摘要:本文考虑带有黑洞视界和宇宙视界的Kiselev时空. 研究以黑洞视界和宇宙视界为边界的系统的热力学性质. 统一地给出了两个系统的热力学第一定律; 在黑洞视界半径远小于宇宙视界半径的情况下, 近似地计算了通过宇宙视界和黑洞视界的热能. 然后, 探讨Kiselev时空的物质吸积特性. 在吸积能量密度正比于背景 能量密度的条件下给出黑洞的吸积率, 讨论了黑洞吸积率与暗能量态方程参数的关系.
关键词: Kiselev黑洞/
物质吸积/
热力学性质

English Abstract

全文HTML

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天文观测表明现在的宇宙正加速膨胀^[1-3]. 在爱因斯坦引力中, 宇宙的加速膨胀被解释为宇宙中暗能量的推动. 暗能量可能是Quintessence能量(Q暗能量), 也可能是其他形式的能量, 如真空能等. 所谓的Q暗能量指宇宙中的正则标量场, 它的态方程参数满足$ -1<w_{\rm q}<-2/3 $. 对于史瓦西(Schwarzschild)黑洞被Q暗能量包围的情况, 时空中既有黑洞视界也存在宇宙视界, 此类黑洞属于Kiselev黑洞^[4]. 文献[5]研究了$w_{\rm q} = 1/3 $情况下的Kiselev黑洞的热力学问题. 文献[6]探讨了一般情况下的Kiselev黑洞的热力学问题, 包括Kiselev黑洞的斯马尔(Smarr)关系等.
粒子被引力场加速, 最终会被天体捕获, 此即所谓的天体吸积现象^[7,8]. 对于史瓦西黑洞, 其吸积性质类似于牛顿理论中孤立球对称天体的吸积性质^[9]. 黑洞的稳态吸积问题已经得到了广泛的研究^[10-23]. 在$w_{\rm q} = -2/3 $的情况下, 文献[24]研究了Kiselev黑洞吸积多方流体的问题. 结果显示, 多方流体的吸积速率和吸积临界点都与Q暗能量的能量标度有关. 在文献[24]中, Kiselev黑洞被考虑为带有两个黑洞视界的黑洞. 对于黑洞周围存在暗能量的情况, Kiselev时空存在宇宙视界. 本文研究Kiselev时空中以黑洞视界和宇宙视界为边界的时空区域的热力学性质, 探讨Kiselev黑洞对无压流体物质的吸积特性.

对于时空中存在Q暗能量的情况, Kiselev时空度规取下面的形式^[4]:

$ {\rm d}s^2 = - f{\rm d}t^2 + f^{-1} {\rm d}r^2 + r^2({\rm d}\theta^2 + {{\rm sin}}^2\theta {\rm d}\varphi^2), $

$ f = 1-\dfrac{2M}{r}-\left(\dfrac{r}{\lambda}\right)^{-(3w_{\rm q}+1)}, $

其中$ \lambda $是具有宇宙尺度的参数, $ M \ll \lambda $是黑洞的质量. 该时空有一个黑洞视界(半径$ r_{\rm B} $)和宇宙视界(半径$ r_{\rm C} $), 其视界半径近似地为

$ r_{\rm B} \approx 2M \left[ 1 + \left(\dfrac{2M}{\lambda}\right)^{-(3w_{\rm q}+1)} \right], $

$ r_{\rm C} \approx \lambda + \dfrac{2M} {3w_{\rm q}+1}. $

在上面的计算中, 已经使用了条件$ M \ll \lambda $. 恒星级质量的黑洞显然满足这个条件, 即便是超大质量的星系级黑洞, 这一条件也成立.
由$ T_{\rm {B, C}} = \left|\dfrac{1}{2{\text{π}}} \kappa_{\rm {B, C}}\right| $, 其中$ \kappa_{\rm {B, C}} = \dfrac{1}{2}\dfrac{{\rm d}f}{{\rm d}r}\left|_{r_{\rm {B, C}}}\right.$是黑洞视界和宇宙视界的表面引力, 得到黑洞视界和宇宙视界的温度

