崔晓娜¹, 燕敦验²
1. 河南师范大学数学与信息科学学院, 河南 新乡 453007;
2. 中国科学院大学数学科学学院, 北京 101408
2016年06月06日 收稿; 2016年07月02日 收修改稿
基金项目: 国家自然科学基金（11471309，11271162，11561062）资助
通信作者: 燕敦验, E-mail:ydunyan@ucas.ac.cn

摘要: 研究双Hilbert变换在边界情况的具有混合范数Lebesgue空间上、分数阶双Hilbert变换在一般的具有混合范数Lebesgue空间上和在一种混合范数边界情况等3类有界性问题。
关键词: 双Hilbert变换分数阶双Hilbert变换混合范数
Boundedness of double Hilbert transform and fractional double Hilbert transform on mixed Lebesgue spaces
CUI Xiaona¹, YAN Dunyan²
1. College of Mathematics and Information Science, Henan Normal University, Xinxiang 453007, Henan, China;
2. School of Mathematical Sciences, University of Chinese Academy of Sciences, Beijing 101408, China


Abstract: In this work, we investigate the boundedness of the double Hilbert transform on the endpoint of the mixed-norm Lebesgue spaces. We also give the boundedness of the fractional double Hilbert transform on mixed Lebesgue spaces for the general cases, and then especially on one kind of endpoint cases.
Key words: double Hilbert transformfractional double Hilbert transformmixed-norm
Benedek和Panzone在文献[1]中，对于n元数组P=(p₁, p₂, …, p_n)，其中对任意的i=1, 2, …, n，1≤p_i≤∞，引入具有混合范数空间L^P(X)。一个在乘积空间$ \left( {X, S, \mu } \right) = (\prod\limits_{i = 1}^n {{X_i}}, \prod\limits_{i = 1}^n {{S_i}}, \prod\limits_{i = 1}^n {{\mu _i}} ) $里可测的函数f(x₁, x₂, …, x_n) 满足，依次对变量x₁取p₁阶范数，对x₂取p₂阶范数, …, 对x_n取p_n阶范数所得的数值是有限时，我们称该函数属于空间L^P(X)。
具有混合范数的Lebesgue空间是一般L^p(?) 函数空间的很自然的延伸空间。当考虑函数对不同的变量 (比如空间变量和时间变量) 有不同的性质时，自然需要具有混合范数的函数空间。这些空间在研究依赖时间的偏微分方程里占有重要的角色。许多文献已经研究了不同算子在该类函数空间上的性质^[2-7]。
Benedek和Panzone^[1]研究具有混合范数Lebesgue函数空间的一般性质和一些插值定理；还研究势算子在高维具有混合范数函数空间上的有界性问题，并对于1≤p_i≤2, i=1, 2的情况，给出在混合范数空间上的Hausdorff-Young定理。基于Benedek和Panzone提出的混合范数空间，Fernandez^[6]研究具有乘积核的向量值奇异积分算子在具有混合范数空间L^P(?²), P=(p₁, p₂), 1 < p₁, p₂ < ∞上的有界性，并指出双Hilbert变换是该奇异积分算子的一种特殊情况。但是，对于双Hilbert变换在具有混合范数空间的端点情况的有界性，到目前为止还没有相应的结果。
本文主要致力于研究双Hilbert变换作用在一类具有混合范数空间端点情况的有界性，该类空间我们限制在p₁=1且1 < p₂ < ∞。进一步，我们给出分数阶双Hilbert变换在具有混合范数空间的一般情况时的有界性，并给出在一类端点情况时的有界性。
1 双Hilbert变换这一部分，我们研究如下定义的双Hilbert变换, 对任意的 (x, y)∈?²,

$Tf\left( {x,y} \right) = {\text{p}}.{\text{v}}\int_{{\mathbb{R}^2}} {\frac{{f\left( {s,t} \right)}}{{\left( {x - s} \right)\left( {y - t} \right)}}{\text{d}}s{\text{d}}t} .$

(1)

