本《地球流体力学基础综合》考试大纲适用于中国科学院大气物理研究所大气科学学科有关专业的硕士研究生入学考试。《地球流体力学基础综合》包含《数学物理方程》和《数值计算方法》两门课程的基础知识，考试内容各占二分之一，目的是考察学生对三类典型数理方程（波动方程，热传导方程，调和方程）的定解问题和常用解法以及常用数值分析方法的掌握情况。这是学习大气科学有关后继课程必要的数学和物理基础。

（1）偏微分方程的一些基本概念

（2）三个典型方程

（3）数学物理方程的导出及定解问题

（1）行波法导出一维波动方程的达朗贝尔公式（限于齐次方程）

（2）弦振动问题的“依赖区间”、“决定区域”和“影响区域”的概念

（3）三维波动方程的泊松公式

（4）降维法

（5）定解问题的公式解

（1）有界弦的自由振动

（2）圆柱体稳态温度的第一边值问题

（3）固有值问题的斯图模一刘维尔理论

（4）非齐次情形

（1）用富里叶变换解题

（2）用拉普拉斯变换解题

（3）用积分变换方法解题的一般原理

（1）拉普拉斯方程两种定解问题（狄里克莱问题和诺依曼问题）

（2）高斯公式和格林公式

（3）拉普拉斯方程的基本解

（4）调和函数的一些基本性质（边界性质平均值原理、极值原理）

（5）格林函数的物理意义和泊松公式

（6）定解问题的公式解法

（1）数值计算中关于误差的一些基本概念；

（2）误差的来源以及计算中误差的传播；

（3）减少误差和避免错误结果应采取的措施

  （1）插值、差分和差商的概念

（2）多项式插值的Lagrange公式、Newton公式和Hermite公式；

（3）用上述三个公式构造插值多项式

（1）梯形求积、抛物线求积、Romberg求积以及Gauss型求积方法的特点；

（2）用上述求积方法进行数值积分；

（1）线性代数方程组两类数值解法（直接法和迭代法）的基本概念及其特点

（2）Gauss消去法、主元素消去法和LU分解法

（3）对于某些特殊的矩阵，利用平方根法、LDL^T法和追赶法求解线性代数方程组

（4）条件数的基本概念和误差分析

（5）Jacobi迭代法、Gauss-Seidel迭代法和超松弛迭代法及分析迭代法的收敛性

（1）典型差分格式；

（2）单步法和多步法

（3）常微分方程差分格式的建立，其稳定性和收敛性的分析，以及误差的估计

（4）双曲型、抛物型、和椭圆型方程差分格式的建立

（1）理解三类典型方程的物理背景和导出步骤。

（2）理解定解条件所反映的物理意义。

（3）了解三种定解问题（初值问题、边值问题、混合问题）的区别。知道不同方程有不同的定解问题的提法。

（1）掌握分离变量法，能应用于波动方程、传导方程的混合问题和特殊区域上拉普拉斯方程的狄里克莱问题。

（2）掌握求解非齐次方程的固有函数法和齐次化原理。

（3）了解对于非齐次边界条件的处理方法。

（1）会用行波法导出一维波动方程的达朗贝尔公式（限于齐次方程）。

（2）一般了解弦振动问题的“依赖区间”、“决定区域”和“影响区域”的概念。

（3）了解三维波动方程的泊松公式的导出方法。

（4）理解降维法从三维波动方程的泊松公式导出二维波动方程的泊松公式以及一维波动方程的达朗贝尔公式。

（5）掌握用上述三种公式求解定解问题方法。

（6）根据上述三种公式了解三维波的惠更斯原理（无后效现象）和一维、二维波的弥散现象。

（7）掌握傅里叶变换和拉普拉斯变换求解一些定解问题方法。

（1）了解拉普拉斯方程两种定解问题（狄里克莱问题和诺依曼问题）的提法。

（2）会从高斯公式导出格林第一、第二公式。

（3）知道三维（二维）拉普拉斯方程的基本解，会借助基本解从格林第二公式导出调和函数的积分表达式。

（4）掌握调和函数的一些基本性质（边界性质平均值原理、极值原理）。

（5）理解引进格林函数的目的，及格林函数的物理意义。

（6）掌握上半空间和球域的格林函数及相应的泊松公式。会用公式求解定解问题。

（1）掌握数值计算中关于误差的一些基本概念；

（2）理解误差的来源以及计算中误差的传播；

（3）了解减少误差和避免错误结果应采取的措施

  （1）掌握插值、差分、和差商的概念

（2）会利用多项式插值的Lagrange公式，Newton公式和Hermite公式构造插值多项式

（1）了解梯形求积、抛物线求积、Romberg求积以及Gauss型求积方法的特点；

（2）掌握用上述求积方法进行数值积分的基本思路；

（3）了解梯形求积、抛物线求积和Gauss型求积的误差估计

（1）掌握线性代数方程组的两类数值解法（直接法和迭代法）；

（2）能够利用Gauss消去法、主元素消去法和LU分解法求解线性代数方程组；

（3）掌握实对称矩阵的平方根分解和LDL^T分解，熟识三对角方程组的追赶法；

（4）了解条件数的基本概念，以及利用条件数分析线性代数方程组数值求解的误差

（5）掌握Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的基本思路，以及关于这两种迭代法收敛性的分析方法；

（6）了解超松弛迭代法及其收敛性。

（1）掌握典型的差分格式（前差、后差、中央差，以及Runge-Kutta方法等），能够利用典型差分格式离散常微分方程，以及进行差分法的稳定性和收敛性分析和误差估计；

（2）掌握单步法和多步法的基本概念及其特点，了解Adams多步法以及预估校正方法；

（3）掌握双曲型、抛物型、和椭圆型方程差分格式的建立。

1. 姜礼尚等，数学物理方程讲义，高等教育出版社， 2007（第三版）

2．梁昆淼，数学物理方法（第二篇），高等教育出版社，2010（第四版）

3．徐萃薇等，计算方法引论，高等教育出版社，2007（第三版）