, 周建银 1 , 周刚 2 , 肖毅 3 1. 清华大学 水沙科学与水利水电工程国家重点实验室, 北京 100084;
2. 中国环境科学研究院 国家环境保护河口与海岸带环境重点实验室, 北京 100084;
3. 重庆交通大学 国家内河航道整治工程技术研究中心, 重庆 400074
收稿日期: 2016-01-04
基金项目: 国家自然科学基金资助项目（51409027，51109194）；长江科学院开放研究基金资助项目（CKWV2012303/KY）
作者简介: 秦翠翠(1987-), 女, 博士研究生
通信作者: 邵学军, 教授, E-mail:shaoxj@mail.tsinghua.edu.cn
摘要：现有的环流修正模型多通过对单弯道或曲率较小的连续弯道的水流模拟来验证，其对曲率较大的连续弯道或天然河道水流模拟的适用性有待进一步分析。为解决这一问题，该文将修正模型应用于曲率较大及与天然河道平面形态相近的变曲率连续弯道的水流模拟中，来检验修正模型的适用性并分析修正项的作用。结果表明：修正模型模拟的水深略高于非修正模型，纵向水深平均流速与实测值更接近，在壁面附近尤为明显。通过对修正项的分析得出，修正项的量级与黏性项量级相当，其作用不可忽略，且在壁面附近对流速的修正作用最明显。通过分析表明，该文所采用的修正模型对曲率较大的连续弯道的水流模拟具有一定的适用性，对壁面附近流速模拟精度的提高使得本文修正模型更适用于弯道横向演变的模拟研究。
关键词： 弯道环流 连续弯道 修正项 二维数学模型
Suitability of simulating flow in meandering channel by modified depth-averaged model
QIN Cuicui1, SHAO Xuejun1
, ZHOU Jianyin1, ZHOU Gang2, XIAO Yi31.State Key Laboratory of Hydroscience and Engineering, Tsinghua University, Beijing 100084, China;
2.State Environmental Protection Key Laboratory of Estuarine and Coastal Environment, Chinese Research Academy of Environmental Sciences, Beijing 100084, China;
3.National Inland Waterway Regulation Engineering Research Center, Chongqing Jiaotong University, Chongqing 400074, China
Abstract:Secondary flow plays an important role in bend flow simulations. There are numerous models in the literature that consider the secondary flow effects. However, these models have generally been verified through simulating flows in a single bend or meandering channels with weak curvature. These models may not be applicable to channels with strong curvature or natural meandering rivers. This paper presents a model which is applied to two laboratory channel bends, one with strong curvature and the other with curvature varying like a natural river. The results show that the modified model predicts a higher water surface and improves the velocity simulation results. The dispersion terms have the same order of magnitude as the viscous stress term and should not be neglected in flow simulations of meandering channels with strong curvature. In addition, the dispersion term plays an important role in improving the velocity simulation results near the wall. Thus, this model is applicable to flow simulations in meandering channels with similar configurations and is more suitable for simulating the lateral evolution of meandering rivers.