首先，定义具有混合范数的Bededek-Panzone函数空间L_x^pL_y^q, 1≤p, q < ∞^{[1, 4, 8-9]}。一个函数f∈L_x^pL_y^q，当且仅当它满足

${\left\| f \right\|_{L_x^pL_y^q}}: = {\left( {\int_\mathbb{R} {{{\left( {\int_\mathbb{R} {{{\left| {f\left( {x,y} \right)} \right|}^p}{\text{d}}x} } \right)}^{q/p}}{\text{d}}y} } \right)^{1/q}} < \infty .$

以下在不引起混淆的情况下，简洁地记L_x^pL_y^q为L^pL^q。
Fernandez^[6]研究具有乘积核的向量值奇异积分算子的性质。特殊地，证得双Hilbert变换是从空间L^p₁L^p₂(1 < p₁, p₂ < ∞) 到自身的有界性。在本部分，我们对于具有混合范数的端点情况，给出双Hilbert变换是从L^qL¹到L^qL^{1, ∞}, 1 < q < ∞有界的。其中L^qL^{1, ∞}为L^qL¹关于第2个变量的弱空间，它的构成元素f是可测函数，且满足

${\left\| f \right\|_{{L^q}{L^{1,\infty }}}} = \mathop {\sup }\limits_{\lambda > 0} \lambda m\left( {\left\{ {x \in \mathbb{R}:{{\left\| {f\left( { \cdot ,x} \right)} \right\|}_{L_ \cdot ^q}} > \lambda } \right\}} \right) < \infty ,$

其中m(E) 为集合E上的Lebesgue测度。为证得双Hilbert变换在混合范数的边界情况上的有界性结果，我们需要一个向量值奇异积分算子的引理，摘述该引理如下^{[5, 8-10]}。
引理1.1?设K=K(x, y) 是一个核，它定义在x≠y上，取值在L(B) 上，其中L(B) 为Banach空间B上的有界线性算子的集合。并对某一个q，1 < q < ∞，设$ {\vec T} $是与核K相关的在L^q(?, B) 上有界的一个算子

$\overrightarrow T f\left( x \right) = \int_\mathbb{R} {K\left( {x,y} \right)f\left( y \right){\text{d}}y} ,x \notin {\text{supp}}\left( f \right).$

而且核K满足以下2个条件

${\left\| {K\left( {x,y} \right)} \right\|_{L\left( B \right)}} \le C{\left| {x - y} \right|^{ - 1}},$

(2)

和

$\begin{array}{*{20}{c}}{{{\left\| {K\left( {x + h,y} \right) - K\left( {x,y} \right)} \right\|}_{L\left( B \right)}} + \left\| {K\left( {x ,y +h} \right) - } \right.}\\{{{\left. {K\left( {x,y} \right)} \right\|}_{L\left( B \right)}} \le C\frac{{{{\left| h \right|}^\delta }}}{{{{\left| {x - y} \right|}^{1 + \delta }}}},}\end{array}$

(3)

其中δ∈(0, 1]，|x-y|≥2|h|。则有算子$ {\vec T} $是从L^p(B)(1 < p < ∞) 到自身是有界的, 而且算子$ {\vec T} $也是弱 (1, 1) 的, 也即是说

$\begin{array}{*{20}{c}} {\left| {\left\{ {x \in {\mathbb{R}^n}:{{\left\| {\overrightarrow T f\left( x \right)} \right\|}_B} > \lambda } \right\}} \right| \leqslant } \\ {\frac{C}{\lambda }\int_{{\mathbb{R}^n}} {{{\left\| {f\left( x \right)} \right\|}_B}{\text{d}}x} = \frac{C}{\lambda }{{\left\| f \right\|}_{{L^1}\left( B \right)}},} \end{array}$

其中

${\left\| f \right\|_{{L^p}\left( B \right)}} = {\left( {\int_{{\mathbb{R}^n}} {\left\| {f\left( x \right)} \right\|_B^p{\text{d}}x} } \right)^{\frac{1}{p}}},1 \leqslant p < \infty .$