$ T_{\rm {B, C}} = \dfrac{1}{4{\text{π}}}\left| \dfrac{M}{r_{\rm {B, C}}^2} + \dfrac{3w_{\rm q}+1}{2\lambda} \left(\dfrac{r_{\rm {B, C}}}{\lambda}\right)^{-(3w_{\rm q}+2)}\right|. $

对于宇宙视界, (5)式右边的第一项是小量, 宇宙视界温度近似为$ T_{\rm C} = - \dfrac{3w_{\rm q}+1}{8{\text{π}}\lambda} \left(\dfrac{r_{\rm C}}{\lambda}\right)^{-(3w_{\rm q}+2)} $. 由度规函数$ f = 0 $, 得到Kiselev时空(黑洞)的质量$ M = \dfrac{1}{2} \left[1-\left(\dfrac{r_{{\rm B, C}}}{\lambda}\right)^{-(3w_{\rm q}+1))}\right] $, 即

$ M = \dfrac{1}{2} \sqrt{S_{\rm {B, C}}/{\text{π}}} \left[ 1 - \left(\dfrac{\sqrt{S_{\rm {B, C}}/{\text{π}}}} {\lambda}\right)^{-(3w_{\rm q}+1)}\right], $

其中$ S_{\rm {B, C}} = {\text{π}} r_{\rm {B, C}}^2 $是黑洞视界和宇宙视界的熵. Kiselev黑洞质量可表示为斯马尔关系的形式(类似的讨论见文献[6])

$M = \pm 2T_{\rm {B, C}} S_{\rm {B, C}} + \varTheta_{\rm {B, C}}\lambda, $

其中

$ \varTheta_{\rm {B, C}} = - \dfrac{3w_{\rm q}+1}{2} \left(\dfrac{\sqrt{S_{\rm {B, C}}/{\text{π}}}} {\lambda}\right)^{-3w_{\rm q}}. $

(7)式中符号“+”和“–”分别对应到黑洞视界和宇宙视界的情况. 对(6)式两边微分得到微分形式的斯马尔关系

$ {\rm d} M = \pm T_{\rm {B, C}} {\rm d}S_{\rm {B, C}} + \varTheta_{\rm {B, C}} {\rm d}\lambda. $

在Kiselev黑洞斯马尔关系的表示中, 既可采用定义在黑洞视界上的热力学量, 也可采用定义在宇宙视界上的热力学量. (9)式给出了Kiselev时空的质量增加量与视界熵增加量和参量$ \lambda $增加量的关系.
球对称时空(1)中半径为$ r $的球面内的爱因斯坦准局域能为^[25]

$ E = \dfrac{1}{2} r (1-f). $

将度规函数(2)式代入(10)式给出Kiselev时空中半径为$ r $的球面内的能量

$ E = M + \dfrac{1}{2}\lambda \left(\dfrac{r}{\lambda}\right)^{-3w_{\rm q}}. $

由$ \rho = \dfrac{1}{4{\text{π}} r^2} \dfrac{{\rm d} E}{{\rm d}r} $, 得到Kiselev时空(背景时空)的能量密度

$ \rho = - \dfrac{3w_{\rm q}}{8{\text{π}} r^2} \left(\dfrac{r}{\lambda}\right)^{-(3w_{\rm q}+1)}. $

Kiselev时空的径向压强和切向压强分别为$ p_ r = - \rho $和$ p_\tau = \dfrac{3w_{\rm q}+1}{2}\rho $. 对于$ w_{\rm q} = -2/3 $, 切向压强$ p_\tau = - \dfrac{1}{2}\rho $. 态方程$ w_{\rm q} $越小, 切向压强与径向压强的比值$ p_\tau/p_ r $就越大. 黑洞视界和宇宙视界附近的背景时空能量密度为

$ \rho_{{\rm B, C}} = - \dfrac{3 w_{\rm q}} {8{\text{π}} r_{{\rm B, C}}^2} \left(\dfrac{r_{{\rm B, C}}}{\lambda}\right)^{-(3w_{\rm q} + 1)}. $

宇宙视界附近的能量密度大致正比于Q能态方程参数的大小, 因此具有相同的量级, 但黑洞视界附近的能量密度却随$ w_{\rm q} $增大而迅速增加(表1).

