赵富龙 , 薄涵亮 , 刘潜峰
清华大学 核能与新能源技术研究院, 北京 100084

收稿日期: 2015-10-13
作者简介: 赵富龙(1990-),男,博士研究生
通讯作者: 薄涵亮,教授,E-mail:bohl@tsinghua.edu.cn

摘要：汽水分离装置是蒸汽发生器中非常重要的部件，作用是去除蒸汽流中夹带的小液滴，为汽轮机提供品质合格的饱和蒸汽，其性能对核电站运行的安全性和经济性有着十分重要的影响。液滴在汽水分离装置中的运动过程中,阻力和结构的变化会造成压力降低，打破汽液相平衡，造成液滴的蒸发，进而影响汽水分离性能。该文从压力变化条件下静止液滴的物理现象描述和机理解释出发，建立了压力变化条件下静止液滴相变的水动力学-动力学模型，通过了时间步长的网格无关性验证，与实验结果吻合良好，相对误差在±5%以内。该模型可以为进一步研究汽水分离装置中的液滴运动相变过程和改进汽水分离性能提供理论依据。
关键词： 汽水分离 液滴蒸发 压力变化 水动力学模型
Static droplet phase transformation model for variable pressure conditions
ZHAO Fulong, BO Hanliang, LIU Qianfeng
Institute of Nuclear and New Energy Technology, Tsinghua University, Beijing 100084, China


Abstract:The steam-water separator is a very important part of steam generators. The steam separator removes small droplets carried by the vapor stream to provide saturated vapor to the steam turbine. The steam-water separator performance then greatly impacts the safety and economy of the nuclear power station. As droplets move through the separator, the pressure decreases due to the flow resistance and structure variation, which may break the liquid-vapor equilibrium, cause the droplets to evaporate and influence the steam-water separator performance. This paper gives a hydrodynamic-kinetic model of static droplet phase transformations when the pressure varies based on physical and mechanist models of droplet evaporation. The model predictions are independent of the time step and the results agree well with existing data with relative errors less than ±5%. This model provides a theoretical reference for further studies of droplet phase transformations to improve the separation performance of steam separators.
Key words: steam-water separationdroplet evaporationpressure variationhydrodynamic-kinetic model
核电站蒸汽发生器汽水分离系统由汽水分离装置及辅助设备构成，汽水分离性能对电站运行的安全性和经济性有十分重要的影响。为满足大型核电站蒸汽发生器功率增加以及船用蒸发器空间紧凑的要求，必须提高蒸汽的参数，而为了保证在较高的蒸汽压力、负荷和循环倍率下仍然能提供品质合格的蒸汽，汽水分离装置必须具有更高的分离性能^[1]。
在汽水分离器中，涉及到液滴的产生、蒸汽与液滴的夹带运动、液滴的相互碰撞、液滴与液膜和壁面之间的碰撞、液滴的消亡、液滴的相变等物理过程。很多****针对汽水分离特性展开了大量的研究，一部分对汽水分离装置中的细节进行了机理解释，但关于汽水分离机理的系统研究很少^[2-5]。核电厂的汽水分离器中，虽然水蒸气和液滴总体处于饱和状态，但是在液滴和蒸汽的运动过程中，由于阻力的作用以及结构的变化会造成压力不断降低，对液滴的传热传质特性产生影响，进而影响汽水分离特性。关于液滴传质方面的研究大多数是关于灌溉蒸发、灭火、燃油、火箭推进方面^[6]，缺乏在汽水分离器中液滴的传质方面的研究，因此十分有必要对液滴的传热传质特性进行研究。
为此，本文提出了一种从液滴的产生^[7]、 运动^[8]、 碰撞^[9]、 消亡及相变等微观行为方面进行汽水分离机理研究的方法。首先解释了压力变化条件下液滴相变现象和物理机理，随后给出了压力变化条件下静止液滴相变模型和求解方法，最后通过计算证实液滴相变模型的正确性，为后续的液滴在运动过程中的相变研究奠定数学和理论基础。
1 计算模型1.1 物理描述及机理解释将液滴在汽水分离装置中压力变化条件下的相变过程按照作用机理和发生过程的时间序列的不同分为以下2个阶段：
1) 快速蒸发阶段： 液滴在汽水分离装置中的运动过程中由于阻力和结构的变化会造成压力的降低，在压力降低刚开始的很短的时间内，液滴表面周围的压力以压力波波速快速传播，降低到与环境压力基本一致，而在压力的变化过程中由于压差的驱动会造成液滴表面蒸汽的快速运动，使得液滴快速蒸发；
2) 热平衡蒸发阶段： 当液滴表面周围的压力降低到与环境压力基本一致时，压差驱动的作用机理影响基本很小可以忽略，但是由于在快速蒸发过程中液滴的温度变化要远远滞后于压力变化，此时液滴表面的汽液界面处于过热，打破了原有的汽液相平衡状态，液滴进入热平衡蒸发过程，随着蒸发过程的进行，液滴表面温度逐渐降低，相应的汽液界面的饱和压力也降低，直到达到新的汽液相平衡或者液滴完全蒸发蒸汽环境仍然处于过热状态。
1.2 基本假设为了更好地对物理机理进行理解并建立合理的数学模型，作出如下4个假设：
1) 球对称蒸发假设： 汽水分离装置中液滴的尺寸为几十微米到几百微米的量级^[7]，液滴尺寸较小，可认为液滴蒸发过程中保持球形即球对称蒸发。
2) 液滴温度均匀假设： 对于汽水分离装置中的液滴，总体来说，液滴尺寸较小，Biot数小于0.1^[10]，可以采用集总参数法来分析液滴与气体之间的换热即认为液滴内部温度均匀，忽略液滴内部的温度梯度；
3) 忽略辐射传热假设： 在汽水分离装置中，液滴在运动蒸发过程中，基本上处于饱和状态，与汽水分离装置的壁面之间的温差较小，因此可以忽略辐射传热；
4) 液滴周围压力随半径指数变化假设： Lewis^[11]和徐旭常^[12]的研究结果表明液滴周围的压力、密度和温度随着半径的变化近似呈现指数规律，也正是在液滴周围的压力驱动下产生蒸汽流场运动，为此要考虑压力变化对液滴蒸发的影响^[13]。
1.3 基本数学模型完整的数学模型包括传质和传热模型、压力驱动蒸汽运动速度及压力的变化时间方程、液滴半径的变化方程，其中传质模型又包括水动力学模型和动力学模型，快速蒸发阶段采用水动力学模型，热平衡蒸发阶段采用动力学模型，两者以压力的变化时间作为分界判据。
1.3.1 传质方程1.3.1.1 水动力学传质模型1) 压力驱动蒸汽速度及压力变化时间方程。
对液滴表面即半径r处和距离液滴中心nr处的表面应用连续性方程和能量守恒方程可得：