Key words: secondary flowmeandering channeldispersion termdepth-averaged 2D numerical model
弯道在天然河流中普遍存在。弯道水流的运动特性对弯曲河流的泥沙运动特性及演变特性具有重要影响[1]。环流是弯道的典型水流结构。由于环流的作用，弯道水流不仅呈现出复杂的三维特性，且通过对纵向流速分布的调整来影响边岸侵蚀[2]，进一步对弯道平面形态的演变产生重要的影响。因此，对于弯道环流及其对水流运动的影响进行分析具有重要的意义。
虽然弯道水流具有明显的三维特性，理论上应运用三维模型进行模拟，但是从工程实际出发，大多采用平面二维模型。传统的平面二维模型因忽略流速沿垂线分布的不均匀性，不能直接考虑环流对水流运动的影响。有****[2-7]提出了在动量方程的基础上添加扩散应力项的方法来修正传统的平面二维模型，进而考虑环流的影响。
这些方法的主要差别在于求解扩散应力项所采用的纵向流速的垂线分布形式以及是否考虑因水流惯性引起的环流的滞后效应。Lien等[3]及国内****[5-6]主要采用de Vriend[8]推导得出的呈对数分布形式的纵向流速来求解扩散应力项。Wu等[9]则采用呈指数分布形式的纵向流速来求解。这些方法较少考虑环流滞后效应对弯道水流的影响。Blanckaert等[10]指出环流的滞后效应对曲率较高且变动明显的弯道水流模拟结果影响较大。从何建波[11]及芮德繁[12]所进行的连续弯道水流试验来看，在连续弯道中环流的滞后效应非常明显，而连续弯道在中国下荆江河段和汉江下游、渭河下游等河流普遍存在[13]。因此，分析考虑环流滞后效应的平面二维修正模型对连续弯道水流模拟的适用性具有重要的意义。
Bernard等[14-15]、Hosoda等[16]及Deltares[17]采用不同的涡量输运方程及环流强度输运方程来考虑环流的滞后效应。这些方法中，Bernard[14]提出的方法简单易行，且通过了大量连续弯道水流试验的验证，但这些弯道曲率较小且缺少对天然弯曲河道水流模拟的检验。方春明[18]求解平面二维弯道环流运动方程时考虑了环流滞后效应，但此方法计算量较大。邓春艳等[19]虽然采用了Delft3d模型对沙市河段进行了二维数值模拟，分析了环流对该河段水沙输移的影响，但此验证河段仍属于单弯道微弯河段。因此，考虑环流滞后效应的修正模型对高曲率及天然连续弯道的水流模拟的适用性有待进一步验证。
本文基于Bernard[14]提出的考虑环流滞后效应的平面二维修正模型，考虑到边界拟合问题，将它转换到正交曲线坐标系下进行求解。将修正模型应用于曲率较高的连续弯道，及更能反映天然弯曲河道高摆幅及非对称特性的变曲率连续弯道水流模拟中，来研究环流滞后修正模型对连续弯道水流模拟的适用性，并对修正项进行分析，以期为考虑环流影响的长时间及空间尺度的弯道平面形态的演变模拟研究提供基础。
1 环流修正模型及模型验证由于Bernard[14]所建模型考虑了环流的滞后效应且计算量增加不大，本文采用此环流修正模型。为适应拟合复杂边界的需要，将修正模型转变到正交曲线坐标系下进行求解。
1.1 控制方程RANS方程沿水深积分，并忽略科氏力及风应力得到水流连续方程及动量方程[20-21]：
| $\frac{{\partial Z}}{{\partial t}} + \frac{1}{J}\left[ {\frac{{\partial \left( {{h_2}q} \right)}}{{\partial \xi }} + \frac{{\partial \left( {{h_2}p} \right)}}{{\partial \eta }}} \right] = 0,$ | (1) |
| $\begin{array}{c}\frac{{\partial q}}{{\partial t}} + \frac{1}{J}\left[ {\frac{{\partial \left( {{h_2}qU} \right)}}{{\partial \xi }} + \frac{{\partial \left( {{h_1}pU} \right)}}{{\partial \eta }}} \right] - \\\frac{{pV}}{J}\frac{{\partial {h_2}}}{{\partial \xi }} + \frac{{qV}}{J}\frac{{\partial {h_1}}}{{\partial \eta }} + \frac{{gH}}{{{h_1}}}\frac{{\partial Z}}{{\partial \xi }} + \\\frac{{qg\left| \mathit{\boldsymbol{q}} \right|}}{{{{\left( {CH} \right)}^2}}} = \frac{{{\upsilon _e}H}}{{{h_1}}}\frac{{\partial E}}{{\partial \xi }} - \frac{{{\upsilon _e}H}}{{{h_2}}}\frac{{\partial F}}{{\partial \eta }} - {S_\xi },\end{array}$ | (2) |
