, 赵钦志1,2, 张彬彬1 1. 清华大学 机械工程系, 北京 100084;
2. 国家机床质量监督检验中心, 北京 100102
收稿日期：2018-04-01
基金项目：国家科技重大专项（2016ZX04004004，2017ZX04002001）
作者简介：王立平(1967-), 男, 教授, E-mail:lpwang@tsinghua.edu.cn
摘要：高速电主轴作为加工中心的核心部件，直接影响加工中心的加工精度和工件的表面质量和粗糙度。该文以应用在加工中心上的高速电主轴为研究对象，对电主轴的径向精度、回转倾角、轴向精度进行了分析。基于最小二乘圆近似算法，对电主轴的径向误差运动进行了建模，设计了一种电主轴径向回转精度快速评价方法，建立了倾斜误差运动模型，并给出了电主轴回转轴倾斜角度的计算方法；基于时域和频域信号分析方法，对电主轴轴向运动特征值进行了提取，从而实现电主轴轴向精度的评价。将该综合精度分析方法应用在一种加工中心的高速电主轴上，结果表明：电主轴的径向误差和轴向误差随着转速的升高，先保持不变再升高，回转轴线倾斜角度误差随着转速的升高基本保持不变。该方法可应用在电主轴性能检测和精度衰退试验中。
关键词：电主轴径向误差运动倾斜误差运动轴向误差运动最小二乘圆
Accuracy of an electric spindle
WANG Liping1
, ZHAO Qinzhi1,2, ZHANG Binbin11.Department of Mechanical Engineering, Tsinghua University, Beijing 100084, China;
2.China National Machine Tool Quality Supervision Testing Center, Beijing 100102, China
Abstract: An electric spindle, as the core of a CNC machine center, directly affects the accuracy of the CNC machining center. This paper describes a method to evaluate electric spindle accuracy by analyzing the spindle radial, tilt and axial motion errors. A radial error model of the electric spindle is then developed from the least squares circle. A rapid evaluation method of the radial accuracy uses a least squares circle approximation algorithm. The radial error is then used to calculate the tilt error and the tilt angle of the spindle rotation axis. Time and frequency domain signal analyses are used to extract the eigenvalues of the axial error to evaluate the axial positioning accuracy of the spindle. This comprehensive accuracy analysis method was applied to a high-speed electric spindle with the results showing that with as the rotational speed increased, the radial error increased while the tilt error and the axial error remained constant. This accuracy analysis method can be applied to analyzed the performance and accuracy degradation of spindles.
Key words: spindleradial error motiontilt error motionaxial error motionleast squares circle
主轴精度是反映机床性能的主要指标之一[1-2]，直接影响加工零件的几何误差、表面质量与粗糙度。因此需要对主轴的各类误差运动及误差产生机理进行深入研究，并对其运动精度进行评价，为提高主轴的运动精度，设计高性能主轴提供指导[3]。
主轴的误差运动主要分为径向误差运动、轴向误差运动和倾斜误差运动。多年来，国内外****主要针对主轴的径向误差运动检测方法开展研究。Liu等[4]设计了一种检测装置并采用一个位移传感器对主轴的径向误差进行了测量。文[5]和[6-7]分别采用2个激光位移传感器和2个激光Doppler测振仪对高精密高速主轴的径向回转精度进行了测量与评价。Okuyama等[8]基于三点法对高转速的主轴回转精度进行测量，并对三点法中的位移传感器布置角度进行优化。Liu等[9]采用三点法对主轴径向误差运动进行了测量，并对误差运动中的同步误差进行了提取，进而实现主轴径向精度评价。Zhang等[10-11]提出了四点法、多点法检测主轴的回转精度。除对主轴径向误差运动进行评价外，也有少部分****对主轴的轴向误差开展研究[12]。总体说来，目前大部分研究只针对主轴的径向误差运动，而忽略了主轴的轴向误差运动，倾斜误差运动等多种其他重要的误差运动分析。若不对主轴其他误差运动的产生原因进行研究和分析，就很难进一步提升主轴的性能。