当p=∞时，只需对上式做关于L^∞定义上的调整即可。
文献[6]已经给出双Hilbert变换的L^p(?²) 有界性。下面考虑该算子在边界情况的混合范数下的有界性。
定理1.1?由式 (1) 定义的双Hilbert变换是从函数空间L^qL¹到函数空间L^qL^{1, ∞}, 1 < q < ∞有界的。也即是说，存在一个常数C, 有下式成立

${\left\| {Tf} \right\|_{{L^q}{L^{1,\infty }}}} \le C{\left\| f \right\|_{{L^q}{L^1}}}.$

(4)

证明?算子T为双Hilbert变换时，其核为$ K\left( {x, y, s, t} \right) = \frac{1}{{\left( {x-s} \right)\left( {y-t} \right)}} $。当x≠s时，我们定义核k为

$\begin{array}{*{20}{c}} {\left( {k\left( {x,s} \right)h} \right)\left( y \right) = \int_\mathbb{R} {K\left( {x,y,s,t} \right)h\left( t \right){\text{d}}t} = } \\ {\int_\mathbb{R} {\frac{1}{{\left( {x - s} \right)\left( {y - t} \right)}}h\left( t \right){\text{d}}t} = \frac{1}{{x - s}}\int_\mathbb{R} {\frac{{h\left( t \right)}}{{y - t}}{\text{d}}t} .} \end{array}$

另外，记F(x)(y)=f(x, y)，且

$TF\left( x \right)\left( \cdot \right) = Tf\left( {x, \cdot } \right).$

这样，双Hilbert变换可以改写为

$\begin{array}{*{20}{c}} {TF\left( x \right)\left( \cdot \right) = \int_{{\mathbb{R}^2}} {K\left( {x, \cdot ,s,t} \right)f\left( {s,t} \right){\text{d}}s{\text{d}}t} = } \\ {\int_\mathbb{R} {\left( {k\left( {x,s} \right)F\left( s \right)} \right)\left( \cdot \right){\text{d}}s} .} \end{array}$

选取引理1.1中的Banach空间B为L^q(?), 1 < q < ∞。对于x≠s, 估计算子k(x, s) 从空间L^q(?) 到空间L^q(?) 的范数如下

$\begin{array}{*{20}{c}} {{{\left\| {k\left( {x,s} \right)} \right\|}_{{L^q} \to {L^q}}} = \mathop {\sup }\limits_{{{\left\| {g\left( y \right)} \right\|}_{{L^q}\left( \mathbb{R} \right)}} \ne 0} \frac{{{{\left\| {\left( {k\left( {x,s} \right)g} \right)\left( y \right)} \right\|}_{{L^q}\left( \mathbb{R} \right)}}}}{{{{\left\| {g\left( y \right)} \right\|}_{{L^q}\left( \mathbb{R} \right)}}}}} \\ { \leqslant C{{\left| {x - s} \right|}^{ - 1}},} \end{array}$

其中的常数C依赖于Hilbert变换从空间L^q(?) 到空间L^q(?) 有界的最佳常数。这样我们证得算子k(x, s) 满足条件 (2)。
考虑到|x-s|≥2|h|，有

$\begin{array}{*{20}{c}} {\left( {k\left( {x + h,s} \right) - k\left( {x,s} \right)} \right)g\left( y \right) = } \\ {\int_\mathbb{R} {\left[ {\frac{1}{{\left( {x - s} \right)\left( {y - t} \right)}} - \frac{1}{{\left( {x + h - s} \right)\left( {y - t} \right)}}} \right]g\left( t \right){\text{d}}t} = } \\ {\frac{h}{{\left( {x - s} \right)\left( {x + h - s} \right)}}\int_\mathbb{R} {\frac{1}{{y - t}}g\left( t \right){\text{d}}t} .} \end{array}$

