李振强 ¹ , 黄振 ² , 陈曦 ² , 葛宁 ¹
1.清华大学 电子工程系, 北京 100084;
2.清华大学 宇航技术研究中心, 北京 100084

收稿日期: 2015-06-01
基金项目: 国家“九七三”重点基础研究发展计划(2014CB340209)
作者简介: 李振强(1979-）, 男, 博士研究生。
通讯作者: 黄振, 副研究员, Email: huangzhen@tsinghua.edu.cn

摘要：基于微纳卫星编队的到达时差(TDOA)/到达频差(FDOA)无源定位系统中, 定位精度的提高需大幅度增加链路传输数据量, 在星间链路带宽受限情况下将严重制约系统的工作效率。该文提出了一种欠采样传输时频差估计方法, 在不增加传输数据量条件下, 保持TDOA估计精度不变, 且FDOA估计精度随欠采样所形成的时间扩展显著提升。分析了欠采样传输的时差估计精度, 以及最大欠采倍数约束条件。仿真表明: 对于宽带信号, 该方法在传输数据量相同条件下, 定位性能相对于压缩感知(CS)方法可提升6倍以上。
关键词： 无源定位 到达时差 到达频差 欠采样 压缩感知
Passive location method based on sub-sampling transmissions in micro/nano-satellite
LI Zhenqiang¹, HUANG Zhen², CHEN Xi², GE Ning¹
1.Department of Electronic Engineering, Tsinghua University, Beijing 100084, China;
2.Space Center, Tsinghua University, Beijing 100084, China


Abstract:In time difference of arrival (TDOA)/frequency difference of arrival (FDOA) passive location systems used in micro/ nano-satellite formations, improving the location accuracy usually requires a large increase in data transmissions, which severely reduces the system efficiency due to the narrow data link bandwidth of the satellites. A TDOA/FDOA estimation method is developed based on sub-sampling transmissions without increasing the data transmissions, which significantly improves the FDOA accuracy by a time expansion while maintaining the TDOA estimation accuracy. The TDOA accuracy is analyzed and the maximum sub-sampling rate is derived. Simulations show that for wideband signals, the location accuracy of this method is improved more than 6 fold over that of the compressed sensing method for the same data transmission.
Key words: passive locationtime difference of arrival (TDOA)frequency difference of arrival (FDOA)sub-samplingcompress sensing (CS)
随着航天技术的快速发展,具有体积功耗小、成本低、发射周期短等优点的微纳卫星得到越来越多的关注和应用。利用若干颗微纳卫星编队组成一个大的“虚拟卫星”,通过星间协同信号处理,可以完成对地观测、通信导航、目标侦察等任务。对辐射源的无源定位是非常重要的应用之一。无源定位技术通过被动接收辐射源信号,估计辐射源信号到达不同卫星的到达时差(time difference of arrival,TDOA)/到达频差(frequency difference of arrival,FDOA)进行辐射源定位,是一种实时性好、定位精度高的定位方法,也是最为常用的定位方法之一。对于这一定位方法,保证定位精度的关键是获取高精度的TDOA和FDOA参数,对于高速运动的微纳卫星编队,FDOA精度对于定位精度更为重要。为得到高精度的参数估计值,一般采用增加采样时间的方法,而TDOA和FDOA参数的估计需要将辅星采集的数据通过星间的数传链路进行传输,对于宽带信号而言,增加采样时间则意味着数据量的急剧增加,而微纳卫星由于体积、功耗等受限,星间数传链路十分有限,急剧增加的数据将给传输和计算造成巨大的压力,影响系统的处理效率,甚至无法完成参数估计和定位。
针对参数估计精度与数据传输的矛盾,文基于Fisher信息的最大化原则进行数据压缩,降低了传输数据量,文^[2]基于压缩感知(compress sensing,CS)理论对具有稀疏特性的信号进行压缩采样,同样降低了传输数据量,但文^[1-2]在参数估计时都需要复杂的解压缩算法,实现难度大,为了获得高精度参数估计,解压后的计算量大。文^[3]在链路速率一定条件下,对两个观测站信号同时抽取,该方法降低了数据传输量和计算量,但改变了信号属性,减小了信号的均方根带宽,增加TDOA估计误差。文^[4-5]将采样数据从一个站传输到另一个站之后完成混合积的计算,利用积分抽取滤波器对混合积进行抽取,降低混合积的采样率,从而降低了估计频差的计算量;该方法虽然降低了计算量,但没有从数据传输角度解决大数据量传输的问题。针对无源定位系统联合参数估计与定位,目前研究者们仍未有效地解决定位精度受链路传输数据量瓶颈限制的问题。
本文为解决以上瓶颈问题,提出欠采样传输的时频差估计和无源定位方法,即在不同的卫星平台采用不同的采样率进行数据采样,在辅星对数据欠采样,而在主星对数据进行Nyquist采样,将欠采样数据通过数传链路传输到主星后完成TDOA和FDOA的参数估计和辐射源定位。本文方法在相同的传输数据量下,通过辅星的欠采样扩展了信号的采样时间,并通过主星的Nyquist采样保证了TDOA的估计分辨率,从而在保证TDOA估计精度的同时,显著提高了FDOA估计精度,从而提高系统的定位精度。
1 参数估计模型假设辐射源的信号为连续通信信号,