| $\begin{array}{c}\frac{{\partial p}}{{\partial t}} + \frac{1}{J}\left[ {\frac{{\partial \left( {{h_2}qV} \right)}}{{\partial \xi }} + \frac{{\partial \left( {{h_1}pV} \right)}}{{\partial \eta }}} \right] + \\\frac{{pU}}{J}\frac{{\partial {h_2}}}{{\partial \xi }} + \frac{{qU}}{J}\frac{{\partial {h_1}}}{{\partial \eta }} + \frac{{gH}}{{{h_2}}}\frac{{\partial Z}}{{\partial \eta }} + \\\frac{{pg\left| \mathit{\boldsymbol{q}} \right|}}{{{{\left( {CH} \right)}^2}}} = \frac{{{\upsilon _e}H}}{{{h_1}}}\frac{{\partial E}}{{\partial \eta }} - \frac{{{\upsilon _e}H}}{{{h_2}}}\frac{{\partial F}}{{\partial \xi }} - {S_\eta },\end{array}$ | (3) |
| $\begin{array}{l}E = \frac{1}{J}\left[ {\frac{{\partial \left( {{h_2}U} \right)}}{{\partial \xi }} + \frac{{\partial \left( {{h_1}V} \right)}}{{\partial \eta }}} \right],\\F = \frac{1}{J}\left[ {\frac{{\partial \left( {{h_2}V} \right)}}{{\partial \xi }} - \frac{{\partial \left( {{h_1}U} \right)}}{{\partial \eta }}} \right].\end{array}$ | (4) |
1.2 环流修正项求解1)?涡量方程
本文采用涡量方程来求解环流引起的涡量，进一步求解环流引起的切应力项，最后求得环流修正项。具体推导过程见文[14]，下文仅列出重要的方程。
流向、径向流速沿垂线分布(见图 1)采用如下形式：
| ${v_s} = \left| \mathit{\boldsymbol{u}} \right|\left( {1 + {C_2}\frac{{\sqrt g }}{C}\frac{z}{H}} \right),$ | (5) |
| $ {v_n} = {\omega _s}z \approx \left( {\frac{{\partial w}}{{\partial y}} - \frac{{\partial v}}{{\partial z}}} \right)z.$ | (6) |
 |
| 图 1 环流及流向(vs)、径向(vn)流速沿垂线分布形式 |
| 图选项 |
其中：vs及vn分别为水流流向及径向流速；C2为流向流速沿垂线分布的不均匀系数；z为沿水深方向的垂向坐标，原点在H/2水深位置；w及v分别为对应于直角坐标系下z及y方向的流速；ωs为与环流相关的水深平均流向涡量。
因环流修正项由流向与径向流速沿水深方向不均匀分布引起，故环流引起的水深平均切应力为
| $ \begin{array}{c}{\tau _s} = \frac{\rho }{H}\int_{ - H/2}^{H/2} {\left( {{v_s} - \left| \mathit{\boldsymbol{u}} \right|} \right)\left( {{v_n} - 0} \right){\rm{d}}z} = \\\rho H\left| \mathit{\boldsymbol{u}} \right|\frac{{{C_2}{\omega _s}}}{{12}}\frac{{\sqrt g }}{C}.\end{array}$ | (7) |
| ${\tau _s} = \rho H\left| \mathit{\boldsymbol{u}} \right|\mathit{\Omega }\frac{{\sqrt g }}{C}.$ | (8) |
| $\begin{array}{c}\frac{{\partial \left( {\partial \mathit{\Omega }} \right)}}{{\partial t}} + \frac{1}{J}\left[ {\frac{{\partial \left( {{h_2}q\mathit{\Omega }} \right)}}{{\partial \xi }} + \frac{{\partial \left( {{h_1}p\mathit{\Omega }} \right)}}{{\partial \eta }}} \right] = \\\frac{{{A_s}\sqrt g {{\left| \mathit{\boldsymbol{u}} \right|}^2}}}{{\left( {1 + 9{h^2}/r_s^2} \right){r_s}C}} - \frac{{{D_s}\sqrt g }}{C}\mathit{\Omega }\left| \mathit{\boldsymbol{u}} \right| + \\\frac{1}{J}\left[ {\frac{\partial }{{\partial \xi }}\left( {\frac{{{h_2}{\upsilon _e}H}}{{{h_1}}}\frac{{\partial \mathit{\Omega }}}{{\partial \xi }}} \right) + \frac{\partial }{{\partial \eta }}\left( {\frac{{{h_1}{\upsilon _e}H}}{{{h_2}}}\frac{{\partial \mathit{\Omega }}}{{\partial \eta }}} \right)} \right].\end{array}$ | (9) |