	$w_{\rm q}$
	$-2/3$	$-0.8$	$-0.9$	$-0.99$	$-0.999$	$-0.9999$
$\rho_{\rm B}\left(\dfrac{3} {8{\text{π}} \lambda^2}\right)$	$4.59333\times10^{11}$	$1.01396\times10^7$	$3204.12$	$2.24275$	1.08413	1.00811

表1黑洞视界附近背景时空的能量密度
Table1.Energy density of spacetime near the horizon of black hole

将$ r = r_{{\rm B, C}} $代入(10)式得到黑洞视界和宇宙视界内的能量$ E_{{\rm B, C}} = \dfrac{1}{2} r_{{\rm B, C}} $. 容易验证, 由黑洞视界和宇宙视界包围的系统满足热力学第一定律

$\begin{split} {\rm d} E_{{\rm B, C}} =&\; {\rm d}Q_{{\rm B, C}} + {\rm d}w_{{\rm B, C}} \\=& \pm T_{{\rm B, C}} {\rm d} S_{{\rm B, C}} - p_{{\rm B, C}}{\rm d}V_{{\rm B, C}}, \end{split}$

其中$ {\rm d}Q_{\rm B} $和$ {\rm d}Q_{\rm C} $分别是流入黑洞和宇宙视界内的热量, $ {\rm d}w_{\rm B} $和$ {\rm d}w_{\rm C} $分别是时空中的流体对黑洞视界和宇宙视界的功, $ p_{{\rm B, C}} = p_{r}(r_{{\rm B, C}}) $和$ V_{{\rm B, C}} = \dfrac{4}{3} {\text{π}} r_{{\rm B, C}}^3 $. 考虑到$ p_{{\rm B, C}} = -\rho_{{\rm B, C}} $, Kiselev时空中流体对黑洞视界和宇宙视界的功可写为

$ {\rm d} w_{{\rm B, C}} = \rho_{{\rm B, C}} {\rm d} V_{{\rm B, C}}. $

在视界发生微小改变的过程中, 时空中流体对视界的功等于视界所掠过时空区域的能量$ \Delta w_{{\rm B, C}} =$$ \rho_{{\rm B, C}} \Delta V_{{\rm B, C}} $ (图1).
图 1 (a)黑洞视界做功示意图; (b)宇宙视界做功示意图; 其中BHH和CH分别表示黑洞视界和宇宙视界, $ \Delta r_{\rm {B, C}} $表示黑洞视界和宇宙视界半径的微小变化, 虚线表示变化后的黑洞视界和宇宙视界
Figure1. (a) Doing work of black hole horizon; (b) doing work of cosmic horizon. BHH and CH stand for the black hole horizon and the cosmic horizon, respectively. $ \Delta r_{\rm {B, C}} $ denotes a small change of the radii of black hole horizon and cosmic horizon. The dotted lines represent the changed black hole horizon and the changed cosmic horizon.

在静态球对称时空中, 沿径向运动的流体四维速度是$ { u}^\mu \!=\! \dfrac{{\rm d}{ x}^\mu}{{\rm d}s} \!=\! (u^0, u^1, 0, 0) $, 其中$ { x}^\mu \!=\! (t, r, \theta, \varphi) $. 利用归一化条件$ { u}_\mu { u}^\mu = -1 $, 得到流体四维速度的第0分量

$ u^0 = \dfrac{1}{f}\sqrt{f+u^2}, $

其中$ u = u^1 $. 物质的四维流矢量定义为$ { J}^\mu = n{ u}^\mu $, 其中$ n $是流体的粒子数密度. 四维流守恒律$ { J}^\mu_{;\mu} = 0 $给出^[24]

$ r^2 n u = C_J, $

其中$ C_J \neq 0 $是常数. 对于流向引力中心的流体, 有$ C_J < 0 $.
理想流体的四维能量-动量张量取如下形式:

$ T_{\mu\nu} = p_{\rm m} g_{\mu\nu} + (\rho_{\rm m}+p_{\rm m})u_\mu u_\nu, $

其中$ \rho_{\rm m} $和$ p_{\rm m} $分别代表流体的能量密度和压强. 流体四维能量-动量张量守恒方程的零分量方程为

$ \dfrac{1}{r^2} \dfrac{{\rm d}}{{\rm d}r} \left[r^2(\rho_{\rm m} + p_{\rm m}) u (f+u^2)^{1/2}\right] = 0, $