$s\left( t \right)=u\left( t \right){{e}^{j2\pi {{f}_{c}}t}}.$

(1)

其中：u(t)为基带连续信号,f_c为信号载波频率。不失一般性,以2颗微纳卫星编队为例,接收信号分别为：

$\begin{align}& {{x}_{t}}\left( t \right)=s\left( t \right)+{{n}_{1}}\left( t \right), \\ & {{x}_{2}}\left( t \right)=s\left( t-\tau \left( t \right) \right){{e}^{j2\pi f{{\tau }_{c}}t}}+{{n}_{2}}\left( t \right). \\ \end{align}$

(2)

其中：τ(t)为辐射源信号到达不同卫星的时变延迟;n₁(t)和n₂(t)为宽平稳Gauss白噪声,二者相互独立。假设在观测时间内,τ(t)为线性变化,

$\tau \left( t \right)={{\tau }_{0}}+\alpha t.$

(3)

其中：τ₀为t=0时刻时差值;α为时间扩展因子,取决于运动速度v₁、 v₂及光速c^[6]。根据时间扩展因子与信号载频可以得到两路信号的到达频差为

${{f}_{d}}=\alpha \bullet {{f}_{c}}.$

(4)

对时差和频差的估计通常使用复模糊函数(complex ambiguity function,CAF)^[4]算法,其离散定义式为

$CAF\left( m,k \right)=\sum\limits_{n=1}^{N}{\left( n,m \right)\bullet {{e}^{-j\frac{2\pi }{N}nk}}}.$

(5)

其中:
r(n,m)=x₁(nT_s)x^*₂ (nT_s+mT_s)为两路信号的时域混合积;N为正整数,表示参与CAF计算的数据量;T_s为采样间隔;m和k为自然数,分别为TDOA与FDOA的离散表示。
CAF为时差和频差的2维函数。假设信号带宽为B_s,信号采样时间为T,则CAF峰在TDOA方向上的峰宽取决于信号带宽的倒数,在FDOA方向上的峰宽取决于采样时间的倒数,TDOA和FDOA的估计精度公式^[4]分别表示为：

${{\sigma }_{TDOA}}=\frac{1}{\beta \sqrt{{{B}_{n}}T\gamma }},$

(6)

${{\sigma }_{FDOA}}=\frac{0.55}{T\sqrt{{{B}_{n}}T\gamma }}.$

(7)

式中：β为信号均方根带宽,B_n为噪声带宽,γ为等效输入信噪比。数字采样后,噪声带宽实际为信号的采样率F_s,则式(6)和(7)中B_nT=F_sT=N。因此,对于同一信号,TDOA与FDOA的估计精度主要取决于采样时间T和CAF计算量N。
2 欠采样传输的时频差估计方法2.1 欠采样传输方法描述TDOA参数是辐射源信号到达不同卫星平台的时间差,FDOA参数是由卫星运动而产生的Doppler频率差,因此在参数估计过程中,关注的并非是信号所携带的具体内容信息,而是其携带的位置及运动信息。因此,本文提出了基于欠采样传输的时频差估计及无源定位方法,其流程如图 1所示。

图 1 欠采样传输方法处理流程

图选项

如图 1,辅星将x₁(nT_s)进行D倍抽取后,得到欠采样信号x₁(nDT_s),通过星间数传链路传输到主星。主星数据采样率F_s保持不变,此时CAF计算的累加间隔为D倍抽取后的间隔DT_s,而移位间隔仍为原采样间隔T_s,因此欠采样后CAF离散表达为