边界条件：进口涡量Ω恒为0，壁面及出口涡量梯度为0。近似考虑壁面上涡量为0，将As在壁面网格内的取值减为流场内部As取值的一半。
2)?环流修正项求解
| $\begin{array}{c}\mathit{\boldsymbol{S}} = \left( {{S_x},{S_y}} \right) = \\{\rho ^{ - 1}}\frac{\mathit{\boldsymbol{u}}}{{\left| \mathit{\boldsymbol{u}} \right|}}\left( {\mathit{\boldsymbol{n}} \cdot \nabla \left( {H{\tau _s}} \right) + \frac{{2H{\tau _s}}}{{{r_s}}}} \right) = \left( {{S_\xi },{S_\eta }} \right) = \\\left( {{\rho ^{ - 1}}\left[ {\frac{{UV}}{{{{\left| \mathit{\boldsymbol{u}} \right|}^2}}}\frac{{\partial \left( {H{\tau _s}} \right)}}{{{h_1}\partial \xi }} - \frac{{{U^2}}}{{{{\left| \mathit{\boldsymbol{u}} \right|}^2}}}\frac{{\partial \left( {H{\tau _s}} \right)}}{{{h_2}\partial \eta }} + \frac{{2UH{\tau _s}}}{{\left| \mathit{\boldsymbol{u}} \right|{r_s}}}} \right]} \right.,\\\left. {{\rho ^{ - 1}}\left[ {\frac{{{V^2}}}{{{{\left| \mathit{\boldsymbol{u}} \right|}^2}}}\frac{{\partial \left( {H{\tau _s}} \right)}}{{{h_1}\partial \xi }} - \frac{{UV}}{{{{\left| \mathit{\boldsymbol{u}} \right|}^2}}}\frac{{\partial \left( {H{\tau _s}} \right)}}{{{h_2}\partial \eta }} + \frac{{2VH{\tau _s}}}{{\left| \mathit{\boldsymbol{u}} \right|{r_s}}}} \right]} \right).\end{array}$ | (10) |
 |
| 图 2 求解过程 |
| 图选项 |
1.3 修正模型验证本文通过曲率较大的单弯道Rozovskii试验[3]来验证环流修正模型，并将计算结果与其他2个以de Vriend[8]流速分布形式为基础的修正模型进行对比。
Rozovskii[3]弯道水槽由进口3 m直线段，180°弯道段及出口6 m直线段组成。弯道断面为矩形，槽宽0.8 m，平坡。进口流量为0.012 3 m3/s，出口水深为0.053 m。图 3给出了Rozovskii弯道平面布置图。计算网格数为33×43，沿水流方向为33，沿横断面为43，采用正交贴体网格。计算时间步长为0.012 s。
 |
| 图 3 Rozovskii弯道水槽平面布置图(单位：cm) |
| 图选项 |
图 4为本文所采用的环流修正模型与实测值、Song[22]及Lien[3]修正模型模拟结果的对比图。U/U0为水深平均纵向流速U与进口断面平均流速U0的比值，y/B代表相对河宽，y为横断面各点距弯道左岸的距离，B为槽宽。从图 4可以看出，3个模型模拟结果均与实测值较接近，而本文修正模型在弯道出口段(143°及186°断面)表现最好。
 |
| 图 4 横断面纵向水深平均流速对比图 |
| 图选项 |
2 对连续弯道水槽试验的模拟及分析本文将修正模型应用于曲率较大的连续弯道及与天然河道平面形态相近的变曲率连续弯道的水槽试验，通过对水深及纵向水深平均流速的模拟，来验证环流滞后修正模型对连续弯道水流模拟的适用性。变曲率水槽试验采用Abad[23]进行的Kinoshita变曲率弯道水槽试验，此弯道平面形态更能反应天然弯曲河道的高摆幅及非对称性的平面形态特征。
2.1 连续弯道常曲率水槽试验模型应用于何建波(HJB)[11]弯道试验，弯段间无过渡段，弯道轴线半径为1.0 m，宽0.4 m，为保证进、出口水流平顺，连续弯道进口接2.0 m直线段，出口接1 m直线段。试验水槽断面为矩形，糙率为0.008 7，底坡为0.000 3。进口流量为0.012 66 m3/s，出口水深为0.097 6 m。弯道的平面形态见图 5，表 1给出相应的水流条件参数。计算网格数为221×21，沿水流方向为221，沿横断面为21，采用正交贴体网格。计算时间步长为0.02 s。
 |