对上述算子求范数，得到

$\begin{array}{*{20}{c}} {{{\left\| {k\left( {x + h,s} \right) - k\left( {x,s} \right)} \right\|}_{{L^q}\left( \mathbb{R} \right) \to {L^q}\left( \mathbb{R} \right)}} \leqslant } \\ {C\frac{{\left| h \right|}}{{\left| {\left( {x - s} \right)\left( {x + h - s} \right)} \right|}}.} \end{array}$

(5)

结合式子|x-s|≥2|h|即$ \left| h \right| \le \frac{{\left| {x-s} \right|}}{2} $，推得

$\left| {x - s + h} \right| \ge \left| {\left| {x - s} \right| - \left| h \right|} \right| \ge \frac{{\left| {x - s} \right|}}{2}.$

(6)

将式 (6) 代入式 (5), 有

$\begin{array}{*{20}{c}} {{{\left\| {k\left( {x+h,s} \right) - k\left( {x,s} \right)} \right\|}_{{L^q}\left( \mathbb{R} \right) \to {L^q}\left( \mathbb{R} \right)}} \leqslant } \\ {2C\frac{{\left| h \right|}}{{{{\left| {x - s} \right|}^2}}}.} \end{array}$

(7)

成立。同样地，也有如下式子成立

$\begin{array}{*{20}{c}} {{{\left\| {k\left( {x,s + h} \right) - k\left( {x,s} \right)} \right\|}_{{L^q}\left( \mathbb{R} \right) \to {L^q}\left( \mathbb{R} \right)}} \leqslant } \\ {2C\frac{{\left| h \right|}}{{{{\left| {x - s} \right|}^2}}}.} \end{array}$

(8)

综合考虑式 (7) 和式 (8), 推得核函数k(x, s) 也满足式 (3)，并取其中的δ=1。这样我们验证了核函数k(x, s) 满足引理1.1中的2个条件，从而有

$\begin{array}{*{20}{c}} {\left| {\left\{ {x \in \mathbb{R}:{{\left\| {Tf\left( x \right)} \right\|}_{L_y^q}} > \lambda } \right\}} \right| \leqslant } \\ {\frac{C}{\lambda }\int_{{\mathbb{R}^d}} {{{\left\| {f\left( x \right)} \right\|}_{L_y^q}}{\text{d}}x} = \frac{C}{\lambda }{{\left\| f \right\|}_{{L^q}{L^1}}}} \end{array}$

成立，这就意味着式 (4) 成立。
2 分数阶双Hilbert变换在这一部分，我们研究分数阶双Hilbert变换在具有混合范数Lebesgue空间下的有界性。对于任意的 (x, y)∈?², 先给出分数阶双Hilbert变换的定义如下：

$H_1^{{\alpha _1}}H_1^{{\alpha _2}}f\left( {x,y} \right) = {\text{p}}.{\text{v}}.\int_\mathbb{R} {\int_\mathbb{R} {\frac{{f\left( {s,t} \right)}}{{{{\left| {x - s} \right|}^{{\alpha _1}}}{{\left| {y - t} \right|}^{{\alpha _2}}}}}{\text{d}}s{\text{d}}t} } ,$

(9)

其中0 < α_i < 1, i=1, 2。
为研究分数阶双Hilbert变换在具有混合范数函数空间上的有界性，下面先给出Riesz位势算子的定义和关于该算子有界性的著名的Sobolev定理。
定义2.1?对任意的x∈?ⁿ, Riesz位势算子^[11]由以下定义给出

${I_\alpha } \left( f \right)\left( x \right) = \frac{1}{{\gamma \left( \alpha \right)}}\int_{{\mathbb{R}^n}} {\frac{{f\left( y \right)}}{{{{\left| {x - y} \right|}^{n - \alpha }}}}{\text{d}}y} ,$

其中参数0 < α < n，常数

$\gamma \left( \alpha \right) = {\pi ^{\frac{n}{2}}}{2^\alpha }\Gamma \left( {\frac{\alpha }{2}} \right)/\Gamma \left( {\frac{{n - 2}}{2}} \right).$

