肖翾, 马杨, 沈阳, 程永攀, 徐进良
华北电力大学能源动力与机械工程学院 低品位能源多相流与传热北京市重点实验室, 北京 102206
2019年3月18日 收稿; 2019年6月17日 收修改稿
基金项目: 北京市自然科学基金（3162029）和国家自然科学基金（51436004）资助
通信作者: 程永攀, E-mail:chengyp@ncepu.edu.cn

摘要: 气泡从基板上脱离的运动规律，对于研究核态沸腾的机理及相变传热有着重要意义。利用Level Set方法建立二维轴对称非稳态模型对该问题进行数值模拟，获得气泡在浮力、黏性力、惯性力与表面张力共同作用下的运动规律，分析不同Re数、Bo数和表面润湿性对气泡脱离基板规律的影响，并获得气泡从基板脱离时的临界参数。结果发现，当Re数增大，气泡上升的惯性力就增大，气泡越容易脱离；当Bo数增加，气泡会从完全脱离转变为部分脱离；随着表面润湿性的降低，气泡与基板的接触面积增大，气泡与基板及附近液体的作用力就增大，越难以脱离。
关键词: 气泡脱离润湿性数值模拟
Numerical simulation of the bubble detachment from the substrate
XIAO Xuan, MA Yang, SHEN Yang, CHENG Yongpan, XU Jinliang
Beijing Key Laboratory of Multiphase Flow and Heat Transfer for Low-grade Energy, School of Energy Power and Mechanical Engineering, North China Electric Power University, Beijing 102206, China


Abstract: The detachment of bubbles from the substrate is of great significance for nucleate boiling and phase-change heat transfer. In this study, the two-dimensional axisymmetric model is built up using the Level Set method, and the bubble dynamics is obtained by considering buoyant force, viscous force, inertial force, and surface tension in terms of non-dimensional parameters. The effects of Reynolds numbers, Bond numbers, and surface wettability on the bubble detachment from the substrate are revealed, and the critical parameters for bubble detachment are also obtained. We find that, with the increase in Reynolds number, the inertial force increases, leading to easy detachment of bubbles from the substrate. With the increase in Bond numbers, the bubble transits from the complete detachment to the partial detachment. With the decreases in surface wettability, the contact area between the bubble and substrate increases, leading to large interactive forces of the bubble with the substrate and the liquid near the contact area. Thus the bubble is difficult to detach from the substrate. These studies may be quite useful for the study of nucleate boiling heat transfer.
Keywords: bubble detachmentwettabilitynumerical simulation
气泡在化工、生物、医药、动力设备、核反应堆、航天和热能等多个领域有着广泛的应用，譬如：大型船舶的气泡减阻、油气输运、血管中气泡的运动。船舶发动机水下排气会造成螺旋桨的气蚀, 利用气泡可以加速反应装置中的物质混合、热量交换及化学反应过程；在水处理方面，曝气、气浮等工艺的处理能耗和处理效率与气泡运动特性密切相关。在沸腾传热中，气泡脱离是沸腾传热的重要过程，气泡从基板上脱离受多个因素的影响，包括气泡的形状、大小、加热模式、基板表面的润湿性等。
Fritz和Ende^[1]通过气泡脱离时的受力分析，得到著名的Fritz公式，在常压情况下，该公式的计算结果与实验结果较为吻合，但当压力过高或过低时有误差。Cole^[2]在低压条件下进行一系列的气泡生长和脱离的实验，并得到新的拟合关系式，该式中引入一个Jakob数，后来得到广泛引用。Rohsenow^[3]发现气泡生长需要的一定过热度，其大小由气液界面的表面张力决定。Lee和Nydahl^[4]对气泡的生长和脱离进行数值模拟，假设气泡具有球缺形状并且在整个气泡生长期间存在微层, 他们发现，微层蒸发的热量占整个核态沸腾换热量的87%。Zeng等^[5]提出，气泡在上升与分离时主要由气泡受到的浮力以及表面张力决定，据此获得气泡生长和气泡分离直径的表达式。Son等^[6]使用Level Set方法对水沸腾期间气泡的生长和离开进行数值模拟。Fuchs等^[7]利用数值模拟的方法，分析壁面导热效应和蒸发弯月面对气泡生长和脱离的影响。本文利用数值模拟的方法，对于气泡脱离基板的机理进行深入全面的研究。
1 模型和公式本文利用Level Set方法建立二维轴对称非稳态数学模型，用有限差分法对控制方程进行离散处理，在给定的边界条件下，追踪气液界面的演化规律，获得气泡在浮力、黏性力、惯性力与表面张力共同作用下的运动规律，分析不同接触角、Re数和Bo数对气泡脱离基板的影响，并获得气泡从基板脱离时的临界参数。
本文中，以单个气泡为研究对象，气泡初始形状为球缺形。由于气泡沿y轴方向是轴对称的，我们仅对气泡x轴正方向的部分进行模拟，计算区域底部为无滑移边界条件，其余边界为自由边界条件，如图 1所示。数值模拟结果表明，当气液的密度比和黏性比小于0.05时，该比值对于气泡的运动规律几乎没有影响，因此选取气液的密度比和黏性比为0.05。气泡无初始速度，在脱离基板的过程中满足质量守恒。经过校验后，网格数101×301，时间步长为1.0×10^-4，计算域为3×9。
Fig. 1