${{\rho }_{}}_{r}{{v}_{r}}{{A}_{r}}={{p}_{nr}}{{v}_{nr}}{{A}_{nr}},$

(1)

$\Delta p={{p}_{r}}-{{p}_{nr}}=\frac{{{\rho }_{nr}}v_{nr}^{2}}{2}-\frac{{{\rho }_{r}}v_{r}^{2}}{2}+\xi \frac{{{\rho }_{r}}v_{r}^{2}}{2}.$

(2)

其中： ρ_r和ρ_nr分别为蒸汽在液滴表面处和距离液滴中心n倍半径处的密度，单位为kg/m³； v_r和v_nr分别为蒸汽在液滴表面处和距离液滴中心n倍半径处的运动速度，单位为m/s； A_r和A_nr分别为在液滴表面处和距离液滴中心n倍半径处表面的面积，单位为m²； p_r和p_nr分别为蒸汽在液滴表面处和距离液滴中心n倍半径处的压力，单位为MPa； ξ为压力损失系数，根据水力摩阻手册查得。
从式(1)和(2)可以看出，若已知两处的压力便可以求得蒸发的蒸汽的运动速度，进而可以求出Reynolds数Re、 Sherwood数Sh和Nusselt数Nu。
根据节1.2的假设4，可以设压力随着半径的变化关系式为

${{p}_{L}}={{p}_{r}}{{e}^{-\varepsilon \frac{L-r}{r}}}.$

(3)

可得p(5r)=0.018 3p_r，p(10r)=0.000 123p_r。因此可以假定液滴蒸发或者压力变化的影响范围为距离液滴中心r~5r，此时不会造成太大的误差。
在压力的变化过程中，以压力波的传播速度进行传播，其作用距离可以采用上面的nr作为压力波的传播距离。压力波的传播速度公式^[14]为