| 图 5 何建波(HJB)连续弯道水槽平面图[11](单位：mm) |
| 图选项 |
表 1 HJB及Kinoshita水槽几何尺寸及水流条件参数
| 算例 | 流量 | 出口水深 | 进口断面平均流速 | Rc/B |
| Q/(m3·s-1) | Hd/m | U0/(m·s-1) | ||
| HJB[11] | 0.01266 | 0.097 6 | 0.323 2 | 2.5 |
| Kinoshita[24] | 0.025 | 0.15 | 0.277 8 | ≥1.13 |
表选项
图 6为水深沿弯道中轴线分布图。横坐标S代表距弯道进口的距离，纵坐标H为水深。从图中可以看出，2个模型模拟的水深与实测水深分布较一致，环流修正模型模拟的水深值略高。
 |
| 图 6 弯道中轴线水深沿程分布图 |
| 图选项 |
图 7为4个典型断面水深平均纵向流速的分布图，横、纵坐标含义同图 4。由图 7可知，2个模型所模拟的断面水深平均纵向流速与实测流速在分布趋势上相符，在Sec.05、Sec.09及Sec.23壁面附近修正模型模拟的流速结果略优于无环流修正模型。
 |
| 图 7 横断面纵向水深平均流速对比图 |
| 图选项 |
2.2 Kinoshita水槽试验Kinoshita变曲率弯道水槽由3个高摆幅的10 m长(沿中轴线长度)弯段组成，两端各接1.0 m的直线段，水槽宽0.6 m，平坡，水流方向从左向右。沿弯道轴线每隔1.0 m设置一个断面，测量断面为CS10~CS20，具体见图 8。本文采用文[24]中H15Q25-US组次试验来验证修正模型，进口流量为0.025 m3/s，水深为0.15 m，糙率为0.015 5。表 1列出了相应的水流条件参数。计算区域网格数为1 281×25，1 281为沿水流方向网格点数，25为横断面网格点数，采用正交曲线网格。计算时间步长取为0.02 s。
 |
| 图 8 Kinoshita变曲率连续弯道水槽试验[22] |
| 图选项 |
图 9为弯道中轴线水深沿程分布图，坐标轴含义同图 6。从图中可以看出，2个模型对水深模拟结果与实测值较接近，在弯道第一个弯段(CS0~CS10)修正模型比无修正模型模拟的水位值略偏高。
 |
| 图 9 弯道中轴线水深沿程分布图 |
| 图选项 |
图 10为典型断面纵向平均流速分布图，坐标轴含义同图 4。从图 10可以看出无环流修正模型模拟的最大流速始终都在弯道凸岸侧，无法模拟出最大流速位置的调整(如CS12、CS17)，而修正模型虽然在数值上与实测值有偏差但趋势上与实测结果更符合。与图 7类似，在壁面附近修正模型模拟的纵向平均流速与实测结果更接近。
 |
| 图 10 横断面纵向水深平均流速对比图 |
| 图选项 |
2.3 模拟结果分析对于验证算例Rozovskii试验，Song[22]及Lien[3]模型均考虑环流充分发展的情况，没有考虑环流发展的滞后效应，而本文修正模型则通过涡量方程考虑了环流发展的滞后效应，因此，模拟效果优于其他2个模型。
对于2个连续弯道水流运动的模拟，从图 6和图 9可知，修正模型模拟的水深比无修正模型模拟的水深略高，这是由于环流引起额外的阻力损失[10]，修正模型通过环流修正项考虑了这部分阻力的影响，因此模拟的水深略高。Wu等[9]通过对单弯道水流的模拟得出了相同的结论。
从图 7和图 10可以看出，修正模型模拟的纵向水深平均流速与实测结果更接近，在壁面附近尤为明显。为了对此进行解释，本文对主流线方向的环流修正项Sζ进行分析(与主流向垂直方向的修正项Sη的量级为10-5，与Sζ相比可忽略)，如图 11所示。对于2个连续弯道试验，修正项的量级大约在10-3，与黏性项(量级为10-3)在同一量级，由此可见修正项对2个连续弯道的水流模拟结果影响较大，不可忽略。Begnudelli等[7]通过对黏性项及修正项的量纲分析得出，对于曲率较大的弯道，修正项的作用与黏性项的作用相当或者更重要。本文所采用的2个试验均为曲率较大的弯道(H/R量级约为10-1)。
 |
| 图 11 环流修正项分布图(单位：m2/s2) |
| 图选项 |
从图 11可知，在壁面附近修正项的值比流场内部的值要大。这是由于从涡量方程的边界条件可知，在壁面上涡量Ω值近似为0，造成二次流切应力τs在壁面附近梯度较大，因此环流修正项在壁面附近的值较大，对流速的修正作用较明显。
3 结论本文通过涡量输运方程来考虑环流的滞后效应，在动量方程的基础上添加由流速沿水深不均匀分布引起的环流修正项(扩散应力项之和)来考虑环流对连续弯道水流运动的影响。将修正模型应用于环流滞后效应明显的连续弯道的水流模拟，来检验此修正模型对连续弯道水流模拟的适用性。
计算结果表明，修正模型模拟的水深略高于非修正模型模拟的水深，纵向水深平均流速与实测值更接近，在壁面附近尤为明显。通过对主流方向修正项的分析得出，修正项与黏性项的量级相当，其作用不可忽略。此外，由于修正项在壁面附近的值比流场内部的值大，其对流速的修正作用更明显。综上所述，对曲率较大的连续弯道及与天然河流平面形态相近的连续弯道的水流模拟，不可忽略修正项，本文修正模型适用于此类连续弯道的水流模拟。
从计算结果来看，环流修正模型能够提高壁面附近流速模拟的精度，而弯道的横向变形与近岸水流速度有关，因此，本文采用的修正模型更适用于弯道横向演变的模拟研究。
参考文献
| [1] | Journal of Central South University(Science and Technology), 41(2):649-654.-->钱宁, 张仁, 周志德. 河床演变学[M]. 北京: 科学出版社, 1987.CHIEN Ning, ZHANG Ren, ZHOU Zhide. Fluvial Process[M]. Beijing: Science Press, 1987. (in Chinese) |