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图 1 气泡脱离基板示意图 Fig. 1 Schematic of bubble detachment from substrate 图 1 气泡脱离基板示意图 Fig. 1 Schematic of bubble detachment from substrate -->

由于气泡是在浮升力的驱动下脱离的，因此以浮升力来定义特征速度

$U=\sqrt{g R}, $

(1)

引入无量纲参数：

$R e=\rho_{1} U R / \mu_{1}, $

(2)

$B o=\rho_{1} g R^{2} / \sigma.$

(3)

分析得到气泡脱离壁面的无量纲控制方程如下：
连续性方程：

$\nabla \cdot \boldsymbol{u}=0, $

(4)

动量方程：

$\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial t}+\boldsymbol{u} \cdot \nabla \boldsymbol{u}=-\frac{1}{\rho} \nabla p+\frac{1}{\rho^{*} R e} \nabla \cdot\left[\mu^{*}\left(\nabla \boldsymbol{u}+\nabla \boldsymbol{u}^{\mathrm{T}}\right)\right]+\\ \frac{1}{\rho^{*} B o} \kappa \boldsymbol{n} \delta(\phi)+\frac{1}{\rho^{*}}\left(1-r_{\mathrm{d}}\right) j.$

(5)

式中:ρ^*=ρ_g/ρ_l，μ^*=μ_g/μ_l分别为气泡内外的密度比和黏度比。
2 结果与讨论气泡脱离基板的过程受众多因素的影响，将控制方程进行无量纲化以后，这些因素可以归结为Re数、Bo数和接触角的影响。
2.1 模型校核为了验证模型的正确性，我们与Sussman和Smereka^[8]的结果进行比较，如图 2所示。结果表明，我们的模拟结果和他们的结果非常符合。气泡在浮力作用下，由静止开始上升，圆形气泡下部开始变形，进而导致气泡破裂。
Fig. 2

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图 2 Re=100和Bo=2时气泡运动过程的形状演化 Fig. 2 Bubble shape evolution at Re=100 and Bo=2 图 2 Re=100和Bo=2时气泡运动过程的形状演化 Fig. 2 Bubble shape evolution at Re=100 and Bo=2 -->

2.2 Re数对气泡脱离基板的影响首先通过改变气泡脱离基板时的Re数(其中Bo=1，θ=60°)，研究Re数的变化对气泡脱离基板的影响。由图 3可知，不同Re数下气泡脱离基板的垂直速度明显不同，当Re=1时，由于黏性的影响，气泡无法脱离，气泡的垂直速度很小，可忽略不计；当Re=10时，气泡脱离基板的垂直速度随时间增长而增加，t=2.4时开始脱离基板，；当Re=100时，气泡脱离明显提前，t=1.3时气泡就能够开始脱离，气泡脱离基板的垂直速度也随时间增长而增加，且相比Re=10时，气泡脱离基板的垂直速度较大。
Fig. 3

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图 3 不同Re数下气泡脱离基板的垂直速度变化规律(Bo=1，θ=60°) Fig. 3 Variations in vertical velocities of bubble detachment from substrate at different Reynolds numbers at Bo=1 and θ=60° 图 3 不同Re数下气泡脱离基板的垂直速度变化规律(Bo=1，θ=60°) Fig. 3 Variations in vertical velocities of bubble detachment from substrate at different Reynolds numbers at Bo=1 and θ=60° -->

图 4是不同Re数下气泡形状随时间的变化(Bo=1，θ=60°)。当Re=1时，气泡虽然不能脱离，但是由于浮力的作用，气泡形状略有变化，在竖直方向上被拉伸；当Re=10时，气泡能够沿竖直方向脱离，气泡先是在竖直方向上被拉伸，然后在t=2.4时刻气泡开始脱离，气泡在上升过程中基本为半球形，形状变化不剧烈；当Re=100时，气泡在t=1.3时刻就开始脱离基板，且气泡在上升过程中形状变化较为剧烈，脱离之后气泡变得更加扁平。总体来说，当Bo数和接触角不变时，Re数越大，气泡越容易脱离，气泡脱离基板的垂直速度越大，形状变化越剧烈。
Fig. 4

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图 4 不同Re数下气泡形状的变化(Bo=1，θ=60°) Fig. 4 Evolution of bubble shapes at different Reynolds numbers at Bo=1 and θ=60° 图 4 不同Re数下气泡形状的变化(Bo=1，θ=60°) Fig. 4 Evolution of bubble shapes at different Reynolds numbers at Bo=1 and θ=60° -->