$CA{{F}_{1}}\left( m,k \right)=\sum\limits_{n=1}^{N}{\left( nD,m \right)\bullet {{e}^{-j\frac{2\pi }{N}nDk}}}.$

(8)

其中,r(nD,m)=x₁(nDT_s)x^*₂ nDT_s+mT_s称为抽取后的时域混合积。
CAF峰在TDOA方向具有sinc函数的对称特性,可以采用多项式插值^[4]的方法得到逼近于理论精度的估计值。由于在TDOA方向CAF峰宽为信号带宽的倒数,因此为了保证插值的有效性和最小化系统计算量,主星采样率选取2倍信号带宽,即F_s=2B_s。
假设频差完全正确补偿,则欠采样之后,CAF值在TDOA方向实际为两路信号的互相关函数,

$CA{{F}_{1}}\left( m,0 \right)=\sum\limits_{n=1}^{N}{\left( nD,m \right)}.$

(9)

式(9)表明辅星对信号的欠采样只影响混合积的累加间隔,而时差m的采样率仍与主星采样率相同,因此在TDOA方向CAF峰的分辨率并不受辅星欠采样率的影响。
时域混合积实际上是一个频率为FDOA、带宽为采样时间倒数的窄带信号^[5]。假设TDOA正确补偿,则式(8)为

$CA{{F}_{1}}\left( 0,k \right)=\sum\limits_{n=1}^{N}{\left( nD,m \right)\bullet {{e}^{-j\frac{2\pi }{N}nDk}}}=FFT\left[ r\left( nD,0 \right) \right[.$

(10)

由式(10)可知,采用欠采样方法后,FDOA参数的估计,实际是对抽取后混合积信号的频率估计。
2.2 TDOA/FDOA估计精度分析对于TDOA的估计,为了保证TDOA方向CAF峰的分辨率,通常CAF方法的主辅星信号都采用满足Nyquist定理的采样率。不考虑频差情况下,式(5)可化简为

$CA{{F}_{1}}\left( m,0 \right)=\sum\limits_{n=1}^{N}{\left( n,m \right).}$

(11)

将式(11)右侧展开可以得到

$\begin{align} & r\left( n,m \right)={{x}_{1}}\left( n{{T}_{s}} \right)\bullet x_{2}^{*}\left( n{{T}_{s}}+m{{T}_{s}} \right)=s\left( n{{T}_{s}} \right)\bullet {{s}^{*}}\left( n{{T}_{s}}+m{{T}_{s}} \right)+ \\ & s\left( n{{T}_{s}} \right)\bullet n_{2}^{*}\left( n{{T}_{s}} \right)+{{s}^{*}}\left( n{{T}_{s}}+m{{T}_{s}} \right)\bullet {{n}_{1}}\left( n{{T}_{s}} \right)+{{n}_{1}}\left( n{{T}_{s}} \right)\bullet {{n}_{2}}\left( n{{T}_{s}} \right). \\ \end{align}$

(12)

式中：右侧第1项为两路信号相关值;而后3项包括信号与噪声、噪声与噪声的乘积,均可看作为噪声项。为考察噪声项对CAF峰值估计的影响,对式(11)进行统计特性分析。n₁(t)和n₂(t)为相互独立的Gauss白噪声,因此式(11)的数学期望为

$E\left[ CAF\left( m,0 \right) \right[=E\left[ \sum\limits_{n=1}^{N}{s\left( n{{T}_{s}} \right)\bullet {{s}^{*}}\left( n{{T}_{s}}+m{{T}_{s}} \right)} \right[=NR\left( m \right).$

(13)

其中,R(m)=E[s(nT_s)·s^*(nT_s+mT_s)[为 s(nT_s)的自相关函数离散表达式。
式(11)的方差为

$\begin{align} & Var\left[ CA{{F}_{1}}\left( m,0 \right) \right[=E\left[ \sum\limits_{n=1}^{N}{r\left( n,m \right)\bullet \sum\limits_{n=1}^{N}{{{r}^{*}}\left( n,m \right)}} \right[-E{{\left[ CA{{F}_{1}}\left( m,0 \right) \right[}^{2}}\approx \\ & \sum\limits_{n=1}^{N}{\left[ \sigma _{s}^{2}\left( \sigma _{2}^{2}+\sigma _{2}^{1} \right)+\sigma _{1}^{2}\sigma _{2}^{2} \right[.} \\ \end{align}$

(14)