| [2] | Journal of Central South University(Science and Technology), 41(2):649-654.-->Johannesson H, Parker G. Velocity redistribution in meandering rivers[J]. Journal of Hydraulic Engineering, 1989, 115(8): 1019–1039. DOI:10.1061/(ASCE)0733-9429(1989)115:8(1019) |
| [3] | Journal of Central South University(Science and Technology), 41(2):649-654.-->Lien H C, Hsieh T Y, Yang J C, et al. Bend flow simulation using 2D depth-averaged model[J]. Journal of Hydraulic Engineering, 1999, 125(10): 1097–1108. DOI:10.1061/(ASCE)0733-9429(1999)125:10(1097) |
| [4] | Journal of Central South University(Science and Technology), 41(2):649-654.-->Duan J G. Simulation of flow and mass dispersion in meandering channels[J]. Journal of Hydraulic Engineering, 2004, 130(10): 964–976. DOI:10.1061/(ASCE)0733-9429(2004)130:10(964) |
| [5] | Journal of Central South University(Science and Technology), 41(2):649-654.-->程文辉, 王船海. 用正交曲线网格及"冻结"法计算河道流速场[J]. 水利学报, 1988(6): 18–25.CHENG Wenhui, WANG Chuanhai. The calculation of flow pattern in rivers by the orthogonal curvilinear coordinates and "condensation" technique[J]. Shui Li Xue Bao, 1988(6): 18–25. (in Chinese) |
| [6] | Journal of Central South University(Science and Technology), 41(2):649-654.-->魏文礼, 刘哲. 曲线坐标系下平面二维浅水模型的修正与应用[J]. 计算力学学报, 2007, 24(1): 103–106.WEI Wenli, LIU Zhe. Modification of horizontal 2D shallow water model in curvilinear coordinates with its applications[J]. Chinese Journal of Computational Mechanics, 2007, 24(1): 103–106. (in Chinese) |
| [7] | Journal of Central South University(Science and Technology), 41(2):649-654.-->Begnudelli L, Valiani A, Sanders B F. A balanced treatment of secondary currents, turbulence and dispersion in a depth-integrated hydrodynamic and bed deformation model for channel bends[J]. Advances in Water Resources, 2010, 33(1): 17–33. DOI:10.1016/j.advwatres.2009.10.004 |
| [8] | Journal of Central South University(Science and Technology), 41(2):649-654.-->de Vriend H J. A mathematical model of steady flow in curved shallow channels[J]. Journal of Hydraulic Research, 1977, 15(1): 37–54. DOI:10.1080/00221687709499748 |
| [9] | Journal of Central South University(Science and Technology), 41(2):649-654.-->WU Weiming, Wang S S Y. Depth-averaged 2D calculation of flow and sediment transport in curved channels[J]. International Journal of Sediment Research, 2004, 19(4): 241–257. |