$c=\sqrt{R{{T}_{r}}.}$

(4)

其中： c为压力波在蒸汽中传播速度，单位为m/s； κ为蒸汽比热容比； R为气体常数，单位为J/(kg·K)； T_r为液滴表面处蒸汽的热力学温度即液滴温度，单位为K。其中的物性参数根据水和水蒸气性质手册查得。
则环境压力变化时，液滴表面压力变化时间为

$~{{t}_{p}}=\left( n-1 \right)r/c=\left( c-1 \right)r/\sqrt{R{{T}_{r}}.}$

(5)

根据机理的解释和相变过程的描述可知，在时间小于等于t_p时，采用水动力学模型进行压力变化后的液滴快速蒸发过程计算； 在时间大于t_p时，采用动力学模型进行液滴热平衡蒸发过程计算。
2) 传质方程。
根据基本的传质理论^[15]有：

$~\dot{m}=4\pi {{r}^{2}}{{D}_{v}}\frac{d\rho }{dr}.$

(6)

其中：${\dot{m}}$为液滴的质量变化速率，单位为kg/s； D_v为蒸汽在蒸汽中的自扩散系数，单位为m²/s，采用Fuller等^[16]提出的中低压气体扩散系数经验关系式计算，表达式为

${{D}_{v}}\frac{1.51632\times {{10}^{-10}}T_{r}^{1.75}}{{{p}_{r}}},{{p}_{r}}\le 8MPa$

由式(6)可得：

$\frac{d\rho }{dr}=\frac{{\dot{m}}}{4\pi {{r}^{2}}{{D}_{v}}}.$

(7)

式(7)沿半径方向在[r,nr]上进行积分整理可得：

$\begin{align} & {{\rho }_{r}}-{{\rho }_{nr}}= \\ & \frac{d\rho }{dr}=-\frac{{\dot{m}}}{4\pi {{D}_{v}}}\int_{r}^{nr}{{}}\frac{dr}{{{r}^{2}}}=-\frac{n-1}{n}\frac{{\dot{m}}}{4\pi r{{D}_{v}}}. \\ \end{align}$

(8)

另外有：

$\dot{m}=4\pi {{\rho }_{d}}{{r}^{2}}\frac{dr}{dt}.$

(9)

其中： ρ_d为液滴的密度，单位为kg/m³； t为蒸发过程进行的时间，单位为s。
结合式(8)、 (9)可得：

$\frac{dr}{dt}=-\frac{n-1}{n}\frac{{{D}_{v}}}{{{\rho }_{d}}r}\left( {{\rho }_{r}}-{{\rho }_{nr}} \right).$

(10)

对式(10)在时间上进行积分可得：

$r_{0}^{2}-{{r}^{2}}=\frac{n-1}{n}\frac{2{{D}_{v}}}{{{\rho }_{d}}r}\left( {{\rho }_{r}}-{{\rho }_{nr}} \right).$

(11)

当n→∞时，式 (11) 变为

$r_{0}^{2}-{{r}^{2}}=\frac{n-1}{n}\frac{2{{D}_{v}}}{{{\rho }_{d}}}\left( {{\rho }_{r}}-{{\rho }_{nr}} \right)t.$

(12)

式(12)与扩散理论得到的结果一致，说明了所推导的数学模型的通用性。
有对流时式(10)变为

$\begin{align} & \frac{dr}{dt}=-\frac{n-1}{n}\frac{Sh{{D}_{v}}}{2{{\rho }_{d}}r}\left( {{\rho }_{r}}-{{\rho }_{nr}} \right), \\ & Sh=2.0+0.6{{\operatorname{Re}}^{0.5}}S{{c}^{1/3}}, \\ & \operatorname{Re}=\frac{2{{\rho }_{r}}vr}{u}. \\ \end{align}$

(13)

其中： μ为蒸汽的动力粘度，单位为kg/(m·s)； Sc为Schmidt数。
1.3.1.2 动力学传质模型热平衡蒸发阶段，主要作用机理为恢复汽液相平衡，为此需应用经典的动力学模型即蒸发冷凝模型进行计算，在此采用公认的体现界面传质特性的Hertz-Knudsen公式^[17]来进行汽液界面非汽液相平衡传质过程计算，其表达式为