其中：σ²_s为信号方差; σ²₁和σ²₂分别为两路噪声的方差。由式(14)可以看出,对于固定m,CAF的方差也为固定值。
采用欠采样算法后,假设信号满足窄带信号模型。在数据量不变的条件下,不考虑频差时CAF计算的表达式为

$CA{{F}_{1}}\left( m,0 \right)=\sum\limits_{n=1}^{N}{r\left( nD,m \right).}$

(15)

同样,对式(15)进行统计特性分析,其数学期望为

$E\left[ CA{{F}_{1}}\left( m,0 \right) \right[=E\left[ \sum\limits_{n=1}^{N}{r\left( nD{{T}_{s}} \right)\bullet {{s}^{*}}\left( nD{{T}_{s}}+m{{T}_{s}} \right)} \right[=NR\left( m \right).$

(16)

方差为

$\begin{align} & Var\left[ CA{{F}_{1}}\left( m,0 \right) \right[=E\left[ \sum\limits_{n=1}^{N}{r\left( nD,m \right)\bullet \sum\limits_{n=1}^{N}{{{r}^{*}}\left( nD,m \right)}} \right[-E{{\left[ CA{{F}_{1}}\left( m,0 \right) \right[}^{2}}\approx \\ & \sum\limits_{n=1}^{N}{\left[ \sigma _{s}^{2}\left( \sigma _{2}^{2}+\sigma _{2}^{1} \right)+\sigma _{1}^{2}\sigma _{2}^{2} \right[.} \\ \end{align}$

(17)

根据式(13)—(17),由于信号s(t)为平稳随机信号,当数据量N不变时,CAF的数学期望和方差也保持不变,即在TDOA方向上,辅星欠采样算法和传统CAF方法^[4]具有相同的统计特性。当信号严格满足窄带模型时,本文方法TDOA估计精度与传统方法相当。
对FDOA的估计是对时域混合积信号的频率估计。欠采样之后,采样率依然满足混合积信号的Nyquist采样定理,FDOA的信息没有损失,因此在计算CAF的数据量不变的情况下,辅星数据抽取D倍,则采样时间扩展了D倍,根据精度公式(7)可知,FDOA估计精度提高了D倍。
2.3 抽取因子D的取值约束分析对TDOA参数的估计是基于窄带信号模型^[7]的假设。文^[8]给出了窄带信号模型需满足的条件,

$\alpha {B_s}T \ll 1.$

(18)

对于运动形式一定的微纳卫星编队平台,时间扩展因子α和接收的信号带宽B_s是固定的,当采样时间增大,逐渐不满足式(18)窄带模型的条件时,TDOA参数估计性能将逐渐退化,而当αB_sT值达到2.8^[9]以上,TDOA方向的CAF峰则会出现峰的裂变,从而无法完成TDOA参数的估计,如图 2所示。本文欠采样方法在数据量N不变的条件下,欠采样D倍之后,采样时间扩展为T₁=ND/F_s,为保证CAF峰不出现裂变,则有

$\alpha {{B}_{s}}\left( ND/{{F}_{s}} \right)<2.8\overset{{{F}_{s}}=2{{B}_{s}}}{\mathop{\Rightarrow }}\,D<5.6/\left( \alpha N \right).$

(19)

图 2 不同抽取因子D下的TDOA方向CAF峰

图选项

图 2根据第3节仿真参数设置,给出在不同抽取因子下的归一化TDOA方向CAF峰。可以看出,随着抽取因子的提高,TDOA方向CAF峰的峰值逐渐降低,峰宽展宽,估计精度将有所衰退;当D达到400时,不满足式(19),则会发生峰的分裂,从而导致错误的TDOA估计值。
假设FDOA的最大取值为F_max,为保证FDOA参数信息不损失,欠采样后的采样率F_sl需满足Nyquist采样,

${{F}_{sl}}={{F}_{s}}/D\ge 2{{F}_{\max }}.$

(20)

根据主星采样率的选取,抽取因子D需满足

$D\le {{F}_{s}}/\left( 2{{F}_{\max }} \right)={{B}_{s}}/{{F}_{\max }}.$

(21)

因此,抽取因子D的取值须同时满足式(19)和(21)约束条件。
在时频差无源定位体制中,影响辐射源定位精度的因素有2个：1) TDOA定位线与FDOA定位线的夹角θ,2) TDOA和FDOA参数测量误差带来的相交线距离误差^[10-11]。因此,时频差定位体制的均方根定位精度可表示为