本文以一种应用于加工中心的高速主轴为研究对象，通过分析电主轴的径向误差运动、倾斜误差运动和轴向误差运动，建立了电主轴运动精度的综合评价方法。首先建立电主轴旋转状态下的径向误差运动模型。根据最小二乘圆近似算法，对主轴的径向运动精度进行分析与评价。在电主轴径向运动精度分析方法的基础上，对电主轴倾斜误差运动模型进行建模。根据该模型，得到主轴回转轴线的倾斜角度。接着，结合时域和频域信号分析方法，对电主轴的轴向误差运动曲线展开分析，并给出了一种主轴轴向运动精度评价方法。最后将本文所给出的电主轴综合精度分析方法应用在一台国产加工中心的电主轴上，对其精度进行分析与评价。
1 电主轴误差运动检测原理与装置当电主轴回转时，回转轴线在理想情况下应固定不变，即回转轴线不会发生空间位置的变化。但由于电主轴中轴承、轴颈、轴承座孔等制造误差、装配误差、润滑条件以及高速旋转时的向心力等因素，造成电主轴实际回转轴线发生偏移。一般电主轴在旋转时存在轴向误差运动、径向误差运动和倾斜误差运动，如图 1所示。
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| 图 1 电主轴综合误差运动注：1—主轴；2—轴线平均线；3—回转轴线；4—径向误差运动；5—倾斜误差运动；6—轴向误差运动。 |
| 图选项 |
为了一次性检测所有的误差运动，一般采用双标准球和位移传感器搭建主轴精度检测仪，对主轴旋转状态下的误差运动信号进行采集，原理如图 2所示。
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| 图 2 主轴精度检测原理 |
| 图选项 |
首先将双标准球安装于主轴前端，随后将2个位移传感器分别安装在内侧标准球径向竖直检测方向和径向水平检测方向上，再将2个位移传感器以相同的方向安装在外侧标准球的2个检测方向上，最后将1个位移传感器安装在外侧标准球的轴向检测方向上。通过2个位移传感器，对外侧标准球径向位移进行检测，采集电主轴的径向误差运动信号。通过4个位移传感器，对内侧标准球和外侧标准球的径向位移进行检测，采集电主轴的倾斜误差运动信号。通过1个位移传感器，对外侧标准球的轴向位移进行检测，采集电主轴的轴向误差运动信号。
2 径向误差运动分析首先对电主轴的径向误差运动建模，通过在标准球的2个相互垂直的径向方向上安装位移传感器，采集主轴的径向误差运动曲线，其原理如图 3所示。
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| 图 3 径向误差检测原理图 |
| 图选项 |
图中O表示标准球的球心，o表示径向误差运动的平均回转轴线，以o点为原点，径向水平方向为x轴，径向竖直方向为y轴，轴向方向为z轴建立坐标系o-xyz。通过几何关系可得到：
| ${x_i} = \left| {{P_{20x}}} \right| - {r_i}\cos {\theta _i} - \sqrt {{R^2} - {{\left( {\left| {{P_{21y}}} \right| + {r_i}\sin {\theta _i}} \right)}^2}} ,$ | (1) |
| ${y_i} = \left| {{P_{10y}}} \right| - {r_i}\sin {\theta _i} - \sqrt {{R^2} - {{\left( {\left| {{P_{11x}}} \right| + {r_i}\cos {\theta _i}} \right)}^2}} .$ | (2) |
由于xi和yi信号存在一定的偏置，将误差运动曲线绘制在极坐标系下时，圆心会发生偏移。为了更好地表示误差运动信号，需要将xi和yi的偏置去除，将式(1)和(2)作如下变换：
| ${{x'}_i} = {x_i} - \frac{{\sum\limits_{i = 1}^n {{x_i}} }}{n},$ | (3) |
| ${{y'}_i} = {y_i} - \frac{{\sum\limits_{i = 1}^n {{y_i}} }}{n}.$ | (4) |
参考国家标准GB17421-7-2016[13]回转轴线的几何精度，采用最小二乘法对主轴的径向误差进行分析。最小二乘圆计算公式为
| $\sum\limits_{i = 1}^n {\varepsilon _i^2} = \sum\limits_{i = 1}^n {{{\left( {\sqrt {{{\left( {{x_i} - {x_0}} \right)}^2} + {{\left( {{y_i} - {y_0}} \right)}^2}} - {r_{{\rm{lms}}}}} \right)}^2}} .$ | (5) |
但由于最小二乘圆计算方法无解析解，本文将采用兼顾计算精度和计算效率的最小二乘圆近似算法进行计算，其近似函数为
| $H = \sum\limits_{i = 1}^n {{{\left[ {{{\left( {{x_i} - {x_0}} \right)}^2} + {{\left( {{y_i} - {y_0}} \right)}^2} - r_{{\rm{lms}}}^2} \right]}^2}} .$ | (6) |