$G=\frac{2\alpha }{2-\alpha }\sqrt{\frac{M}{2\pi R}}\frac{{{p}_{1}}}{\sqrt{{{T}_{1}}}}-\frac{{{p}_{g}}}{\sqrt{{{T}_{g}}}}.$

(14)

其中： G为质量流密度，单位为kg/(m²·s)； α为汽液界面蒸发/冷凝系数； M为摩尔质量，单位为kg/mol； T_l和T_g分别为液相温度和汽相温度，单位为K； p_g和p_l分别为蒸汽压力和液相温度T_l所对应的液相饱和压力，单位为MPa。
式(14)经过化简可得:

$\frac{dr}{dt}=-\frac{1}{{{\rho }_{d}}}\frac{2\alpha }{2-\alpha }\sqrt{\frac{M}{2\pi R}}\frac{{{p}_{1}}}{\sqrt{{{T}_{1}}}}-\frac{{{p}_{g}}}{\sqrt{{{T}_{g}}}}.$

(15)

其中α的取值在不同的研究文献中差异较大。Marek^[18]汇总分析了水的蒸发冷凝系数，总体上公认α随着压力的增加而下降，在不同的压力下，α可能跨越3~4个数量级。为了得到蒸发冷凝系数随着压力的变化关系式，参考文^[18]进行曲线拟合，分成3段进行拟合，得到在压力低于7 MPa时蒸发冷凝系数随着压力p_r变化的表达式为

$\begin{align} & 0.829-2.324\times {{10}^{3}}{{p}_{r}}+4.789\times {{10}^{6}}{{p}^{2}}_{r}-4.665\times {{10}^{9}}{{p}^{3}}_{r}+1.661\times {{10}^{12}}{{p}^{4}}_{r},{{p}_{r}}\le 0.001~MPa; \\ & 1.183exp\left( -{{p}_{r}}/0.001\text{ }13 \right)+1.183exp\left( -{{p}_{r}}/0.001\text{ }38 \right)+0.1280.001<{{p}_{r}}\le 0.005~MPa; \\ & \alpha 0.56exp\left( -{{p}_{r}}/0.018 \right)+0.056exp\left( -{{p}_{r}}/0.021 \right)+0.049,0.005<{{p}_{r}}\le 0.1~MPa; \\ & \frac{0.05{{v}_{v}}\left( {{p}_{r}} \right)}{{{v}_{v}}\left( 0.1~MPa \right)},0.1<{{p}_{r}}\le 7~MPa. \\ \end{align}$

(16)

其中当p_r高于0.1 MPa时，采用Komnos提出的冷凝系数随着蒸汽比容的变化关系式^[18]。
式(16)的拟合曲线如图 1所示。

图 1 不同压力下蒸发冷凝系数的拟合曲线

图选项

根据式(16)可以计算不同压力下的蒸发冷凝系数。
1.3.2 传热方程对液滴运用能量守恒方程^[13]可得：

$m{{c}_{p}}\frac{dT}{dt}=4\pi {{r}^{2}}h\left( {{T}_{nr}}-{{T}_{r}} \right)+\gamma \dot{m}.$

(17)

其中： c_p为液滴定压比热容，单位为J/(kg·K)； T_nr为距离液滴中心n倍半径处蒸汽的热力学温度，单位为K； h为对流换热系数，单位为W/(m²·K)； γ为水汽化潜热，单位为J/kg。
将m的表达式代入式(17)并化简得：

$\frac{1}{3}{{\rho }_{d}}r{{c}_{p}}\frac{dT}{dt}=h\left( {{T}_{nr}}-{{T}_{r}} \right)+\gamma {{\rho }_{d}}\frac{dr}{dt}.$

因此液滴的温度变化关系式为

$\begin{align} & \frac{dT}{dt}= \\ & \frac{3}{{{\rho }_{d}}{{c}_{p}}{{r}^{2}}}\left[ hr\left( {{T}_{nr}}-{{T}_{r}} \right)-\frac{n-1}{n}\gamma Sh{{D}_{v}}\left( {{\rho }_{r}}-{{\rho }_{nr}} \right) \right]. \\ \end{align}$

(18)

其中Nusselt数的表达式为

$\begin{align} & Nu=2.0+0.6R{{e}^{0.5}}P{{r}^{1/3}}, \\ & 0\le Re\le 7\times {{10}^{4}},0.6\le Pr\le 400.~ \\ \end{align}$