| [10] | Journal of Central South University(Science and Technology), 41(2):649-654.-->Blanckaert K, de Vriend H J. Meander dynamics:A non-linear model without curvature restrictions for flow in open-channel bends[J]. Journal of Geophysical Research, 2010, 115: F04011. |
| [11] | Journal of Central South University(Science and Technology), 41(2):649-654.-->何建波.弯道水流结构及其紊流特性的试验研究[D].北京:清华大学, 2009. HE Jianbo. Experimental Study on the Flow Structure and Turbulent Characteristics in Open-channel Bends[D]. Beijing:Tsinghua University, 2009. (in Chinese) http://cdmd.cnki.com.cn/Article/CDMD-10003-2010215371.htm |
| [12] | Journal of Central South University(Science and Technology), 41(2):649-654.-->芮德繁.连续弯道环流运动与泥沙冲淤特性的数值模拟及实验[D].成都:四川大学, 2005. RUI Defan. Numerical Model for Circumfluence and Movement of Sediment in Continuous Meandering River[D]. Chengdu:Sichuan University, 2005. (in Chinese) http://cdmd.cnki.com.cn/Article/CDMD-10610-2005131158.htm |
| [13] | Journal of Central South University(Science and Technology), 41(2):649-654.-->赵根生, 卢金友, 汪鹏. 连续弯道演变机理研究综述[J]. 长江科学院院报, 2009, 26(6): 1–3.ZHAO Gensheng, LU Jinyou, WANG Peng. Review on research for evolution of continuously curved channels[J]. Journal of Yangtze River Scientific Research Institute, 2009, 26(6): 1–3. (in Chinese) |
| [14] | Journal of Central South University(Science and Technology), 41(2):649-654.--> Bernard R S. STREMR:Numerical Model for Depth-averaged Incompressible Flow[R]. Mississippi:US Army Corps of Engineers, 1993. |
| [15] | Journal of Central South University(Science and Technology), 41(2):649-654.--> Bernard R S, Schneider M L. Depth-averaged Numerical Modeling for Curved Channels[R]. Mississippi:US Army Corps of Engineers, 1992. http://cn.bing.com/academic/profile?id=1580659364&encoded=0&v=paper_preview&mkt=zh-cn |
| [16] | Journal of Central South University(Science and Technology), 41(2):649-654.-->Hosoda T, Kimura I, Michibata K, et al. Advances in Fluid Modeling and Turbulence Measurements[M]. Tokyo, Japan: World Scientific Publishing Company, 2001. |
| [17] | Journal of Central South University(Science and Technology), 41(2):649-654.--> Deltares Institute. Delft3d-flow User Manual (Ver.3.15):Simulation of Multi-dimensional Hydrodynamic Flows and Transport Phenomena, Including Sediments[R]. Rotterdamseweg:Deltares, 2013. http://www.jlimnol.it/index.php/jlimnol/article/view/jlimnol.2016.1378/1202 |