该算子的Sobolev定理^[1]如下：
若f∈L^p(?ⁿ), g∈L^q′(?ⁿ), 0 < α < n, $ \frac{1}{p}-\frac{1}{q} = \frac{\alpha }{n}$, $\frac{\alpha }{n} < \frac{1}{q} < 1 $, 则双线性泛函L有如下结果成立:

$\begin{array}{*{20}{c}} {L\left( {f,g} \right) = \gamma \left( \alpha \right)\int_{{\mathbb{R}^n}} {g\left( x \right){I_\alpha }\left( f \right)\left( x \right){\text{d}}x} = } \\ {\gamma \left( \alpha \right)\int_{{\mathbb{R}^n}} {\int_{{\mathbb{R}^n}} {f\left( x \right)g\left( y \right){{\left| {x - y} \right|}^{\alpha - n}}{\text{d}}x{\text{d}}y} } \leqslant } \\ {C\left( {n,\alpha ,p} \right){{\left\| f \right\|}_p}{{\left\| g \right\|}_{q'}}.} \end{array}$

(10)

基于Sobolev定理，我们给出分数阶双Hilbert变换 (9) 在具有混合范数Lebesgue空间上的有界性定理。
定理2.1?设函数f∈L^p₁L^p₂，1 < p_i < ∞，满足$ \frac{1}{{{p_i}}}-\frac{1}{{{q_i}}} = 1-{\alpha _i} $，i=1, 2。则有

${\left\| {H_1^{{\alpha _1}}H_1^{{\alpha _2}}f} \right\|_{{L^{{q_1}}}{L^{{q_2}}}}} \leqslant C{\left\| f \right\|_{{L^{{p_1}}}{L^{{p_2}}}}},$

其中常数C只依赖于p_i, q_i, i=1, 2。
证明?对任意的$g \in {L^{q_1^{'}}}{L^{q_2^{'}}}$，运用上述Sobolev定理 (10) 式，有

$\begin{array}{*{20}{c}} {\left| {\int_{{\mathbb{R}^2}} {H_1^{{\alpha _1}}H_2^{{\alpha _2}}f\left( {x,y} \right)g\left( {x,y} \right){\text{d}}x{\text{d}}y} } \right| = } \\ {\left| {\int_{{\mathbb{R}^2}} {\int_{{\mathbb{R}^2}} {\frac{{f\left( {s,t} \right)}}{{{{\left| {x - s} \right|}^{{\alpha _1}}}{{\left| {y - t} \right|}^{{\alpha _2}}}}}g\left( {x,y} \right){\text{d}}s{\text{d}}t{\text{d}}x{\text{d}}y} } } \right| \leqslant } \\ {\int_{{\mathbb{R}^2}} {\left( {\int_{{\mathbb{R}^2}} {{{\left| {f\left( {s,t} \right)\left\| {g\left( {s,t} \right)} \right\|x - s} \right|}^{ - {\alpha _1}}}{\text{d}}s{\text{d}}x} } \right){{\left| {y - t} \right|}^{ - {\alpha _2}}}{\text{d}}t{\text{d}}y \leqslant } } \\ {C\left( {{\alpha _1},{p_1},{q_1}} \right)\int_{{\mathbb{R}^2}} {{{\left\| {f\left( { \cdot ,t} \right)} \right\|}_{{L^{{p_1}}}}}{{\left\| {g\left( { \cdot ,y} \right)} \right\|}_{{L^{{{q'}_1}}}}}{{\left| {y - t} \right|}^{ - {\alpha _2}}}{\text{d}}t{\text{d}}y} } \\ { \leqslant C\left( {{\alpha _1},{p_1},{q_1}} \right)C\left( {{\alpha _2},{p_2},{q_2}} \right){{\left\| f \right\|}_{{L^{{p_1}}}{L^{{p_2}}}}}{{\left\| g \right\|}_{{L^{{{q'}_1}}}{L^{{{q'}_2}}}}}.} \end{array}$