2.3 Bo数对气泡脱离基板的影响图 5为不同Bo数下气泡脱离基板的垂直速度的变化规律(Re=10，θ=60°)。可以看出，在气泡脱离基板前，气泡的垂直速度随着时间推移而增加，但是Bo=1时的垂直速度较小；在Bo=5或Bo=10时，垂直速度随着时间几乎是线性的增加。而在气泡脱离基板后，Bo=1时，气泡速度持续增加，而Bo=5或Bo=10时，气泡速度达到稳定值。总体来说，当Re数和接触角不变时，Bo数越大，气泡脱离基板的垂直速度越大，但是Bo数到达一定程度时，其对气泡的影响会很小。
Fig. 5

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图 5 不同Bo数下气泡脱离基板的垂直速度变化规律(Re=10，θ=60°) Fig. 5 Variations in vertical velocities of bubble detachment from substrate at different Bond numbers at Re=10 and θ=60° 图 5 不同Bo数下气泡脱离基板的垂直速度变化规律(Re=10，θ=60°) Fig. 5 Variations in vertical velocities of bubble detachment from substrate at different Bond numbers at Re=10 and θ=60° -->

图 6为不同Bo数下时气泡脱离基板过程中的形状变化(Re=10，θ=60°)。可以看出，在不同的Bo数下，气泡均能够从基板脱离，且脱离的时间都在t=2.4左右。在气泡脱离基板之前，气泡在浮力的作用下被逐渐拉伸，在Bo=1时，气泡能够完全脱离基板，而在Bo=5和Bo=10时，由于气泡表面张力比Bo=1时要低，在气泡周围液体惯性力的作用下，气泡的底部会断裂，从而使小部分气体附着在基板上，而其余部分脱离基板，这也是图 4中Bo=5和10的时候，气泡的垂直速度与Bo=1时不同的原因。
Fig. 6

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图 6 不同Bo数下气泡形状的变化(Re=10，θ=60°) Fig. 6 Evolution of bubble shapes at different Bond numbers at Re=10 and θ=60° 图 6 不同Bo数下气泡形状的变化(Re=10，θ=60°) Fig. 6 Evolution of bubble shapes at different Bond numbers at Re=10 and θ=60° -->

2.4 接触角大小对气泡脱离基板的影响图 7为不同接触角下气泡脱离基板的垂直速度变化曲线(Re=10, Bo=1)。可以看出，接触角的大小对气泡脱离基板有很大的影响。当接触角θ=120°时，气泡无法成功脱离基板；当θ=90°时，气泡能够脱离基板，但是需要较长的时间，在t=9.7才能开始脱离，刚开始气泡脱离基板的垂直速度的增长较为缓慢；而当θ=60°时，气泡脱离基板的垂直速度随时间的增长迅速增大，在t=2.4时就开始脱离基板。
Fig. 7

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图 7 不同接触角下气泡脱离基板的垂直速度变化规律(Re=10，Bo=1) Fig. 7 Variations in vertical velocities of bubble detachment from substrate at different contact angles at Re=10 and Bo=1 图 7 不同接触角下气泡脱离基板的垂直速度变化规律(Re=10，Bo=1) Fig. 7 Variations in vertical velocities of bubble detachment from substrate at different contact angles at Re=10 and Bo=1 -->

图 8为不同接触角下气泡形状的变化规律(Re=10，Bo=1)。可以看出，接触角θ=120°时，气泡无法成功脱离，气泡形状也基本没有变化，竖直方向并没有明显地被拉伸；接触角θ=90°时，气泡在脱离基板的过程中由于浮力的作用逐渐被拉伸，而后逐渐脱离基板；接触角θ=60°时，由于气泡与基板接触面积的减小，气泡更容易脱离。
Fig. 8

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图 8 不同接触角下气泡形状的变化(Re=10，Bo=1) Fig. 8 Evolution of bubble shapes at different contact angles at Re=10 and Bo=1 图 8 不同接触角下气泡形状的变化(Re=10，Bo=1) Fig. 8 Evolution of bubble shapes at different contact angles at Re=10 and Bo=1 -->

3 总结与展望本文利用Level Set方法，针对气泡脱离基板的运动建立瞬态二维轴对称模型，分别研究Re数、Bo数和接触角的大小对气泡脱离基板规律的影响，所得结论如下：
1) 随着Re数的增大，气泡所受的惯性力越大，气泡越容易脱离基板，即气泡脱离基板的垂直速度增长越快，开始脱离的时间越早。
2) 随着Bo数的增大，在气泡脱离之前，气泡的垂直速度增加得越快，但是对于气泡脱离的时间影响不大。Bo数增大时，气泡从完全脱离变成部分脱离。
3) 气泡与基板的接触角越大，与基板的接触面积越大，与基板底部和附近液体的作用力就越大，因而越难以脱离。这也进而说明基板的润湿性对于气泡脱离有很大的影响。
参考文献

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[4]	Lee R C, Nydahl J E. Numerical calculations of bubble growth in nucleate boiling from inception through departure[J]. Journal of Heat Transfer, 1989, 111: 474-479. Doi:10.1115/1.3250701
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[8]	Sussman M, Smereka P. Axisymmetric free boundary problems[J]. Journal of Fluid Mechanics, 1997, 341: 269-294. Doi:10.1017/S0022112097005570