7. 理解幂级数的收敛域、收敛半径的概念，并掌握幂级数的收敛半径及收敛域的求法。

8. 了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质（和函数的连续性、逐项微分和逐项积分），会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些数项级数的和。

9. 了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。

10. 掌握一些常见函数如 e ^x 、 sin x 、 cos x 、 ln(1+x) 和 (1+x)^α 等的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数。

11. 会利用函数的幂级数展开式进行近似计算。

12. 了解傅里叶级数的概念和狄利克雷定理，会将定义在 [ - l ， l ] 上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在 [0 ， l ] 上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会将周期为 2l 的函数展开为 傅里叶级数。

13. 了解函数项级数的一致收敛性及一致收敛的函数项级数的性质，会判断函数项级数的一致收敛性。

（八）常微分方程

考试内容

常微分方程的基本概念 变量可分离的微分方程 齐次微分方程 一阶线性微分方程 伯努利（ Bernoulli ）方程 全微分方程 可用简单的变量代换求解的某些微分方程 可降价的高阶微分方程 线性微分方程解的性质及解的结构定理 二阶常系数齐次线性微分方程 二阶常系数非齐次线性微分方程 高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程 欧拉（ Euler ）方程 微分方程的幂级数解法 简单的常系数线性微分方程组的解法 微分方程的简单应用

考试要求

1. 掌握微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念。

2. 熟练掌握变量可分离的微分方程的解法，熟练掌握解一阶线性微分方程的常数变易法。

3. 会解齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程，会用简单的变量代换求解某些微分方程。

4. 会用降阶法解下列方程： y ⁽ⁿ⁾ =f(x) ， y″ =f(x ， y′ ) 和 y″ =f(y ， y′ )

5. 理解线性微分方程解的性质及解的结构定理。了解解二阶非齐次线性微分方程的常数变易法。

6. 掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程。

7. 会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数、以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程。

8. 会解欧拉方程。

9. 了解微分方程的幂级数解法。

10. 了解简单的常系数线性微分方程组的解法。

11 会用微分方程解决一些简单的应用问题。

五、主要参考文献

《高等数学》（上、下册），同济大学数学教研室主编，高等教育出版社， 1996 年第四版，以及其后的任何一个版本均可。

编制单位：中国科学院研究生院

编制日期： 2006 年 6 月 6 日

修订日期： 2008 年 7 月 6 日