| ${x_0} = - \frac{{{t_1}}}{2},$ | (7) |
| ${y_0} = - \frac{{{t_2}}}{2},$ | (8) |
| ${r_{{\rm{lms}}}} = \sqrt {\frac{{t_1^2}}{4} + \frac{{t_2^2}}{4} - {t_3}} .$ | (9) |
| $其中:{t_1} = \frac{{{A_1}{A_5} - {A_3}{A_4}}}{{A_3^2 - {A_2}{A_5}}},{t_2} = \frac{{{A_1}{A_3} - {A_2}{A_4}}}{{{A_2}{A_5} - A_3^2}},$ |
| ${t_3} = - \frac{{\sum\limits_{i = 1}^n {\left( {x_i^2 + y_i^2 + {t_1}{x_i} + {t_2}{y_i}} \right)} }}{n},$ |
| ${A_1} = \sum\limits_{t = 1}^n {\left[ {\left( {x_i^2 + y_i^2} \right){x_i}} \right]} - \frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {\left( {x_i^2 + y_i^2} \right)} \sum\limits_{i = 1}^n {{x_i}} ,$ |
| ${A_2} = \sum\limits_{i = 1}^n {x_i^2} - \frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {{x_i}} \sum\limits_{i = 1}^n {{x_i}} ,$ |
| ${A_3} = \sum\limits_{i = 1}^n {{x_i}{y_i}} - \frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {{x_i}} \sum\limits_{i = 1}^n {{y_i}} ,$ |
| ${A_4} = \sum\limits_{t = 1}^n {\left[ {\left( {x_i^2 + y_i^2} \right){y_i}} \right]} - \frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {\left( {x_i^2 + y_i^2} \right)} \sum\limits_{i = 1}^n {{y_i}} ,$ |
| ${A_5} = \sum\limits_{i = 1}^n {y_i^2} - \frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {{y_i}} \sum\limits_{i = 1}^n {{y_i}} 。$ |
| ${\eta _r} = {d_{\max }} - {d_{\min }}.$ | (10) |
3 倾斜误差倾斜误差属于电主轴的角度误差，机床在进行大切深铣削、镗孔、钻孔时，较大的角度误差将会降低加工精度。倾斜误差运动建模是基于径向误差运动模型的基础上进行建立。首先通过4个位移传感器采集双标准球中的外侧标准球和内侧标准球的径向误差运动曲线，再基于径向误差运动分析方法，得到双标准球的径向误差运动曲线，如图 4所示。
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| 图 4 主轴倾斜误差原理 |
| 图选项 |
图中o表示主轴的轴线平均线，Δθ表示倾斜误差角度，r1和r2分别表示前后径向误差运动曲线的最小二乘圆半径，Δl表示内侧标准球心离外侧标准球心的距离。通过几何关系可得到倾斜误差角度：
| $\Delta \theta = \arctan \frac{{\Delta r}}{{\Delta l}} = \arctan \frac{{{r_2} - {r_1}}}{{\Delta l}}.$ | (11) |
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| 图 5 轴向误差检测原理 |
| 图选项 |
从图 5可以看到，因为轴线平均线和标准球球心不重合，因此在评价轴向误差前，需先将轴线平均线与标准球球心的偏心量分离掉。由原理图可知，该偏心量信号是一个以转速为周期的周期信号。但由于在实际运动过程中，主轴设定转速和实际转速不完全一致，因此需要首先对采集到的误差信号进行Fourier变换，得到轴向位移信号的频率信号，该频域信号幅值最大的非零频率，该频率即为主轴的真实转动频率。即，
| $D\left( \alpha \right) = \max \left( {{\rm{DTFT}}\left[ {{z_i}} \right]} \right) = \sum\limits_{i = - \infty }^\infty {{z_i}{{\rm{e}}^{ - j\omega i}}} .$ | (12) |
将该频率幅值置为零，去除偏心量信号，即
| $D\left( \alpha \right) = 0.$ | (13) |
| ${\eta _a} = \max \left( {{{z'}_i}} \right) - \min \left( {{{z'}_i}} \right).$ | (14) |