这样就证得该定理的结论。
下面给出分数阶双Hilbert变换在一类边界混合范数函数空间上的有界性。
定理2.2?设f∈L^p₁L¹, 1 < p₁ < ∞, $ \frac{1}{{{p_1}}}-\frac{1}{{{q_1}}} = 1-{\alpha _1}$, 且$ {q_2} = \frac{1}{{{\alpha _2}}} $。则存在一个常数C使得

${\left\| {H_2^{{\alpha _2}}H_1^{{\alpha _1}}f} \right\|_{{L^{{q_1}}}{L^{{q_2},\infty }}}} \leqslant C{\left\| f \right\|_{{L^p}1{L^1}}}$

成立。
证明?根据Minkowski不等式, 对任意的 (x, y)∈?², 有

$\begin{array}{*{20}{c}} {{{\left\| {H_2^{{\alpha _2}}H_1^{{\alpha _1}}f\left( {x,y} \right)} \right\|}_{L_x^q1}} \leqslant } \\ {{{\left( {\int_\mathbb{R} {\left| {\int_\mathbb{R} {\frac{1}{{{{\left| {y - t} \right|}^{{\alpha _2}}}}}} } \right|} \int_\mathbb{R} {\frac{{f\left( {s,t} \right)}}{{{{\left| {x - s} \right|}^{{\alpha _1}}}}}{\text{d}}s} {{\left| {{\text{d}}t} \right|}^{{q_1}}}{\text{d}}x} \right)}^{\frac{1}{{{q_1}}}}} \leqslant } \\ {\int_\mathbb{R} {{{\left( {\int_\mathbb{R} {\frac{1}{{{{\left| {y - t} \right|}^{{\alpha _2}{q_1}}}}}} {{\left| {\int_\mathbb{R} {\frac{{f\left( {s,t} \right)}}{{{{\left| {x - s} \right|}^{{\alpha _1}}}}}{\text{d}}s} } \right|}^{{q_1}}}{\text{d}}x} \right)}^{\frac{1}{{{q_1}}}}}{\text{d}}t} = } \\ {\int_\mathbb{R} {\frac{1}{{{{\left| {y - t} \right|}^{{\alpha _2}}}}}{{\left\| {H_1^{{\alpha _1}}f\left( {x,t} \right)} \right\|}_{L_x^q1}}{\text{d}}t} \leqslant } \\ {\int_\mathbb{R} {\frac{1}{{{{\left| {y - t} \right|}^{{\alpha _2}}}}}{{\left\| {f\left( {x,t} \right)} \right\|}_{L_x^p1}}{\text{d}}t} .} \end{array}$

由Riesz位势的定义, 对任意的y∈?, 上式可以改写为

${\left\| {H_2^{{\alpha _2}}H_1^{{\alpha _1}}f\left( {x,y} \right)} \right\|_{L_x^q1}} = {I_{1 - {\alpha _2}}}\tilde f\left( y \right),$

(11)

其中$ \tilde f(y) = {\left\| {f( \bullet, y)} \right\|_{{L^{{p_1}}}}}$。
令

${E_\lambda } = \left\{ {y:{I_{1 - {\alpha _2}}}\tilde f\left( y \right) > \lambda } \right\}.$

我们估计集合E_λ的测度, 由自变量代换, 得到

$\begin{array}{*{20}{c}} {\left| {{E_\lambda }} \right| \leqslant \frac{1}{\lambda }\int_{{E_\lambda }} {{I_{1 - {\alpha _2}}}\tilde f\left( y \right){\text{d}}y} = } \\ {\frac{1}{\lambda }\int_{{E_\lambda }} {\int_\mathbb{R} {\frac{1}{{{{\left| {y - t} \right|}^{{\alpha _2}}}}}{{\left\| {f\left( {x,t} \right)} \right\|}_{L_x^p1}}{\text{d}}t{\text{d}}y} } = } \\ {\frac{1}{\lambda }\int_{{E_\lambda }} {\int_\mathbb{R} {\frac{1}{{{{\left| t \right|}^{{\alpha _2}}}}}{{\left\| {f\left( {x,y - t} \right)} \right\|}_{L_x^p1}}{\text{d}}t{\text{d}}y} } .} \end{array}$