即

$ r^2(\rho_{\rm m} + p_{\rm m}) u (f+u^2)^{1/2} = C_1, $

其中$ C_1 $是常数. 对于$ p_{\rm m}>-\rho_{\rm m} $的情况, 积分常数$ C_1<0 $. 方程$ u^\nu T_{\nu;\mu}^\mu = 0 $给出^[12]

$ \dfrac{1}{u} \dfrac{{\rm d}u}{{\rm d}r} + \dfrac{1}{\rho_{\rm m} + p_{\rm m}} \dfrac{{\rm d}\rho_{\rm m}}{{\rm d}r} + \dfrac{2}{r} = 0. $

对(21)式积分得到

$ r^2 u {\rm e}^{\int(\rho_{\rm m} + p_{\rm m})^{-1} {\rm d}\rho_{\rm m}} = C_2, $

这里$ C_2<0 $是积分常数.
若吸积流体是无压的物质, 则(22)和(17)式是同一方程. 由(20)和(22)式得到

$ u^2 + f = (C_1/C_2)^2. $

对(23)式求导给出$ 2u u' = - f' $, 其中$ f' =$$ {\rm d}f/{\rm d}r $. 对于$ u \neq 0 $, $ u' = 0 $指$ f' = 0 $. 方程$ f' = 0 $给出Kiselev时空度规函数取极大值的位置$ r_0 $ (图2),
图 2 在$M=10^{-2}$ l.y.和$\lambda=1.378\times $10¹⁰ l.y.条件下的$r_0\text{-}w_{\rm q}$曲线
Figure2. The $r_0 \text{-} w_{\rm q} $ curve ($M = 10 ^{-2}$ l.y. and $\lambda = 1.378 \;\times$ $ 10 ^{10}$ l.y.).

$ r_0 = \lambda \left[- \dfrac{2M}{(3w_{\rm q}+1)\lambda} \right]^{-1/3w_{\rm q}}, $

它是Kiselev黑洞对无压流体的吸积半径. 对于$ w_{\rm q}= -\dfrac{2}{3} $和$ w_{\rm q} = -1 $, 吸积半径分别为$ r_0\approx 1.6\times $$10^{4} $ l.y.和$ r_0 \approx 1.2\times 10^{6} $ l.y., 在$ r_0 $点(吸积临界点)上, 存在下面的关系式:

$ (C_1/C_2)^2 = u_{0}^2 + f_{0}, $

其中$ u_{0} = u(r_0) $为流体的最大速度. (25)式右边的$ f_{0} $是$ f $在黑洞视界和宇宙视界间的最大取值

$ f_{0} = f(r_0) = 1-\dfrac{2M}{r_0}-\left(\dfrac{r_0}{\lambda}\right)^{-(3w+1)}. $

在$ r = r_0 $附近, Kiselev时空几乎是平直时空(图3). 在$ r = r_0 $处, 粒子应该有极小速率$(|u_{0}| \ll 1 )$. 在这一假设下, 有$ u_{0}^2 + f_{0} \approx f_{0} \approx 1 $和$ C_2 \approx C_1 = C $. 在接近黑洞视界处($ f \approx 0 $), 流体四维速度的径向分量$ u_{\rm B} $近似地为$ - 1 $.
图 3 在$M = 10 ^{-2}$ l.y.和$\lambda = 1.378 \times 10 ^{10}$ l.y.条件下的$f_0\text{-}w_{\rm q} $曲线, 对于$w_{\rm q} =-\frac{2}{3}$和$ -1$, 分别有$f_{0}\approx $0.999998和0.99999998
Figure3. The $f_0\text{-}w_{\rm q}$ curve ($M = 10 ^{-2}$ l.y. and $\lambda = 1.378 \; \times$ $10 ^{10}$ l.y.). For $w_{\rm q}=-\frac{2}{3}$ and $ -1$, the metric function $f_{0}\approx 0.999998$ and 0.99999998, respectively.