5 实验将上述的电主轴综合精度检测和评价方法应用在一台博特精工JSZD170C-12/15XJ型号的电主轴性能检测中。电主轴的精度检测试验台如图 6所示。通过在电主轴前端夹持一个双标准球，并同时在双标准球周围布置5个高精密电容位移传感器，用于采集相应的误差运动信号。
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| 图 6 电主轴运动精度检测图 |
| 图选项 |
由于电主轴在低转速下，容易出现过流报警导致无法启动，因此首先通过实验的方法找到电主轴的最低转速为180 r/min。随后依次增加电主轴的转速，并保持每种转速下工作1 min，以8 kHz的采样频率对位移信号进行采集，并记录相应数据。
由于电主轴各个转速下的信号处理方式类似，因此将以180 r/min为例，对电主轴的径向误差、倾斜误差和轴向误差进行分析。
将采集到的180 r/min的径向误差运动信号绘制在极坐标图中，如图 7所示。从图 7可以看到，由于标准球安装存在一定的偏心，因此电主轴的径向误差运动是一个圆。但从式(10)可知，标准球的偏心并不会影响电主轴的径向误差评定结果。因此为了更好地表示径向运动，此处并不对标准球安装的偏心值进行分离。可以看到，当电主轴在低转速下转动时，电主轴的径向误差运动曲线带较窄，即电主轴的径向跳动较小，精度较高。
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| 图 7 180 r/min径向误差运动曲线(单位：(°)) |
| 图选项 |
根据式(7)—(10)，计算电主轴在不同转速下的径向运动误差，如图 8所示。从图中可以看到主轴的径向误差在低转速时较低。在工作转速2 000 r/min到6 000 r/min时，保持在2.5 μm不变。当转速升高到最高转速8 000 r/min时，误差上升至3.5 μm。这是因为电主轴内部质量不平衡，随着电主轴转速的升高，电主轴的随机振动增加，因此电主轴的径向误差随着转速的升高而升高。
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| 图 8 主轴径向运动精度 |
| 图选项 |
将180 r/min下内侧标准球和外侧标准球的径向误差运动曲线绘制在三维空间中，如图 9所示。
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| 图 9 180 r/min倾斜误差运动曲线 |
| 图选项 |
根据式(9)和(11)，可计算得到180 r/min的主轴倾斜角度。再对电主轴在其他转速下的信号进行分析，得到在电主轴的工作转速下的回转轴线的倾斜角度，如图 10所示。从结果来看，主轴的倾斜角度大约在1.9×10-3°左右，在转速升高的过程中，倾斜角度先增加后降低。
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| 图 10 主轴旋转倾斜角度 |
| 图选项 |
最后对电主轴180 r/min的轴向误差运动信号进行采集，根据式(12)，得到电主轴轴向误差运动信号的频域图，如图 11所示。由于电主轴的轴向误差运动信号频率主要集中在5 Hz内，为了更清晰地显示频域信号，其横坐标限制为0~5 Hz。从图 11可以看到，实际转速与设定转速一致，均为3 Hz，即180 r/min。根据式(13)，分离轴线平均线与标准球球心的偏心量，再将分离偏心量后的频域信号进行反Fourier变换，得到不含偏心量的轴向误差运动信号，并绘制在图 12中。根据式(14)，得到最终的电主轴在180 r/min的情况下的轴向误差精度。
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| 图 11 180 r/min轴向误差运动信号频谱图 |
| 图选项 |
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| 图 12 180 r/min轴向误差运动曲线 |
| 图选项 |
对电主轴其他转速下的轴向误差运动信号进行类似处理，得到电主轴在整个工作转速内的轴向误差，如图 13所示。从图中可看到，当电主轴处于工作转速下，其轴向窜动精度变化不大，基本保持在2.5 μm。这是由于主轴在旋转状态下，其离心力的方向与主轴轴向方向垂直，因此对轴向精度影响不大。当电主轴的转速升至极限转速时，电主轴的振动加大，导致轴向窜动也相应增大。
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| 图 13 主轴轴向运动精度 |
| 图选项 |
6 结论本文针对电主轴的径向误差运动、倾斜误差运动和轴向误差运动3种误差运动，研究了这些运动的误差建模方法和精度评价方法，并将电主轴的综合精度分析方法应用在一种国产电主轴的精度检测中。由实验结果可知，电主轴的径向误差随着转速的升高，先保持不变再升高。当电主轴的转速处于正常工作转速时，其径向误差和轴向误差基本保持不变。当电主轴的转速升高到最高转速时，由于电主轴的振动和不平衡增加，使得径向误差和轴向误差升高。电主轴的回转轴线倾斜角度误差随着转速的升高基本保持不变。由于电主轴回转轴线倾斜误差主要由于电主轴内部零件装配和刀柄、刀具的安装等误差引起的。而转速产生的离心力对零件的变形量有限，因此回转轴线的倾斜误差基本保持不变。该文提出的电主轴精度检测方法可应用在电主轴性能检测和精度衰退试验中。
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