7. 了解散度、旋度的概念，并会计算。

8. 会用重积分、曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量（平面图形的面积、曲面的面积、物体的体积、曲线的弧长、物体的质量、重心、转动惯量、引力、功及流量等）。

七、无穷级数

考试内容

常数项级数及其收敛与发散的概念 收敛级数的和的概念 级数的基本性质与收敛的必要条件 几何级数与 p 级数及其收敛性 正项级数收敛性的判别法 交错级数与莱布尼茨定理 任意项级数的绝对收敛与条件收敛 函数项级数的收敛域、和函数的概念 幂级数及其收敛半径、收敛区间（指开区间）和收敛域 幂级数在其收敛区间内的基本性质 简单幂级数的和函数的求法 泰勒级数 初等函数的幂级数展开式 函数的幂级数展开式在近似计算中的应用 函数的傅里叶（ Fourier ）系数与傅里叶级数 狄利克雷（ Dirichlet ）定理 函数在 [-l ， l ] 上的傅里叶级数 函数在 [0 ， l ] 上的正弦级数和余弦级数。

考试要求

1. 理解常数项级数的收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件

2. 掌握几何级数与 p 级数的收敛与发散的条件。

3. 掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法。

4. 掌握交错级数的莱布尼茨判别法。

5. 了解任意项级数的绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系。

6. 了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。

7. 理解幂级数收敛半径的概念，并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。

8. 了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质（和函数的连续性、逐项微分和逐项积分），会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些数项级数的和。

9. 了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。

10. 掌握一些常见函数如 e^x 、 sin x 、 cos x 、 ln(1+x) 和 (1+x) ^α 等的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数。

11. 会利用函数的幂级数展开式进行近似计算。

12.了解傅里叶级数的概念和狄利克雷定理，会将定义在 [-l ， l ] 上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在 [0 ， l ] 上的函数展开为正弦级数与余弦级数 。

八、常微分方程

考试内容

常微分方程的基本概念 变量可分离的微分方程 齐次微分方程 一阶线性微分方程 伯努利（ Bermoulli ）方程 全微分方程 可用简单的变量代换求解的某些微分方程 可降价的高阶微分方程 线性微分方程解的性质及解的结构定理 二阶常系数齐次线性微分方程 二阶常系数非齐次线性微分方程 高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程 欧拉（ Euler ）方程 微分方程的简单应用

考试要求

1. 掌握微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念。

2. 掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法。

3. 会解齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程，会用简单的变量代换解某些微分方程。

4. 会用降阶法解下列方程： y ⁽ⁿ⁾ =f(x) ， y” =f(x ， y’ ) 和 y” =f(y ， y’ )

5. 理解线性微分方程解的性质及解的结构定理。了解解二阶非齐次线性微分方程的常数变易法。

6. 掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程。

7. 会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程。

8. 会解欧拉方程。

9. 用微分方程解决一些简单的应用问题。

六、主要参考文献

《高等数学（上、下册）》（第四版），同济大学数学教研室主编，高等教育出版社， 1996 年。

编制单位：中国科学院研究生院

编制日期： 2006 年 6 月 6 日