Kiselev黑洞对无压理想流体的吸积率为

$ \chi_{\rm B} = -4{\text{π}} r^2 \rho_{\rm m} u = -4{\text{π}} C, $

其中常数$ C = \rho_{\rm mB} u_{\rm B} r_{\rm B}^2 $, 能量密度$ \rho_{\rm {mB}} = \rho_{\rm m}(r_{\rm B}) $. 黑洞视界附近的流体四维速度$ { u}^\mu $的径向分量近似为$ -1 $, 常数$ C $仅依赖黑洞视界半径和吸积流体的能量密度. 假定黑洞视界附近被吸积流体的能量密度与背景能量密度成正比$ \rho_{\rm mB} = \eta_{\rm B} \rho_{\rm B} $, 则黑洞的吸积率为

$ \chi_{\rm B} = - \dfrac{3 \eta_{\rm B} w_{\rm q}} {2} \left(\dfrac{2M}{\lambda}\right)^{-(3w_{\rm q} + 1)}. $

被吸积流体的能量密度对时空背景的影响是微小的, 因此要求比例系数$ \eta_{\rm B} \ll 1 $. 对应于$w_{\rm q} = $$ - 2/3 $和$ w_{\rm q} = - 1 $, 分别有最大吸积率$ \chi_{\rm max}\approx 1.2 \times $$10^{-6}\eta_{\rm B} $和最小吸积率$ \chi_{\rm min}\approx1.2\times10^{-8}\eta_{\rm B} $ (图4). 上面的讨论是在假定参数$ \eta_{\rm B} $不依赖$ w_{\rm q} $的情况下进行的. 假定$ \eta_{\rm B} $随$ w_{\rm q} $足够缓慢地改变, 则黑洞的吸积率会随$ w_{\rm q} $的增大而增大.
图 4 黑洞吸积率$\chi_{\rm B}$ (单位$\eta_{\rm B}$)与$w_{\rm q}$的关系图(M =$ 10 ^{-2}$ l.y.和$\lambda = 1.378 \times 10 ^{10}$ l.y.)
Figure4. Relationship between black hole accretion rate $\chi_{\rm B} $ (unit $\eta_{\rm B}$) and $ w_{\rm q}$ ($M = 10 ^{-2}\; {\rm l.y.}$ and $\lambda = 1.378 \; \times $10¹⁰ l.y.).

在$ M \ll \lambda $的情况下, Kiselev时空中的流体对宇宙视界所做的功和流入宇宙视界的热量近似地为$ - \dfrac{3 w_{\rm q}} {2}\Delta r_{\rm C} $和$ \dfrac{1+3 w_{\rm q}} {2} \Delta r_{\rm C} $. 在$ -1<w_{\rm q} < - 1/3 $的范围内, 热量总是从宇宙视界流出($ \Delta Q_{\rm C}<0 $). 既然$ r_{\rm B} \ll \lambda $, 则有$ \Delta w_{\rm B} \ll \Delta r_{\rm B} $. 这说明Kiselev黑洞能量的增加量主要是来自于流入黑洞的热量贡献.
现在宇宙中约$ 1/3 $和$ 2/3 $的部分为物质和暗能量. 宇宙加速膨胀要求宇宙有效态方程参数$ w_{\rm eff}<-1/3 $. 对于由无压的物质和Q能构成的宇宙, 它指暗能量态方程参数的取值被限制在范围$ w_{\rm q} < -2/3 $之内. Kiselev时空的能量分布明显地依赖它的态方程参数$ w_{\rm q} $. 对于$ w_{\rm q} = -2/3 $和$ w_{\rm q} = -1 $这两种情况, 黑洞视界附近的Q能密度相差11个量级. 另一方面, 随$ {\rm Q} $能的态方程参数减小, $ r_0 $的取值增大. 在$ r_{\rm B} \leqslant r < r_0 $的区域内的球面上, 表面引力$ \kappa>0 $; 而在$ r_0 < r \leqslant r_{\rm C} $的区域内, 表面引力$ \kappa<0 $. 对于无压的被吸积理想流体, Kiselev时空的吸积临界点即时空中表面引力为零的球面. Kiselev时空中$ r_0 $的取值随态方程参数$ w_{\rm q} $的减小而增大, 即黑洞吸积范围增大. 对于$ w_{\rm q} = -2/3 $和$ w_{\rm q} = -1 $, $ r_0 $的取值相差2个量级. 假定被吸积流体的能量密度正比于背景能量密度, 则在$-1\leqslant$$ w_{\rm q} < -2/3 $的范围内Kiselev黑洞吸积率相差2个量级.