出了这10次训练中上下限易损性曲线，用两条虚线表示。上下限易损性曲线取得的方式为，选取有限元模拟易损性曲线的斜率最大处，即蓝色虚线标记处，差值最大的两条曲线。可以看出：1) 随着训练集的增加，得到的拱冠梁顶点位移的平均易损性曲线的稳定性逐渐提高。如当训练30%数据时，上下限曲线的波动范围较大，当训练到90%数据时，上下限曲线距离完整有限元计算的参考曲线已经非常接近。2) 训练30%~90%数据的情况下，拱冠梁顶点位移的平均易损性曲线与完整有限元计算的参考曲线均基本重合，说明在不同的训练样本下，作出的平均易损性曲线都有良好的精度。

图 6 训练不同数据的预测结果

图选项

在此基础上，进一步绘出反映拱冠梁位移大于7 cm、横缝开度大于4 mm、损伤体积比大于0.05的平均易损性曲线，观测训练数据从10%增加到90%时曲线的变化情况，如图 7所示。

图 7 3个EDP的平均易损性曲线

图选项

从图 7可以看出：1) 随着训练数据的增加，以GA-BP神经网络预测值替代原有限元计算值作出的易损性曲线，逐渐趋近于完整有限元易损性曲线。2) 从训练30%数据到训练90%数据，作出的平均易损性曲线与完整有限元易损性曲线都基本重合，说明在训练数据达到总数据量的30%时，可获得与完整有限元相同精度的平均易损性曲线。3) 对于3个EDP下的平均易损性曲线，训练10%数据时与完整有限元差距较大，自训练30%数据开始，与参考曲线吻合度均很高，在本文中可认为30%为一个拐点，即GA-BP神经网络仅需30%的数据即可获得相同精度的拱坝易损性曲线。
4 结论本文针对拱坝易损性分析计算工作量巨大的问题，提出了一种基于遗传算法的人工神经网络的拱坝易损性分析方法，结论如下：
1) GA-BP神经网络的训练集数据应包含不同等级强度地震动作用下的拱坝动力响应，保证训练数据的代表性；GA-BP神经网络的输入应包含地震动综合IM：a_RMS、I_A、VSI、IEPA、S_a^1-to-20和S_a(T₁)，从而提高GA-BP神经网络的可靠性和精度。
2) GA-BP神经网络具有较好的预测能力，可同时预测得到较高精度的拱坝拱冠梁顶点位移、横缝开度与损伤体积比等EDP。
3) GA-BP神经网络训练得到的模型预测精度随着训练数据量的增大呈现收敛趋势，在本文中，相比拱坝非线性有限元方法的易损性分析，GA-BP神经网络仅需390个有限元结果中30%的数据即可获得相同精度的拱坝易损性曲线，针对本文中的有限元结果，节约计算工作量达70%。
本文所采用的样本数据是大岗山拱坝在实际地震下的有限元计算结果，故本文的研究结果局限于特定的拱坝与地震数据，方法的普适性仍有待探究。

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