(12)

分解式 (12) 式的内部积分，有

$\begin{array}{*{20}{c}} {\int_\mathbb{R} {\frac{1}{{{{\left| t \right|}^{{\alpha _2}}}}}{{\left\| {f\left( {x,y - t} \right)} \right\|}_{L_x^p1}}{\text{d}}t} = } \\ {\sum\limits_{j \in \mathbb{Z}} {\int_{{2^{j - 1}} \leqslant \left| t \right| \leqslant {2^j}} {\frac{1}{{{{\left| t \right|}^{{\alpha _2}}}}}{{\left\| {f\left( {x,y - t} \right)} \right\|}_{L_x^p1}}{\text{d}}t} } \leqslant } \\ {\sum\limits_{j \in \mathbb{Z}} {\frac{1}{{{2^{\left( {j - 1} \right){\alpha _2}}}}}\int_{\left| t \right| \leqslant {2^j}} {{{\left\| {f\left( {x,y - t} \right)} \right\|}_{L_x^p1}}{\text{d}}t} } .} \end{array}$

进而，我们估计|E_λ|的测度为

$\begin{gathered} \left| {{E_\lambda }} \right| \leqslant \frac{1}{\lambda }\int_{{E_\lambda }} {\sum\limits_{j \in \mathbb{Z}} {\frac{1}{{{2^{\left( {j - 1} \right){\alpha _2}}}}}\int_{\left| t \right| \leqslant {2^j}} {{{\left\| {f\left( {x,y - t} \right)} \right\|}_{L_x^p1}}{\text{d}}t} {\text{d}}y} } \leqslant \hfill \\ \frac{1}{\lambda }\sum\limits_{j \in \mathbb{Z}} {\frac{1}{{{2^{\left( {j - 1} \right){\alpha _2}}}}}\min \left( {\left| {{E_\lambda }} \right|{{\left\| f \right\|}_{{L^{{p_1}}}{L^1}}},{2^j}{{\left\| f \right\|}_{{L^{{p_1}}}{L^1}}}} \right)} \leqslant \hfill \\ \frac{1}{\lambda }\sum\limits_{{2^j} > \left| {{E_\lambda }} \right|} {\frac{1}{{{2^{\left( {j - 1} \right){\alpha _2}}}}}\left| {{E_\lambda }} \right|{{\left\| f \right\|}_{{L^{{p_1}}}{L^1}}}} + \hfill \\ \frac{1}{\lambda }\sum\limits_{{2^j} \leqslant \left| {{E_\lambda }} \right|} {\frac{{{2^j}}}{{{2^{\left( {j - 1} \right){\alpha _2}}}}}{{\left\| f \right\|}_{{L^{{p_1}}}{L^1}}}} = \frac{{2G}}{\lambda }{\left| {{E_\lambda }} \right|^{1 - {\alpha _2}}}{\left\| f \right\|_{{L^{{p_1}}}{L^1}}}, \hfill \\ \end{gathered} $

从而，计算得

${\left| {{E_\lambda }} \right|^{{\alpha _2}}} \leqslant \frac{G}{\lambda }{\left\| f \right\|_{{L^{{p_1}}}{L^1}}}.$

也就是说, $ |{E_\lambda }{|^{{\alpha _2}}} \le \frac{{2C}}{\lambda } $成立。这就意味着

$\mathop {\sup }\limits_{\lambda > 0} \lambda {\left| {{E_\lambda }} \right|^{{\alpha _2}}} \leqslant C$

成立。
根据弱空间L^{p, ∞}的定义, 得到

${I_{1 - {\alpha _2}}}\tilde f\left( y \right) \in L_y^{\frac{1}{{{\alpha _2}}},\infty }.$

再根据估计式 (11), 推得

${\left\| {H_2^{{\alpha _2}}H_1^{{\alpha _1}}f\left( {x,y} \right)} \right\|_{L_x^q1}} \in L_y^{\frac{1}{{{\alpha _2}}},\infty }.$

这样，就证得所需要的结论。
参考文献

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