其中: λ为蒸汽的导热系数，单位为W/(m·K)； Pr为Prandtl数。
1.3.3 液滴半径变化方程液滴半径总变化率为

$~{{{\dot{r}}}_{Total}}=\dot{r}+{{{\dot{r}}}_{property}}.$

(19)

其中： ${\dot{r}}$和${\dot{r}}$_property分别为由于蒸发造成的液滴半径变化率和物性参数改变造成的液滴半径变化率^[19]，单位为m/s，物性参数根据水和水蒸气性质手册查得。
1.4 数学模型求解方法根据式(1)、(2)、(4)、(5)、(13)、(15)、(18)和(19)，再结合气体状态方程，在初始条件和边界条件已知的情况下，便可以进行相应的求解。对数学模型进行整理，可以得到基本的方程组。
当t≤t_p时，为液滴快速蒸发阶段，方程组为

$\begin{align} & \frac{dr}{dt}=-\frac{n-1}{n}\frac{Sh{{D}_{v}}}{2{{\rho }_{d}}r}\left( {{\rho }_{r}}-{{\rho }_{nr}} \right), \\ & \frac{dT}{dt}=\frac{3}{{{\rho }_{d}}{{c}_{p}}{{r}^{2}}}\left[ hr\left( {{T}_{nr}}-{{T}_{r}} \right)- \right. \\ & \left. \frac{n-1}{n}\gamma Sh{{D}_{v}}\left( {{\rho }_{r}}-{{\rho }_{nr}} \right) \right]. \\ \end{align}$

(20)

当t>t_p时，为液滴热平衡蒸发阶段，方程组为

$\begin{align} & \frac{dr}{dt}=-\frac{1}{{{\rho }_{d}}}\frac{2\alpha }{2\pi R}\sqrt{\frac{M}{2\pi R}}\frac{{{P}_{1}}}{{{T}_{1}}}-\frac{{{p}_{g}}}{\sqrt{{{T}_{g}}}}, \\ & \frac{dT}{dt}=\frac{3}{{{\rho }_{d}}{{c}_{p}}r}\left[ \left[ hr\left( {{T}_{nr}}-{{T}_{r}} \right)+\gamma {{\rho }_{d}}\frac{dr}{dt} \right. \right]. \\ \end{align}$

(21)

下面以式(20)为例进行离散方法说明。
由于式(20)符合微分方程y′=f(x,y)的基本形式，因此可以采用经典的4阶Runge-Kutta法来进行求解。假设r和T在t_i+1和t_i时刻的值分别为r_i+1、 T_i+1和r_i、 T_i，时间步长取为τ，经典Runge-Kutta格式具有4阶精度，其相应的表达式为