| [18] | Journal of Central South University(Science and Technology), 41(2):649-654.-->方春明. 考虑弯道环流影响的平面二维水流泥沙数学模型[J]. 中国水利水电科学研究院学报, 2003, 1(3): 190–193.FANG Chunming. Simulation of bend secondary flow effect in a planar 2D depth-averaged model[J]. Journal of China Institute of Water Resources and Hydropower Research, 2003, 1(3): 190–193. (in Chinese) |
| [19] | Journal of Central South University(Science and Technology), 41(2):649-654.-->邓春艳, 夏军强, 宗全利, 等. 二次流对微弯河段水沙输移影响的数值模拟研究[J]. 泥沙研究, 2013(5): 27–34.DENG Chunyan, XIA Junqiang, ZONG Quanli, et al. Modelling effects of secondary flow on transport of flow and sediment in a slightly curved reach[J]. Journal of Sediment Research, 2013(5): 27–34. (in Chinese) |
| [20] | Journal of Central South University(Science and Technology), 41(2):649-654.-->陈建武.贴体正交坐标系中水流泥沙方程的求解[D].北京:清华大学, 1999. CHEN Jianwu. Solution of Shallow Water and Sediment Transport Equations using Boundary-fitted Orthogonal Coordinate Systems[D]. Beijing:Tsinghua University, 1999. (in Chinese) |
| [21] | Journal of Central South University(Science and Technology), 41(2):649-654.-->Finnie J, Donnell B, Letter J, et al. Secondary flow correction for depth-averaged flow calculation[J]. Journal of Engineering Mechanics, 1999, 125(7): 848–863. DOI:10.1061/(ASCE)0733-9399(1999)125:7(848) |
| [22] | Journal of Central South University(Science and Technology), 41(2):649-654.-->Song C G, Seo I W, Kim Y D. Analysis of secondary current effect in the modeling of shallow flow in open channels[J]. Advances in Water Resources, 2012, 41: 29–48. DOI:10.1016/j.advwatres.2012.02.003 |
| [23] | Journal of Central South University(Science and Technology), 41(2):649-654.-->Abad J D, Garcia M H. Experiments in a high-amplitude Kinoshita meandering channel:1. Implications of bend orientation on mean and turbulent flow structure[J]. Water Resource Research, 2009, 45: W02401. |
| [24] | Journal of Central South University(Science and Technology), 41(2):649-654.--> Ancalle J. Experimental Study on the Hydraulics of High-amplitude Kinoshita-generated Meandering Channels[D]. Urbana, USA:University of Illinois at Urbana-Champaign, 2007. http://vtchl.illinois.edu/resources/journal-articles/ |