${{\sigma }_{p}}=\sqrt{\frac{2}{{{\sin }^{2}}\theta }\left( \sigma _{Tn}^{2}+\sigma _{Fn}^{2} \right)}.$

(22)

其中：σ_Tn和σ_Fn分别为TDOA和FDOA估计误差所对应的定位线的误差。对于运动形式一定的定位平台,θ是固定的,从式(22)中可以看出,定位精度将主要取决于参数的估计精度。因此,抽取因子D的取值需从定位精度角度择优选取。
3 仿真及分析假设辐射源位于地球表面,信号带宽B_s为 2 MHz,载频f_c为1 GHz,信噪比为0 dB。采样率F_s为4 MHz,时间扩展因子α为2.2×10^-6,设链路传输数据量N为8 000。
图 3在传输数据量保持不变的条件下,给出了本文欠采样传输方法随着抽取因子D变化以及压缩感知传输方法随压缩比(compression ratio,CR)变化的时频差估计精度曲线。其中: 压缩感知方法采用Gauss随机矩阵作为压缩感知的测量矩阵,重构算法采用文^[2]中的正交匹配追踪(orthogonal matching pursuit,OMP)算法。

图 3 本文方法与压缩感知方法参数估计性能比较

图选项

对于本文方法,随着抽取因子D的增加,采样时间不断扩展,TDOA估计精度随着αB_sT值的增大而有所降低。如图 3a所示,当D<100时,信号仍满足窄带信号的条件,因此TDOA精度损失有限,而当D＞100,TDOA的估计精度衰退加快,当D达到200时,TDOA估计精度已显著变差。以上仿真条件中,FDOA的最大值F_max约为 2.2 kHz,当D=200时仍满足式(21)的约束,因此图 3b中FDOA的估计精度随着D的增加仍可继续提高。
对于压缩感知方法,在传输量一致的条件下,信号重构后用于CAF计算的数据量,随着压缩比CR的提高而增加,但由于压缩感知对于数据的压缩是有损压缩,压缩比CR越大,对于TDOA及FDOA参数估计损失越大。如图 3a和3b所示,当CR<8时,参数精度损失较小,TDOA和FDOA估计精度随着压缩比增加而提高,并优于本文欠采样方法,CR=8时,参数估计精度达到最高; 而当CR＞8时,虽然参与CAF计算的数据量在增加,但TDOA和FDOA的估计性能迅速恶化,CR达到30以上时,重构后的信号已不能用于参数估计。
图 4给出本文方法与压缩感知方法的定位性能曲线。在微纳卫星编队无源定位系统中,FDOA估计精度将起主要作用。根据图 3a和3b,当D<100时,本文方法虽然TDOA估计精度有所降低,但FDOA的估计精度显著提高,因此定位精度随着D的增加而大幅提高。当D=100时,定位精度达到最高。随着D进一步提高,TDOA估计精度加速恶化,虽然FDOA精度仍然有所提高,但定位精度出现逐渐变差的趋势。对于压缩感知方法,在压缩比CR<10时,相同传输量下,由于压缩感知方法的TDOA和FDOA精度优于本文方法,因此其定位精度高于本文方法,但此时其计算量则要远大于本文方法。当CR＞10时,压缩感知方法的参数估计性能迅速恶化,定位精度也迅速恶化。压缩感知的最高定位精度为1 905 m,本文方法的最高定位精度为310 m,性能比压缩感知方法提升6倍以上,且不需增加额外的运算量。

图 4 平均定位误差随D或CR变化曲线

图选项

随着采样时间的扩展,本文方法虽然在TDOA估计性能上有所损失,但FDOA估计性能显著提升,仍可在时频差定位体制中获得高的定位精度。同时,在相同的定位精度约束下,本文方法的数据传输量可比压缩感知方法更小。
4 结 论本文基于微纳卫星编队链路受限的约束,利用时域混合积的窄带特性,提出欠采样传输的时频差估计及无源定位方法,突破传统方法信号都需满足Nyquist采样的约束,将辅星信号进行欠采样传输到主星,而主星采用Nyquist采样,在不增加链路传输数据量条件下,保证了TDOA估计精度。同时,通过欠采样扩展了采样时间,显著提高FDOA的估计精度,从而大幅提升系统定位精度。从信号处理层面,本文方法化解了定位精度与星间链路传输数据量之间的矛盾,有效地解决了微纳卫星编队无源定位的技术瓶颈。

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