$\eqalign{ & \left\{ \matrix{ {{\dot r}_1} = - {{n - 1} \over n}{{Sh\left( {{r_i}} \right){D_v}} \over {2{\rho _d}{r_i}}}\left[ {{\rho _r} - {\rho _{nr}}} \right], \hfill \cr {{\dot T}_1} = {3 \over {{\rho _d}{c_p}r_i^2}}\left[ {h\left( {{r_i}} \right){r_i}\left[ {{T_{nr}} - {T_i}} \right] - } \right. \hfill \cr \left. {{{n - 1} \over n}\gamma Sh\left( {{r_i}} \right){D_v}\left[ {{\rho _r} - {\rho _{nr}}} \right]} \right]. \hfill \cr} \right. \cr & \left\{ \matrix{ {{\dot r}_2} = - {{n - 1} \over n}{{Sh\left( {{r_i} + {\tau \over 2}{{\dot r}_2}} \right){D_v}} \over {2{\rho _d}\left[ {{r_i} + {\tau \over 2}{{\dot r}_2}} \right]}}\left[ {{\rho _r} - {\rho _{nr}}} \right], \hfill \cr {{\dot T}_2} = {3 \over {{\rho _d}{c_p}\left[ {{r_i} + {\tau \over 2}{{\dot r}_2}} \right]}}\left[ {h\left( {{r_i} + {\tau \over 2}{{\dot r}_2}} \right)\left[ {{r_i} + {\tau \over 2}{{\dot r}_2}} \right]} \right. \hfill \cr \left[ {{T_{nr}} - {T_i} - {\tau \over 2}{{\dot T}_1}} \right] - \left. {{{n - 1} \over n}\gamma Sh\left( {{r_i} + {\tau \over 2}{{\dot r}_2}_i} \right){D_v}\left[ {{\rho _r} - {\rho _{nr}}} \right]} \right]. \hfill \cr} \right. \cr & \left\{ \matrix{ {{\dot r}_3} = - {{n - 1} \over n}{{Sh\left( {{r_i} + {\tau \over 2}{{\dot r}_2}} \right){D_v}} \over {2{\rho _d}\left[ {{r_i} + {\tau \over 2}{{\dot r}_2}} \right]}}\left[ {{\rho _r} - {\rho _{nr}}} \right], \hfill \cr {{\dot T}_3} = {3 \over {{\rho _d}{c_p}\left[ {{r_i} + {\tau \over 2}{{\dot r}_2}} \right]}}\left[ {h\left( {{r_i} + {\tau \over 2}{{\dot r}_2}} \right)\left[ {{r_i} + {\tau \over 2}{{\dot r}_2}} \right]} \right. \hfill \cr \left[ {{T_{nr}} - {T_i} - {\tau \over 2}{{\dot r}_3}} \right] - \left. {{{n - 1} \over n}\gamma Sh\left( {{r_i} + {\tau \over 2}{{\dot r}_2}_i} \right){D_v}\left[ {{\rho _r} - {\rho _{nr}}} \right]} \right]. \hfill \cr} \right. \cr & \left\{ \matrix{ {{\dot r}_4} = - {{n - 1} \over n}{{Sh\left( {{r_i} + \tau {{\dot r}_3}} \right){D_v}} \over {2{\rho _d}\left[ {{r_i} + \tau {{\dot r}_3}} \right]}}\left[ {{\rho _r} - {\rho _{nr}}} \right], \hfill \cr {{\dot T}_4} = {3 \over {{\rho _d}{c_p}\left[ {{r_i} + \tau {{\dot r}_3}} \right]}}\left[ {h\left( {{r_i} + \tau {{\dot r}_3}} \right)\left[ {{r_i} + \tau {{\dot r}_3}} \right]} \right. \hfill \cr \left[ {{T_{nr}} - {T_i} - {r_i} + \tau {{\dot T}_3}} \right] - \left. {{{n - 1} \over n}\gamma Sh\left( {{r_i} + \tau {{\dot r}_3}} \right){D_v}\left[ {{\rho _r} - {\rho _{nr}}} \right]} \right] \hfill \cr} \right. \cr} $

t_i+1时刻r_i+1、 T_i+1的表达式为

$\left\{ \begin{align} & {{r}_{i+1}}={{r}_{i}}+\frac{\tau }{6}\left( {{{\dot{r}}}_{1}}+2{{{\dot{r}}}_{2}}+2{{{\dot{r}}}_{3}}+{{{\dot{r}}}_{4}} \right), \\ & {{T}_{i+1}}=T+\frac{\tau }{6}\left( {{{\dot{T}}}_{1}}+2{{{\dot{T}}}_{2}}+2{{{\dot{T}}}_{3}}+{{{\dot{T}}}_{4}} \right). \\ \end{align} \right.$

(22)

根据式(22)便可对本文所建立的液滴传热传质过程的数学方程进行求解。
2 计算结果及验证由于建立的模型是考虑压力变化条件下的静止单液滴相变模型，为了更好地进行模型的验证，采用闪蒸过程结冰前的一段温度变化来进行模型的验证。选取的工况为文^[20]的液滴真空闪蒸实验工况，具体参数为液滴初始半径900 μm，初始温度293.15 K，环境压力为40 Pa。
为保证精度的前提下提高运算速度，水动力学和动力学模型采用不同的时间步长，水力学模型采用的步长为τ₁，动力学模型的时间步长为τ₂。为进行时间步长的网格无关性验证，采用3种不同的时间步长： 1) τ₁=10^-7 s，τ₂=10^-5 s； 2) τ₁=10^-8 s，τ₂=10^-6 s； 3) τ₁=5×10^-7 s，τ₂=5×10^-5 s。得到的计算结果如图 2所示。

图 2 不同疏密网格的液滴温度随时间的变化曲线

图选项

从图 2可以看到，采用不同的时间步长得到的计算结果差别很小，液滴的温度变化基本一致，相对误差在1%以内，验证了模型的网格无关性条件。因此，为了在保证精度的前提下同时提高运算速度，水力学模型采用的时间步长为τ₁=10^-7 s，动力学模型的时间步长为τ₂=10^-5 s，迭代的截止误差为10^-7。为验证本文模型的正确性，将计算得到的结果与实验结果进行对比得到的温度变化曲线如图 3所示。

图 3 液滴温度随时间变化曲线及与实验结果对比

图选项

蒸实验的实验结果符合良好，相对误差在±5%以内，说明建立的数学模型准确。添加水力学模型即考虑压力波传播对液滴蒸发的影响，比不考虑水力学模型的温度值要低将近1 ℃，与实验结果更接近，计算结果更加准确，进一步说明建立的模型的优越性。图 3中，计算的温度变化曲线在一开始比实验结果要快的原因是： 实验过程中采用热电偶丝进行温度测量，有一定的响应时间。
3 结 论对压力变化条件下静止液滴相变过程进行了物理现象描述、机理解释以及水动力学—动力学数学建模分析。分析发现，可以将压力变化条件下的相变过程分为快速蒸发阶段和热平衡蒸发2个阶段。在快速蒸发阶段，压力变化以压力波的速度快速传播，液滴表面和环境之间的压差促使液滴快速蒸发； 在热平衡阶段，恢复汽液相平衡的作用势使得液滴较为平稳地蒸发直到达到新的相平衡。建立的水动力学模型与液滴真空闪蒸实验的实验结果进行对比验证了其正确性，可以较好地解释压力变化条件下静止液滴相变现象，该模型可以为进一步研究汽水分离装置中的液滴运动相变过程提供理论依据。

参考文献

[1]	Journal of Central South University(Science and Technology), 41(2):649-654.-->李嘉, 黄素逸, 王晓墨. 波形板汽-水分离器分离效率的实验研究[J]. 核动力工程, 2007, 28(3) : 94–97.LI Jia, HUANG Suyi, WANG Xiaomo. Experimental research of separation efficiency on steam-water separator with corrugated plates[J]. Nuclear Power Engineering, 2007, 28(3) : 94–97.(in Chinese)
[2]	Journal of Central South University(Science and Technology), 41(2):649-654.-->Kataoka H, Shinkai Y, Hosokawa S, et al. Swirling annular flow in a steam separator[J]. Journal of Engineering for Gas Turbines and Power, 2009, 131(3) : 32904.DOI:10.1115/1.3078701
[3]	Journal of Central South University(Science and Technology), 41(2):649-654.-->Nakao T, Nagase M, Aoyama G, et al. Development of simplified wave-type vane in BWR steam dryer and assessment of vane droplet removal characteristics[J]. Journal of Nuclear Science and Technology, 1999, 36(5) : 424–432.DOI:10.1080/18811248.1999.9726225
[4]	Journal of Central South University(Science and Technology), 41(2):649-654.-->Li J, Huang S, Wang X. Numerical study of steam-water separators with wave-type vanes[J]. Chinese Journal of Chemical Engineering, 2007, 15(4) : 492–498.DOI:10.1016/S1004-9541(07)60114-1
[5]	Journal of Central South University(Science and Technology), 41(2):649-654.-->Eck M, Schmidt H, Eickhoff M, et al. Field test of water-steam separators for direct steam generation in parabolic troughs[J]. Journal of Solar Energy Engineering, 2008, 130(1) : 0110021–0110026.
[6]	Journal of Central South University(Science and Technology), 41(2):649-654.-->Erbil H Y. Evaporation of pure liquid sessile and spherical suspended drops:A review[J]. Advances in Colloid and Interface Science, 2012, 170(1) : 67–86.
[7]	Journal of Central South University(Science and Technology), 41(2):649-654.-->马超. 自由液面单气泡破裂产生膜液滴现象实验与理论研究[D]. 北京:清华大学, 2014. MA Chao. The Experimental and Theoretical Research about the Phenomenon of the Film Drops Produced by Bubble Bursting at a Free Water Surface[D]. Beijing:Tsinghua University, 2014. (in Chinese)
[8]	Journal of Central South University(Science and Technology), 41(2):649-654.-->张谨奕. 三维流场中单液滴运动模型和应用研究[D]. 北京:清华大学, 2012. ZHANG Jinyi. Study of Single Droplet Motion Model and Application in Three-Dimensional Flow Field[D]. Beijing:Tsinghua University, 2012. (in Chinese)
[9]	Journal of Central South University(Science and Technology), 41(2):649-654.-->张璜. 多液滴运动和碰撞模型研究[D]. 北京:清华大学, 2015. ZHANG Huang. Motion and Collision Models of Polydispersed Droplets[D]. Beijing:Tsinghua University, 2015. (in Chinese)
[10]	Journal of Central South University(Science and Technology), 41(2):649-654.-->崔成松, 蒋祖龄, 沈军, 等. 雾化过程气体与金属雾滴的三维流动模型[J]. 金属学报, 1994, 30(19) : 294–300.CUI Chengsong, JIANG Zuling, SHEN Jun, et al. Modelling of three-dimensional flow of atomizing gas and droplets in atomization process[J]. Acta Metallurgica Sinica, 1994, 30(19) : 294–300.(in Chinese)
[11]	Journal of Central South University(Science and Technology), 41(2):649-654.-->Lewis E R. The effect of surface tension (Kelvin effect) on the equilibrium radius of a hygroscopic aqueous aerosol particle[J]. Journal of Aerosol Science, 2006, 37(11) : 1605–1617.DOI:10.1016/j.jaerosci.2006.04.001
[12]	Journal of Central South University(Science and Technology), 41(2):649-654.-->徐旭常, 毛健雄, 曹瑞良, 等. 燃烧理论与燃烧设备[M].北京: 机械工业出版社, 1990: 142-150.XU Xuchang, MAO Jianxiong, CAO Ruiliang, et al. Combustion Theory and Combustion Equipment[M].Beijing: Machinery Industry Press, 1990: 142-150.(in Chinese)
[13]	Journal of Central South University(Science and Technology), 41(2):649-654.-->Liu L, Bi Q, Liu W, et al. Experimental and theoretical investigation on rapid evaporation of ethanol droplets and kerosene droplets during depressurization[J]. Microgravity Science and Technology, 2011, 23(1) : 89–97.DOI:10.1007/s12217-010-9239-0
[14]	Journal of Central South University(Science and Technology), 41(2):649-654.-->张兆顺, 崔桂香. 流体力学[M].北京: 清华大学出版社, 2006: 229-240.ZHANG Zhaoshun, CUI Guixiang. Fluid dynamics[M].Beijing: Tsinghua University press, 2006: 229-240.(in Chinese)
[15]	Journal of Central South University(Science and Technology), 41(2):649-654.--> Zhang T. Study on Surface Tension and Evaporation Rate of Human Saliva, Saline, and Water Droplets[D]. Charlottesville:West Virginia University, 2011.
[16]	Journal of Central South University(Science and Technology), 41(2):649-654.-->波林, 普劳斯尼茨, 奥康奈尔, 等. 气液物性估算手册[M].北京: 化学工业出版社, 2006: 448-472.Poling B E, Prausnitz J M, O'connell J P, et al. The Properties of Gases and Liquids[M].Beijing: Chemical Industry Press, 2006: 448-472.(in Chinese)
[17]	Journal of Central South University(Science and Technology), 41(2):649-654.-->Kryukov A P, Levashov V Y, Sazhin S S. Evaporation of diesel fuel droplets:kinetic versus hydrodynamic models[J]. International Journal of Heat and Mass Transfer, 2004, 47(12) : 2541–2549.
[18]	Journal of Central South University(Science and Technology), 41(2):649-654.-->Marek R, Straub J. Analysis of the evaporation coefficient and the condensation coefficient of water[J]. International Journal of Heat and Mass Transfer, 2001, 44(1) : 39–53.DOI:10.1016/S0017-9310(00)00086-7
[19]	Journal of Central South University(Science and Technology), 41(2):649-654.-->Kristyadi T, Deprédurand V, Castanet G, et al. Monodisperse monocomponent fuel droplet heating and evaporation[J]. Fuel, 2010, 89(12) : 3995–4001.DOI:10.1016/j.fuel.2010.06.017
[20]	Journal of Central South University(Science and Technology), 41(2):649-654.-->赵凯璇, 赵建福, 陈淑玲, 等. 液滴真空闪蒸/冻结过程的热动力学研究[J]. 空间科学学报, 2011, 31(1) : 57–62.ZHAO Kaixuan, ZHAO Jianfu, CHEN Shuling, et al. Thermodynamics of flashing/freezing process of a droplet in vacuum[J]. Chinese Journal of Space Science, 2011, 31(1) : 57–62.(in Chinese)